正确率60.0%设命题$$p : \overrightarrow{a}=( 3, 1 ) \,, \overrightarrow{b}=( m, 2 )$$,且$$\vec{a} / / \vec{b} ;$$命题$${{q}}$$:关于$${{x}}$$的函数$$y=( m^{2}-5 m-5 ) a^{x} ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$是指数函数,则$${{p}}$$是$${{q}}$$的 ()
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['指数函数的定义']正确率80.0%下列函数中,不能化为指数函数的是()
B
A.$$y=2^{x} \cdot3^{x}$$
B.$$y=2^{x-1}$$
C.$$y=3^{2 x}$$
D.$$y=4^{-x}$$
3、['指数函数的定义', '指数(型)函数的单调性', '底数对指数函数图象的影响', '指数函数与一次函数的差异']正确率60.0%函数$$f ( x )=a^{x} ( a > 0$$,且$${{a}{≠}{1}{)}}$$与$$g ( x )=-x+a$$的大致图像可能是()
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
4、['指数函数的定义', '指数(型)函数过定点', '指数(型)函数的单调性', '指数(型)函数的值域', '指数(型)函数的定义域', '不等式的解集与不等式组的解集']正确率40.0%若不等式$$( \frac{1} {2} )^{x^{2}-2 a x} < 2^{3 x+a^{2}}$$恒成立,则实数$${{a}}$$的取值范围是()
B
A.$$( {\bf0}, \mathrm{\bf~ 1} )$$
B.$$( \frac{3} {4}, ~+\infty)$$
C.$$( 0, ~ \frac{3} {4} )$$
D.$$(-\infty, ~ \frac{3} {4} )$$
5、['指数函数的定义', '一元二次方程的解集']正确率80.0%函数$$y=( 2 a^{2}-3 a+2 ) a^{x}$$是指数函数,则$${{a}}$$的取值范围是()
C
A.$$a > 0, a \neq1$$
B.$${{a}{=}{1}}$$
C.$$a=\frac{1} {2}$$
D.
正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\left( x-1 \right)^{2}, x \geq0} \\ {2^{x}, x < 0} \\ \end{array} \right.$$,若$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( a, a+\frac{5} {2} \right)$$上有最大值,没有最小值,则实数$${{a}}$$的取值范围为()
B
A.$$[-\frac{5} {2},-\frac{3} {2} ]$$
B.$$\left(-\frac{5} {2},-\frac{3} {2} \right]$$
C.$$\left(-\infty,-\frac{5} {2} \right)$$
D.$$\left(-\infty,-\frac{3} {2} \right)$$
7、['指数函数的定义', '指数(型)函数的单调性', '函数图象的平移变换', '函数图象的识别']正确率60.0%函数$$f ( x )=a^{x}-\frac{1} {a}$$的图象可能是()
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
8、['指数函数的定义', '函数的新定义问题', '对数(型)函数的定义域', '函数求定义域']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\frac{a^{x}-1} {a^{x}+1}+l o g_{a} ( \frac{1-x} {1+x} ) \ ( a > 0, \ a \neq1 ) \, \ f ( m ) \ =n, \ m \in( \ -1, \ 1 )$$,则)
B
A.$${{n}}$$
B.$${{−}{n}}$$
C.$${{0}}$$
D.不存在
9、['对数(型)函数过定点', '指数函数的定义', '指数(型)函数过定点', '指数(型)函数的单调性', '对数(型)函数的定义域', '指数(型)函数的值域', '对数(型)函数的值域', '指数(型)函数的定义域', '对数(型)函数的单调性', '对数函数的定义']正确率60.0%已知$$a=\operatorname{l o g}_{0. 6} 0. 9, \, \, b=\operatorname{l n} 0. 9, \, \, c=2^{0. 9}$$,则$$a, ~ b, ~ c$$的大小顺序是
B
A.$$b > a > c$$
B.$$c > a > b$$
C.$$a > c > b$$
D.$$c > b > a$$
10、['指数函数的定义', '对数(型)函数的单调性']正确率40.0%已知$$a=0. 6^{3. 1}, \, \, \, b=4. 1^{0. 6}, \, \, \, c=l o g_{0. 6} 4. 1$$,则$$a, ~ b, ~ c$$的大小关系为()
B
A.$$a > b > c$$
B.$$b > a > c$$
C.$$b > c > a$$
D.$$a > c > b$$
1、首先分析命题$$p$$和$$q$$的条件:
对于命题$$p$$:向量$$\overrightarrow{a}=(3,1)$$与$$\overrightarrow{b}=(m,2)$$平行,因此有$$3 \times 2 = 1 \times m$$,解得$$m=6$$。
对于命题$$q$$:函数$$y=(m^2-5m-5)a^x$$是指数函数,必须满足$$m^2-5m-5=1$$,即$$m^2-5m-6=0$$,解得$$m=6$$或$$m=-1$$。
因此,$$p$$成立时$$m=6$$,可以推出$$q$$成立;但$$q$$成立时$$m$$还可以为$$-1$$,此时$$p$$不成立。所以$$p$$是$$q$$的充分不必要条件,答案为$$A$$。
2、判断各选项是否可以化为指数函数形式:
A:$$y=2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$$,是指数函数。
B:$$y=2^{x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$$,可以表示为$$y=k \cdot a^x$$($$k \neq 1$$),不是标准的指数函数。
C:$$y=3^{2x} = (3^2)^x = 9^x$$,是指数函数。
D:$$y=4^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^x$$,是指数函数。
因此,不能化为指数函数的是选项$$B$$。
3、分析函数$$f(x)=a^x$$和$$g(x)=-x+a$$的图像:
当$$a>1$$时,$$f(x)$$单调递增,$$g(x)$$单调递减,且$$f(0)=1$$,$$g(0)=a>1$$。
4、将不等式转化为指数形式并化简:
$$( \frac{1}{2} )^{x^2-2ax} < 2^{3x+a^2}$$等价于$$2^{-(x^2-2ax)} < 2^{3x+a^2}$$。
因为底数相同且$$2>1$$,所以指数不等式为$$-(x^2-2ax) < 3x + a^2$$,即$$x^2 - 2ax + 3x + a^2 > 0$$。
整理得$$x^2 + (3-2a)x + a^2 > 0$$。要使该不等式恒成立,判别式必须小于零:
$$(3-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^2 < 0$$,即$$9 - 12a + 4a^2 - 4a^2 < 0$$,解得$$a > \frac{3}{4}$$。
因此,实数$$a$$的取值范围是$$(\frac{3}{4}, +\infty)$$,答案为$$B$$。
5、函数$$y=(2a^2-3a+2)a^x$$是指数函数,必须满足系数部分$$2a^2-3a+2=1$$,即$$2a^2-3a+1=0$$。
解得$$a=1$$或$$a=\frac{1}{2}$$。但指数函数的底数$$a$$还需满足$$a>0$$且$$a \neq 1$$,因此$$a=\frac{1}{2}$$。
答案为$$C$$。
6、函数$$f(x)$$在$$x \geq 0$$时为二次函数,在$$x < 0$$时为指数函数。为了使$$f(x)$$在区间$$(a, a+\frac{5}{2})$$上有最大值但没有最小值,需要满足以下条件:
区间必须包含$$x=0$$处的极大值点,但不包含$$x \to -\infty$$时的渐近行为。具体分析可得$$a \in \left(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right]$$。
答案为$$B$$。
7、函数$$f(x)=a^x - \frac{1}{a}$$的图像分析:
当$$a>1$$时,$$f(x)$$单调递增,且$$f(0)=1-\frac{1}{a} > 0$$。
8、函数$$f(x)=\frac{a^x-1}{a^x+1} + \log_a \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$$为奇函数,因为:
$$f(-x) = \frac{a^{-x}-1}{a^{-x}+1} + \log_a \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -\frac{a^x-1}{a^x+1} - \log_a \left(\frac{1-x}{1+x}\right) = -f(x)$$。
因此,$$f(m)=n$$时,$$f(-m)=-n$$,答案为$$B$$。
9、比较$$a=\log_{0.6} 0.9$$,$$b=\ln 0.9$$,$$c=2^{0.9}$$的大小:
因为$$0.6 < 1$$,$$\log_{0.6} 0.9 > \log_{0.6} 1 = 0$$,且$$0.9 < 1$$,所以$$\ln 0.9 < 0$$。
$$c=2^{0.9} > 2^0 = 1$$,且$$a=\log_{0.6} 0.9 \approx 0.3$$(估算)。
因此大小顺序为$$c > a > b$$,答案为$$B$$。
10、比较$$a=0.6^{3.1}$$,$$b=4.1^{0.6}$$,$$c=\log_{0.6} 4.1$$的大小:
$$a=0.6^{3.1} \approx 0.06$$(估算),$$b=4.1^{0.6} \approx 2.1$$(估算),$$c=\log_{0.6} 4.1 \approx -1.5$$(估算)。
因此大小关系为$$b > a > c$$,答案为$$B$$。