正确率60.0%若函数$$f ( x )=a^{x} ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$在$$[-1, 2 ]$$上的最大值为$${{4}{,}}$$最小值为$${{m}{,}}$$则实数$${{m}}$$的值为()
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {4}$$或$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {1 6}$$
D.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{1} {1 6}$$
2、['指数(型)函数的单调性', '指数(型)函数的值域', '对数(型)函数的值域', '对数(型)函数的单调性']正确率40.0%已知$$a=( \frac{1} {e} )^{x}, \, \, \, b=x^{2}, \, \, \, c=l n x$$,其中$${{e}}$$为自然对数的底数,则当$${{x}{=}{e}}$$时,$$a, ~ b, ~ c$$的大小关系为()
B
A.$$a < b < c$$
B.$$a < c < b$$
C.$$c < b < a$$
D.$$c < a < b$$
3、['指数(型)函数的值域']正确率40.0%已知函数$$y=b+a^{x^{2}+2 x} \ ( \ a, \ b$$是常数,且$$0 < a < 1 )$$在区间$$[-\frac{3} {2}, ~ 0 ]$$上有最大值$${{3}}$$,最小值$$\frac{5} {2},$$则$${{a}{b}}$$的值是()
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['对数(型)函数的定义域', '指数(型)函数的值域', '对数(型)函数的值域', '正切(型)函数的定义域与值域', '不等式性质的综合应用', '全称量词命题、存在量词命题的真假判断']正确率60.0%下列命题中的假命题是()
B
A.$$\forall x \in R, \ 2^{x-1} > 0$$
B.$$\forall x \in N^{*}, \quad( \, x-1 )^{\ 2} > 0$$
C.$$\exists x \in R, ~ l g x < 1$$
D.$$\exists x \in R,$$
5、['函数的最大(小)值', '指数(型)函数的值域', '导数中不等式恒成立与存在性问题', '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知$$f ( x )=x^{2}, g ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x}-m$$,若对任意的$$x_{1} \in[-1, ~ 3 ],$$存在$$x_{2} \in[ 0, 1 ],$$使得$$f ( x_{1} ) \geqslant g ( x_{2} ),$$则$${{m}}$$的取值范围是()
D
A.$$\left[-\frac{1 7} {2},+\infty\right)$$
B.$$[-8, ~+\infty)$$
C.$$[ 1, ~+\infty)$$
D.$$[ \frac{1} {2},+\infty)$$
6、['交集', '对数(型)函数的定义域', '指数(型)函数的值域']正确率60.0%设集合$$A=\{y | y=2^{x} \}, \, \, \, B=\{x | y=l o g_{2} ( 1-x^{2} ) \}$$,则)
B
A.$$\{x |-1 < x < 1 \}$$
B.$$None$$
C.$$None$$
D.$${{∅}}$$
7、['交集', '指数(型)函数的值域', '对数(型)函数的值域']正确率60.0%已知$$A=\{y | y=\operatorname{l o g}_{2} x, x > 1 \}, \, \, \, B=\{y | y=( \frac{1} {2} )^{x}, x > 1 \}$$,则$$A \cap B=( \eta)$$
A
A.$$( 0, \frac{1} {2} )$$
B.$$( 0, 1 )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}, 1 )$$
D.$${{∅}}$$
8、['交集', '全集与补集', '指数(型)函数的值域', '对数(型)函数的值域']正确率40.0%已知$$A=\{y | y=\operatorname{l o g}_{2} x, x > 1 \}, \ B=\{y | y=\bigg( \frac{1} {2} \bigg)^{x}, x > 1 \}.$$则$${{A}{∩}{B}{=}}$$()
A
A.$$( 0, \frac{1} {2} )$$
B.$$( 0, 1 )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}, 1 )$$
D.$${{∅}}$$
9、['指数(型)函数的值域', '函数求定义域']正确率40.0%下列哪个函数的定义域与函数$$f ( x )=( \frac{1} {3} )^{x}$$值域相同$${{(}{)}}$$
D
A.$$y=| x |$$
B.$$y=\frac{1} {x}$$
C.$$y=x+\frac{1} {x}$$
D.$${{y}{=}{{l}{n}}{x}}$$
10、['函数的新定义问题', '函数求值域', '指数(型)函数的值域']正确率40.0%设$${{x}{∈}{R}}$$,用$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数,则$$y=[ x ]$$称为高斯函数,例如:$$[-3. 5 ]=-4, \, \, [ 2. 1 ]=2$$,已知函数$$f ( x )=\frac{e^{x}} {1+e^{x}}-\frac{1} {2}$$,则函数$$y=[ f ( x ) ]$$的值域是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\{0, 1 \}$$
B.$${{\{}{1}{\}}}$$
C.$$\{-1, 0, 1 \}$$
D.$$\{-1, 0 \}$$
1. 对于函数$$f(x)=a^x$$在区间$$[-1,2]$$上的最大值和最小值:
当$$a>1$$时,函数单调递增,最大值为$$f(2)=a^2=4$$,解得$$a=2$$,此时最小值为$$f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}$$。
2. 当$$x=e$$时:
$$a=\left(\frac{1}{e}\right)^e=e^{-e}$$,$$b=e^2$$,$$c=\ln e=1$$。
由于$$e>2$$,故$$e^{-e}<1
3. 函数$$y=b+a^{x^2+2x}$$在$$0
在区间$$[-\frac{3}{2},0]$$上,$$x^2+2x$$在$$x=-1$$处取得最小值$$-1$$,在$$x=0$$或$$x=-\frac{3}{2}$$处取得最大值$$0$$。 因此: 最大值$$y(0)=b+a^0=b+1=3$$,解得$$b=2$$。 最小值$$y(-1)=b+a^{-1}=2+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}$$,解得$$a=\frac{1}{2}$$。 故$$ab=1$$,故选A。
4. 选项分析:
A. 对于所有实数$$x$$,$$2^{x-1}>0$$恒成立,是真命题。
B. 当$$x=1$$时,$$(x-1)^2=0$$不满足$$>0$$,是假命题。
C. 存在$$x=1$$使得$$\lg 1=0<1$$,是真命题。
D. 不完整,无法判断。
故选B。
5. 条件等价于$$f(x_1)$$的最小值$$\geq g(x_2)$$的最小值。
$$f(x)=x^2$$在$$[-1,3]$$上的最小值为$$0$$。
$$g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x-m$$在$$[0,1]$$上的最小值为$$g(1)=\frac{1}{2}-m$$。
由$$0 \geq \frac{1}{2}-m$$,解得$$m \geq \frac{1}{2}$$,故选D。
6. 集合$$A=\{y | y=2^x\}=(0,+\infty)$$。
集合$$B=\{x | \log_2(1-x^2)\}$$的定义域为$$1-x^2>0$$,即$$-1 $$A \cap B$$为空集,故选D。
7. 集合$$A=\{y | y=\log_2 x, x>1\}=(0,+\infty)$$。
集合$$B=\{y | y=\left(\frac{1}{2}\right)^x, x>1\}=\left(0,\frac{1}{2}\right)$$。
$$A \cap B=\left(0,\frac{1}{2}\right)$$,故选A。
8. 同第7题,选A。
9. 函数$$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$的值域为$$(0,+\infty)$$。
A. $$y=|x|$$的定义域为$$R$$,不匹配。
B. $$y=\frac{1}{x}$$的定义域为$$x \neq 0$$,不匹配。
C. $$y=x+\frac{1}{x}$$的定义域为$$x \neq 0$$,不匹配。
D. $$y=\ln x$$的定义域为$$(0,+\infty)$$,与$$f(x)$$的值域相同,故选D。
10. 函数$$f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}-\frac{1}{2}$$的值域为$$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$。
因此,$$[f(x)]$$的可能取值为$$-1$$(当$$f(x) \in \left(-\frac{1}{2},0\right)$$)或$$0$$(当$$f(x) \in \left[0,\frac{1}{2}\right)$$)。
故值域为$$\{-1,0\}$$,故选D。