1、['指数型复合函数的应用'， '底数对指数函数图象的影响']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=( a^{2}-1 )^{x} \，，$$若$${{x}{>}{0}}$$时总有$$f ( x ) > 1，$$则实数$${{a}}$$满足的条件是（）
D
A.$$1 < | a | < 2$$
B.$$| a | < 2$$
C.$$| a | > 1$$
D.$$| a | > \sqrt2$$
4、['底数对指数函数图象的影响']正确率60.0%设$$2^{m}=3^{n}，$$且$$m > 0， \， \， n > 0，$$则$${{m}{，}{n}}$$的大小关系一定是（）
A
A.$${{m}{>}{n}}$$
B.$${{m}{<}{n}}$$
C.$${{m}{=}{n}}$$
D.以上答案都不对
5、['指数型复合函数的应用'， '指数（型）函数的值域'， '底数对指数函数图象的影响'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%函数$$f ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x^{2}-6 x+5}$$的值域为（）
A
A.$$( 0， 1 6 ]$$
B.$$[ 1 6，+\infty)$$
C.$$( 0， \frac{1} {1 6} ]$$
D.$$[ \frac{1} {1 6}，+\infty)$$
6、['底数对指数函数图象的影响'， '分段函数的图象']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x+3 ( x \leqslant1 )，} \\ {} & {{}-x^{2}+2 x+3 ( x > 1 )，} \\ \end{aligned} \right. g ( x )=3^{x}$$，则这两个函数图象的交点个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['指数（型）函数的单调性'， '底数对指数函数图象的影响']正确率40.0%设$${{x}{>}{0}}$$，且$$1 < ~ b^{x} < ~ a^{x}$$，则（）
C
A.$$0 < ~ b < ~ a < ~ 1$$
B.$$0 < ~ a < ~ b < ~ 1$$
C.$$1 < ~ b < ~ a$$
D.$$1 < ~ a < ~ b$$
1. 对于函数 $$f(x) = (a^2 - 1)^x$$，当 $$x > 0$$ 时总有 $$f(x) > 1$$，需要分析指数函数的性质：
- 若 $$a^2 - 1 > 1$$，即 $$a^2 > 2$$，则 $$|a| > \sqrt{2}$$，此时 $$f(x)$$ 随 $$x$$ 增大而增大，且 $$f(x) > 1$$ 成立。
- 若 $$0 < a^2 - 1 < 1$$，即 $$1 < a^2 < 2$$，则 $$f(x)$$ 随 $$x$$ 增大而减小，$$f(x)$$ 会趋近于 0，不满足条件。
- 若 $$a^2 - 1 \leq 0$$，函数无定义或值为 0 或 1，不满足 $$f(x) > 1$$。
综上，实数 $$a$$ 满足的条件是 $$|a| > \sqrt{2}$$，选项 D 正确。
4. 设 $$2^m = 3^n$$，且 $$m > 0$$，$$n > 0$$，取自然对数得：
$$m \ln 2 = n \ln 3$$
$$\frac{m}{n} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.585$$
因此，$$m > n$$，选项 A 正确。
5. 函数 $$f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 - 6x + 5}$$ 的值域分析：
- 先求指数部分 $$g(x) = x^2 - 6x + 5$$ 的最小值：
$$g(x) = (x - 3)^2 - 4$$
最小值为 $$-4$$。
- 由于底数 $$\frac{1}{2} \in (0, 1)$$，函数 $$f(x)$$ 的最大值为 $$\left( \frac{1}{2} \right)^{-4} = 16$$。
- 当 $$x \to \pm\infty$$ 时，$$g(x) \to +\infty$$，$$f(x) \to 0$$。
因此，值域为 $$(0, 16]$$，选项 A 正确。
6. 函数 $$f(x)$$ 分段定义，与 $$g(x) = 3^x$$ 的交点分析：
- 当 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = x + 3$$，与 $$g(x)$$ 的交点方程为 $$x + 3 = 3^x$$。
- 在 $$x = 0$$ 时，$$3 = 1$$ 不成立。
- 在 $$x = 1$$ 时，$$4 = 3$$ 不成立。
- 通过图像或数值分析可知，在 $$x \in (-\infty, 1)$$ 内无交点。
- 当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = -x^2 + 2x + 3$$，与 $$g(x)$$ 的交点方程为 $$-x^2 + 2x + 3 = 3^x$$。
- 在 $$x = 1$$ 时，$$4 = 3$$ 不成立。
- 在 $$x = 2$$ 时，$$3 = 9$$ 不成立。
- 通过图像分析可知，在 $$x > 1$$ 时有两个交点。
综上，共有 2 个交点，选项 B 正确。
10. 设 $$x > 0$$，且 $$1 < b^x < a^x$$，分析如下：
- 若 $$a > b > 1$$，则 $$a^x > b^x > 1$$ 成立。
- 若 $$0 < a < b < 1$$，则 $$a^x < b^x < 1$$，不满足条件。
- 若 $$0 < b < a < 1$$，则 $$a^x < b^x < 1$$，不满足条件。
- 若 $$1 < a < b$$，则 $$a^x < b^x$$，但题目要求 $$a^x > b^x$$，矛盾。
因此，唯一满足条件的是 $$1 < b < a$$，选项 C 正确。
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