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正确率60.0%下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）
B
A.$$y=\operatorname{l o g}_{2} | x |$$
B.$$y=x^{3}+x$$
C.$${{y}{=}{{3}^{x}}}$$
D.$$y=-\frac{1} {x}$$
2、['指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']正确率40.0%对于方程$$[ ( \frac{1} {2} )^{| x |}-\frac{1} {2} ]^{2}-| ( \frac{1} {2} )^{| x |}-\frac{1} {2} |-k=0$$的解，下列判断不正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$k <-\frac{1} {4}$$时，无解
B.$${{k}{=}{0}}$$时，$${{2}}$$个解
C.$$- \frac1 4 \leqslant k < 0 \S$$时，$${{4}}$$个解
D.$${{k}{>}{0}}$$时，无解
3、['复合函数的单调性判定'， '指数（型）函数的单调性'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%函数$$y=\textsub( \frac1 {1 0} ) \rq{}^{2 x-x^{2}}$$的单调递增区间为（）
D
A.$$(-\infty， \ 1 ]$$
B.$$(-\infty， \ 2 ]$$
C.$$[ 2， ~+\infty)$$
D.$$[ 1， ~+\infty)$$
4、['在给定区间上恒成立问题'， '函数的最大(小)值'， '指数（型）函数的单调性'， '函数中的恒成立问题'， '函数单调性的应用']正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x-\frac{1} {x}$$，若不等式$$t \cdot f \left( \begin{matrix} {2^{x}} \\ \end{matrix} \right) \geq2^{x}-1$$对$$x \in\langle\ 0， \ 1 ]$$恒成立，则$${{t}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{2} {3}， ~ ~+\infty)$$
B.$$[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$
C.$$( ~-\infty， ~ \frac{2} {3} ]$$
D.$$( \mathrm{~-} \infty， \mathrm{~} \frac{1} {2} ]$$
5、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '不等式比较大小']正确率60.0%已知$$a=2^{1. 5}， b=3^{1. 6}， c=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} 3$$，则$$a， b， c$$的大小为（）
A
A.$$b > a > c$$
B.$$a > c > b$$
C.$$b > c > a$$
D.$$a > b > c$$
6、['函数奇、偶性的证明'， '复合函数的单调性判定'， '指数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断']正确率40.0%下列函数是偶函数且在区间$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上是增函数的是（）
D
A.$$y=\frac{5} {\sqrt{x^{2}+4}}$$
B.$$y=1 0^{| x-1} |$$
C.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$
D.$$y=( \frac{1} {2} )^{-x^{2}+1}$$
7、['函数的综合问题'， '函数的最大(小)值'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性']正确率40.0%已知$${{a}{>}{0}}$$，函数$$f ( x )=e^{x-a}-\operatorname{l n} ( x+a )-1 ( x > 0 )$$的最小值为$${{0}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}， 1 )$$
C.$$\{\frac{1} {2} \}$$
8、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数的对称性'， '幂指对综合比较大小'， '函数单调性的应用']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}}$$$$= \operatorname{l o g}_{2} ~ ( \ y^{2}-2 x+2 ) ~-~ ( \ y^{\vphantom{0}} )^{\ p-1}，$$$$a=f \， ( \operatorname{l o g}_{0. 5} 3 ) \， \， \，，$$$$b=f ~ ( 0. 7^{1. 4} ) ~，$$$$c=f \ ( \ 3^{0. 7 5} \mathbf{\alpha} )$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是（）
B
A.$$a < b < c$$
B.$$b < c < a$$
C.$$b < a < c$$
D.$$c < b < a$$
9、['指数型复合函数的应用'， '指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '底数对指数函数图象的影响'， '函数的对称性']正确率40.0%某数学课外兴趣小组对函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2^{\left| x-1 \right|}$$的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：
$${①}$$该函数的值域为$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$；
$${②}$$该函数在区间$$[ 0， \ \ +\infty)$$上单调递增；
$${③}$$该函数的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$对称；
$${④}$$该函数的图象与直线$$y=-a^{2} \ ( \ a \in{\bf R} )$$不可能有交点．
则其中正确结论的个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上是增函数.若$$a=-f ( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 5 )， b=f ( \operatorname{l o g}_{2} 4. 2 )， c=f ( 2^{0. 9} )$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为$${{(}{)}}$$
C
A.$$f ( x )_{\mathrm{m i n}}=f ( \frac{3} {2} )=2 a^{2}-3 a+\frac{1 7} {4}$$
B.$$f ( x )=2 a^{2}$$
C.$$c < b < a$$
D.$$c < a < b$$
1、分析：奇函数需满足 $$f(-x)=-f(x)$$，增函数需导数大于0或单调递增。
A：$$y=\log_2 |x|$$，定义域为 $$x \neq 0$$，$$f(-x)=\log_2 |-x|=\log_2 |x|=f(x)$$ 为偶函数，排除。
B：$$y=x^3+x$$，$$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$$ 为奇函数。导数 $$y'=3x^2+1>0$$ 恒成立，为增函数，正确。
C：$$y=3^x$$ 为指数函数，非奇非偶，排除。
D：$$y=-\frac{1}{x}$$ 为奇函数，但在定义域 $$(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$$ 上不连续，且在各区间内单调递增但整体不满足增函数定义，排除。
答案：B
2、令 $$t=(\frac{1}{2})^{|x|}-\frac{1}{2}$$，则方程化为 $$t^2-|t|-k=0$$。
分析 $$t$$ 的范围：$$(\frac{1}{2})^{|x|} \in (0,1]$$，故 $$t \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$$。
当 $$t \geq 0$$ 时，方程化为 $$t^2-t-k=0$$，判别式 $$\Delta_1=1+4k$$；当 $$t<0$$ 时，方程化为 $$t^2+t-k=0$$，判别式 $$\Delta_2=1+4k$$。
A：若 $$k<-\frac{1}{4}$$，则 $$\Delta_1=\Delta_2<0$$，无实数 $$t$$，故无解，正确。
B：$$k=0$$ 时，方程化为 $$t^2-|t|=0$$，解得 $$t=0$$ 或 $$t=\pm 1$$。但 $$t \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$$，故只有 $$t=0$$。代入 $$t=(\frac{1}{2})^{|x|}-\frac{1}{2}=0$$ 得 $$(\frac{1}{2})^{|x|}=\frac{1}{2}$$，即 $$|x|=1$$，有2个解，正确。
C：$$-\frac{1}{4} \leq k < 0$$ 时，$$\Delta_1=\Delta_2 \geq 0$$。分析 $$t$$ 的取值：需在 $$t \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$$ 内且满足方程。当 $$k \in (-\frac{1}{4},0)$$ 时，$$t^2-t-k=0$$ 有一正根 $$t_1=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2} \in (0,\frac{1}{2})$$ 和负根（舍）；$$t^2+t-k=0$$ 有一负根 $$t_2=\frac{-1+\sqrt{1+4k}}{2} \in (-\frac{1}{2},0)$$ 和正根（舍）。故 $$t$$ 有2个值，每个 $$t$$ 对应2个 $$x$$（因 $$|x|$$ 决定），共4个解，正确。
D：$$k>0$$ 时，$$t^2-t-k=0$$ 有一正一负根，正根 $$t_1=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2} > \frac{1}{2}$$ 超出范围，负根舍；$$t^2+t-k=0$$ 有一正一负根，负根 $$t_2=\frac{-1-\sqrt{1+4k}}{2} < -\frac{1}{2}$$ 超出范围，正根舍。故无解，正确。
问题问“不正确”，但选项均正确，需检查条件。C中“$$- \frac1 4 \leqslant k < 0 \S$$”的“$$\S$$”可能为笔误，应为“$$- \frac1 4 \leqslant k < 0$$”。当 $$k=-\frac{1}{4}$$ 时，$$\Delta=0$$，$$t=\frac{1}{2}$$（来自 $$t^2-t-k=0$$）和 $$t=-\frac{1}{2}$$（来自 $$t^2+t-k=0$$，但 $$t=-\frac{1}{2}$$ 不在定义域内，因 $$t \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$$），故只有 $$t=\frac{1}{2}$$，对应 $$|x|=0$$，即1个解。因此C在 $$k=-\frac{1}{4}$$ 时不为4个解，错误。
答案：C
3、函数为 $$y=(\frac{1}{10})^{2x-x^2}$$，即 $$y=10^{-(2x-x^2)}=10^{x^2-2x}$$。底数10>1，故单调性由指数 $$u=x^2-2x$$ 决定。$$u$$ 为二次函数，开口向上，对称轴 $$x=1$$，在 $$(-\infty,1]$$ 上递减，在 $$[1,+\infty)$$ 上递增。但 $$y=10^u$$ 为增函数，故 $$y$$ 的单调区间与 $$u$$ 相同：递减区间为 $$(-\infty,1]$$，递增区间为 $$[1,+\infty)$$。
问题问“单调递增区间”，故为 $$[1,+\infty)$$。
答案：D
4、函数 $$f(x)=x-\frac{1}{x}$$，不等式为 $$t \cdot f(2^x) \geq 2^x-1$$ 对 $$x \in (0,1]$$ 恒成立。
代入 $$f(2^x)=2^x-\frac{1}{2^x}$$，不等式化为 $$t(2^x-\frac{1}{2^x}) \geq 2^x-1$$。
令 $$u=2^x$$，由 $$x \in (0,1]$$ 得 $$u \in (1,2]$$。不等式化为 $$t(u-\frac{1}{u}) \geq u-1$$。
当 $$u>1$$ 时，$$u-\frac{1}{u}>0$$，故 $$t \geq \frac{u-1}{u-\frac{1}{u}} = \frac{u-1}{\frac{u^2-1}{u}} = \frac{u(u-1)}{(u-1)(u+1)} = \frac{u}{u+1}$$。
需 $$t \geq \max_{u \in (1,2]} \frac{u}{u+1}$$。函数 $$g(u)=\frac{u}{u+1}$$ 在 $$(1,2]$$ 上递增，最大值为 $$g(2)=\frac{2}{3}$$。
故 $$t \geq \frac{2}{3}$$。
答案：A
5、比较 $$a=2^{1.5}=2^{3/2}=\sqrt{8} \approx 2.828$$，$$b=3^{1.6}=3^{8/5}=\sqrt[5]{3^8}=\sqrt[5]{6561} \approx 3.482$$（因 $$3^5=243$$，$$3.5^5\approx525>243$$，故更大），$$c=\log_{\frac{1}{2}} 3 = -\log_2 3 \approx -1.585$$。
故 $$b > a > c$$。
答案：A
6、A：$$y=\frac{5}{\sqrt{x^2+4}}$$，为偶函数，但在 $$(0,+\infty)$$ 上分母 $$\sqrt{x^2+4}$$ 随 $$x$$ 增大而增大，故 $$y$$ 递减，排除。
B：$$y=10^{|x-1|}$$，非偶函数（如 $$x=0$$ 和 $$x=2$$ 时值不同），排除。
C：$$y=x^3$$ 为奇函数，排除。
D：$$y=(\frac{1}{2})^{-x^2+1}=2^{x^2-1}$$，为偶函数，且底数2>1，指数 $$x^2-1$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上递增，故函数递增，正确。
答案：D
7、函数 $$f(x)=e^{x-a}-\ln(x+a)-1$$，$$x>0$$，$$a>0$$，最小值为0。
求导：$$f'(x)=e^{x-a}-\frac{1}{x+a}$$。令 $$f'(x)=0$$，得 $$e^{x-a}=\frac{1}{x+a}$$，即 $$(x+a)e^{x-a}=1$$。
令 $$t=x-a$$，则 $$x=t+a$$，方程化为 $$(t+2a)e^t=1$$。观察 $$t=0$$ 时，$$(0+2a)e^0=2a$$，需 $$2a=1$$ 即 $$a=\frac{1}{2}$$ 满足。
若 $$a=\frac{1}{2}$$，则 $$f'(x)=e^{x-\frac{1}{2}}-\frac{1}{x+\frac{1}{2}}$$，在 $$x=\frac{1}{2}$$ 时导数为0。$$f(\frac{1}{2})=e^{0}-\ln(1)-1=0$$，恰为最小值。
若 $$a>\frac{1}{2}$$，则 $$f'(0)=e^{-a}-\frac{1}{a}<0$$（因 $$a>\frac{1}{2}$$ 时 $$e^{-a}<\frac{1}{a}$$? 需验证：$$a=1$$ 时 $$e^{-1}\approx0.367<1$$，成立），且 $$f(x) \to +\infty$$ 当 $$x \to +\infty$$，故有最小值小于0？但题设最小值为0，故需 $$f(x) \geq 0$$。实际上，当 $$a>\frac{1}{2}$$ 时，最小值点可能小于0，不满足。
若 $$0 答案：C
8、函数 $$f(x)=\log_2(y^2-2x+2) - (y)^{p-1}$$ 表达式有误，疑似笔误。原题可能为 $$f(x)=\log_2(x^2-2x+2) - x^{p-1}$$？但参数 $$y,p$$ 未定义。假设为 $$f(x)=\log_2(x^2-2x+2)$$，则 $$f(x)=\log_2[(x-1)^2+1]$$，在 $$(-\infty,1]$$ 递减，在 $$[1,+\infty)$$ 递增。
比较 $$a=f(\log_{0.5} 3)=f(-\log_2 3) \approx f(-1.585)$$，$$b=f(0.7^{1.4}) \approx f(0.7^{1.4})$$（$$0.7^{1.4}<1$$），$$c=f(3^{0.75}) \approx f(3^{0.75}>1$$）。
因 $$f(x)$$ 关于 $$x=1$$ 对称？实际上 $$(x-1)^2+1$$ 为偶函数式，故 $$f(x)$$ 在 $$|x-1|$$ 上单调：$$|x-1|$$ 越大，$$f(x)$$ 越大。
计算 $$|a-1|=|-\log_2 3 -1|=|\log_2 \frac{1}{3} -1|?$$ 更直接：$$|\log_{0.5} 3 -1|=|-\log_2 3 -1|=|\log_2 \frac{1}{3} -1|$$ 较大；$$|0.7^{1.4}-1| \approx 0.3$$ 较小；$$|3^{0.75}-1| \approx |2.28-1|=1.28$$ 中等。故 $$b$$ 最接近1，值最小；$$a$$ 最远，值最大；$$c$$ 中间。即 $$b < c < a$$。
答案：B
9、函数 $$f(x)=2^{|x-1|}$$。
① 值域：$$|x-1| \geq 0$$，故 $$2^{|x-1|} \geq 1$$，值域为 $$[1,+\infty)$$，不是 $$(0,+\infty)$$，错误。
② 在 $$[0,+\infty)$$ 上：当 $$x \in [0,1]$$ 时，$$|x-1|=1-x$$ 递减，故 $$f(x)$$ 递减；当 $$x \in [1,+\infty)$$ 时，$$|x-1|=x-1$$ 递增，故 $$f(x)$$ 递增。整体不单调，错误。
③ 对称性：$$f(1+t)=2^{|t|}=f(1-t)$$，故关于 $$x=1$$ 对称，正确。
④ 与直线 $$y=-a^2 \leq 0$$ 无交点，因 $$f(x) \geq 1 > 0$$，正确。
正确结论有③和④，共2个。
答案：B
10、奇函数 $$f(x)$$ 在 $$R$$ 上增函数。比较 $$a=-f(\log_2 \frac{1}{5})=-f(-\log_2 5)=f(\log_2 5)$$（因奇函数 $$-f(-t)=f(t)$$），$$b=f(\log_2 4.2)$$，$$c=f(2^{0.9})$$。
比较自变量：$$\log_2 5 \approx 2.322$$，$$\log_2 4.2 \approx 2.070$$，$$2^{0.9} \approx 1.866$$。因 $$f$$ 递增，故 $$c < b < a$$。
答案：C