指数函数的定义-4.2 指数函数知识点考前进阶单选题自测题解析-四川省等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['指数函数的定义'， '有理数指数幂的运算性质']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\frac{3} {2^{x}+2}，$$则$$f \left( \frac{1} {4} \right)+f \left( \frac{1} {3} \right)+f \left( \frac{1} {2} \right)+f ( 1 )$$$$+ f \left( \frac3 2 \right)+f \left( \frac5 3 \right)+f \left( \frac7 4 \right)=$$（）

A.$$\frac{2 1} {2}$$

B.$$\frac{2 1} {4}$$

C.$${{7}}$$

D.$$\frac{1 5} {2}$$

2、['实数指数幂的运算性质'， '指数函数的定义'， '函数求值']

正确率60.0%设函数$$f ( x )=a^{x} \， ( a > 0， a \neq1 )，$$若$$f ( x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{2 0 2 2} )=9，$$则$$f ( 2 x_{1} ) \cdot f ( 2 x_{2} ) \cdot\ldots\cdot f ( 2 x_{2 0 2 2} )=$$（）

A.$${{3}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{2}{7}}$$

D.$${{8}{1}}$$

3、['指数函数的定义'， '对数的运算性质']

正确率60.0%己知指数函数$${{y}{=}{{a}^{x}}}$$的图象过点$$( 2， 4 )$$，则$$\operatorname{l o g}_{a} 4=$$（）

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

4、['三角函数与其他知识的综合应用'， '指数函数的定义'， '指数（型）函数过定点'， '指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的定义域'， '常见函数的零点'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \pi x-( \frac{1} {2} )^{x}+1$$在区间$$[-1， 2 ]$$上的零点个数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

5、['指数函数的定义'， '利用基本不等式求最值']

正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}}$$是函数$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$的图象上的相异两点．若点$${{A}{，}{B}}$$到直线$$y=\frac{1} {2}$$的距离相等，则点$${{A}{，}{B}}$$的横坐标之和的取值范围是（）

A.$$( \ -\infty， \ -1 )$$

B.$$( ~-\infty， ~-2 )$$

C.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-3 )$$

D.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-4 )$$

6、['指数函数的定义'， '不等式比较大小']

正确率60.0%设$$a， \， \， b \in R$$，若$${{a}{>}{b}}$$，则$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$

B.$$a c^{2} \! > \! b c^{2}$$

C.$$2^{-a} \! < \! 2^{-b}$$

D.$$\l g a > \l g b$$

7、['指数函数的定义'， '指数（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '函数图象的识别']

正确率60.0%函数$$f ( x )=a^{x}-\frac{1} {a}$$的图象可能是（）

8、['指数函数的定义'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率40.0%已知曲线$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=e^{2 x}-2 e^{x}+a x-1$$存在两条斜率为$${{3}}$$的切线，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$( \mathbf{3}， \mathbf{\Lambda}+\infty)$$

B.$$( \textbf{3}， \ \frac{7} {2} )$$

C.$$( \mathrm{\Phi}-\infty， \ \mathrm{\frac{7} {2}} )$$

D.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 3} )$$

9、['指数函数的定义'， '函数求值'， '指数与对数的关系'， '反函数的性质'， '反函数的定义']

正确率40.0%若函数$$g ( x )=a^{x} ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象与函数$$y=f ( x )$$的图象关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，且$$f ( 4 )=1$$，则$$f ( 2 )+g ( \frac{1} {2} )=$$（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{5} {2}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

10、['指数函数的定义']

正确率80.0%若点$$( a， 2 7 )$$在函数$$y=( \sqrt{3} )^{x}$$的图象上，则$${\sqrt {a}}$$的值为（）

A.$${\sqrt {6}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{0}}$$

1. 解析：首先计算各项的值并寻找规律。

$$f(x) + f(1 - x) = \frac{3}{2^x + 2} + \frac{3}{2^{1 - x} + 2} = \frac{3}{2^x + 2} + \frac{3 \cdot 2^x}{2 + 2 \cdot 2^x} = \frac{3 + 3 \cdot 2^x}{2 + 2 \cdot 2^x} = \frac{3(1 + 2^x)}{2(1 + 2^x)} = \frac{3}{2}$$

因此，$$f\left(\frac{1}{4}\right) + f\left(\frac{7}{4}\right) = \frac{3}{2}$$，$$f\left(\frac{1}{3}\right) + f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{3}{2}$$，$$f\left(\frac{1}{2}\right) + f(1) = \frac{3}{2}$$。

总和为 $$\frac{3}{2} \times 3 + f(1) = \frac{9}{2} + \frac{3}{4} = \frac{21}{4}$$，故选 B。

2. 解析：由题意知 $$f(x_1 + x_2 + \ldots + x_{2022}) = a^{x_1 + x_2 + \ldots + x_{2022}} = 9$$。

所求表达式为 $$f(2x_1) \cdot f(2x_2) \cdot \ldots \cdot f(2x_{2022}) = a^{2x_1} \cdot a^{2x_2} \cdot \ldots \cdot a^{2x_{2022}} = a^{2(x_1 + x_2 + \ldots + x_{2022})} = (a^{x_1 + x_2 + \ldots + x_{2022}})^2 = 9^2 = 81$$，故选 D。

3. 解析：由指数函数过点 $$(2, 4)$$ 得 $$a^2 = 4$$，故 $$a = 2$$。

$$\log_a 4 = \log_2 4 = 2$$，故选 C。

4. 解析：函数 $$f(x) = \cos \pi x - \left(\frac{1}{2}\right)^x + 1$$ 的零点即 $$\cos \pi x + 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$。

在区间 $$[-1, 2]$$ 内，$$\cos \pi x + 1$$ 的值为 0 或 2，而 $$\left(\frac{1}{2}\right)^x$$ 单调递减且取值范围为 $$\left[\frac{1}{4}, 2\right]$$。通过图像分析可得交点在 $$x = -1, 0, 1, 2$$，共 4 个零点，故选 C。

5. 解析：设点 $$A(x_1, 2^{x_1})$$ 和 $$B(x_2, 2^{x_2})$$ 到直线 $$y = \frac{1}{2}$$ 的距离相等，即 $$|2^{x_1} - \frac{1}{2}| = |2^{x_2} - \frac{1}{2}|$$。

解得 $$2^{x_1} + 2^{x_2} = 1$$。设 $$x_1 < x_2$$，则 $$2^{x_1} < \frac{1}{2} < 2^{x_2}$$，且 $$x_1 + x_2 = \log_2 (2^{x_1} \cdot 2^{x_2}) = \log_2 (2^{x_1} (1 - 2^{x_1}))$$。

令 $$t = 2^{x_1} \in (0, \frac{1}{2})$$，则 $$x_1 + x_2 = \log_2 (t(1 - t))$$。函数 $$t(1 - t)$$ 在 $$t \in (0, \frac{1}{2})$$ 时取值范围为 $$(0, \frac{1}{4})$$，故 $$x_1 + x_2 < \log_2 \frac{1}{4} = -2$$，故选 B。

6. 解析：选项分析：

A 错误，如 $$a = 1, b = -1$$ 时 $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$；

B 错误，当 $$c = 0$$ 时不成立；

C 正确，因为 $$2^{-x}$$ 单调递减，$$a > b$$ 时 $$2^{-a} < 2^{-b}$$；

D 错误，如 $$a = 1, b = 0.5$$ 时 $$\lg a = 0 < \lg b$$。

故选 C。

7. 解析：函数 $$f(x) = a^x - \frac{1}{a}$$ 的图像分析：

当 $$a > 1$$ 时，$$f(x)$$ 单调递增且 $$f(0) = 1 - \frac{1}{a} > 0$$；

当 $$0 < a < 1$$ 时，$$f(x)$$ 单调递减且 $$f(0) = 1 - \frac{1}{a} < 0$$。

选项 D 符合 $$a > 1$$ 时的图像特征，故选 D。

8. 解析：求导数 $$f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x + a$$，令 $$f'(x) = 3$$ 得 $$2e^{2x} - 2e^x + a - 3 = 0$$。

设 $$t = e^x > 0$$，方程化为 $$2t^2 - 2t + a - 3 = 0$$。要求方程有两个正解，需判别式 $$\Delta = 4 - 8(a - 3) > 0$$ 且 $$a - 3 < 0$$。

解得 $$a < \frac{7}{2}$$ 且 $$a > 3$$，故 $$a \in (3, \frac{7}{2})$$，故选 B。

9. 解析：由题意知 $$f(x)$$ 是 $$g(x) = a^x$$ 的反函数，故 $$f(x) = \log_a x$$。

由 $$f(4) = 1$$ 得 $$\log_a 4 = 1$$，即 $$a = 4$$。因此 $$f(2) + g\left(\frac{1}{2}\right) = \log_4 2 + 4^{1/2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$，故选 B。

10. 解析：将点 $$(a, 27)$$ 代入函数得 $$(\sqrt{3})^a = 27$$，即 $$3^{a/2} = 3^3$$。

解得 $$\frac{a}{2} = 3$$，故 $$a = 6$$。$$\sqrt{a} = \sqrt{6}$$，故选 A。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}