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正确率40.0%已知$$A. ~ B. ~ C$$是圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=4$$上的三点，$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}， \， \， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{O A}=( \cdot)$$
C
A.$${{6}}$$
B.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{−}{6}}$$
D.$${{−}{6}{\sqrt {3}}}$$
2、['点与圆的位置关系']正确率80.0%点$$P ( 3， \ m )$$与圆$$( x+1 )^{2}+y^{2}=9$$的位置关系是（）
B
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.不确定
3、['点与圆的位置关系']正确率80.0%若点$$( a+1， a-1 )$$在圆$$x^{2}+y^{2}-2 a y-4=0$$的内部$${{(}}$$不包括边界$${{)}}$$，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{a}{>}{1}}$$
B.$$0 < a < 1$$
C.$$a < \frac{1} {5}$$
D.$${{a}{<}{1}}$$
4、['点与圆的位置关系'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%已知定点$$P ( x_{0}， \ y_{0} )$$在单位圆$$x^{2}+y^{2}=1$$内部，则直线$$x_{0} x+y_{0} y=1$$与圆$$x^{2}+y^{2}=1$$的位置关系是（）
C
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
5、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知圆的方程为$$x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-4=0$$，设该圆过点$$M ( 2， 3 )$$的最长弦和最短弦分别为$${{A}{C}}$$和$${{B}{D}}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$面积为（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{6}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{6}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{6}{\sqrt {{1}{1}}}}$$
6、['古典概型的概率计算公式'， '古典概型的应用'， '点与圆的位置关系'， '分步乘法计数原理']正确率60.0%若用连续投掷两枚均匀的正方体骰子分别得到的点数$${{m}{，}{n}}$$作为点$${{P}}$$的坐标$$( m， n )$$，则点$${{P}}$$落在圆$$x^{2}+y^{2}=1 6$$内的概率为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
7、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切'， '直线与圆相交']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$过点$$P ~ ( \mathrm{~}-1， \mathrm{~} \sqrt{3} )$$，圆$$C_{:} \ x^{2}+y^{2}=4$$，则直线$${{l}}$$与圆$${{C}}$$的位置关系是（）
C
A.相切
B.相交
C.相切或相交
D.相离
8、['双曲线的离心率'， '点与圆的位置关系'， '双曲线的渐近线'， '两直线的交点坐标'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%设双曲线的左准线与两条渐近线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，左焦点在以$${{A}{B}}$$为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）
B
A.$$( 0， \sqrt2 )$$
B.$$( 1， \sqrt{2} )$$
C.$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$
D.$$( \sqrt{2}，+\infty)$$
9、['点与圆的位置关系'， '直线的点斜式方程'， '两条直线垂直'， '直线的斜率']正确率40.0%过点$$( 3， 1 )$$作圆$$\left( x-1 \right)^{2}+y^{2}=r^{2}$$的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）
D
A.$$x-2 y-5=0$$
B.$$x-2 y-7=0$$
C.$$2 x+y-5=0$$
D.$$2 x+y-7=0$$
10、['点与圆的位置关系']正确率60.0%若原点在圆$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{3} )^{\mathbf{\alpha} 2}+\mathbf{\alpha} ( \mathbf{y}+4 )^{\mathbf{\alpha} 2}=m$$的外部，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{m}{>}{{2}{5}}}$$
B.$${{m}{>}{5}}$$
C.$$0 < m < 2 5$$
D.$$0 < m < 5$$
1. 已知 $$A, B, C$$ 在圆 $$O: x^2 + y^2 = 4$$ 上，且 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$$。设 $$\overrightarrow{OA} = (x_1, y_1)$$，$$\overrightarrow{OB} = (x_2, y_2)$$，则 $$\overrightarrow{OC} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$。由于 $$A, B, C$$ 在圆上，有 $$x_1^2 + y_1^2 = 4$$，$$x_2^2 + y_2^2 = 4$$，$$(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 = 4$$。展开得 $$x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + 2(x_1 x_2 + y_1 y_2) = 4$$，代入得 $$4 + 4 + 2(x_1 x_2 + y_1 y_2) = 4$$，即 $$8 + 2(x_1 x_2 + y_1 y_2) = 4$$，解得 $$x_1 x_2 + y_1 y_2 = -2$$。
计算 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OA} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OA} = (x_1 x_2 + y_1 y_2) - (x_1^2 + y_1^2) = -2 - 4 = -6$$。
答案：C. $$-6$$
2. 圆 $$(x + 1)^2 + y^2 = 9$$ 的圆心为 $$(-1, 0)$$，半径 $$r = 3$$。计算点 $$P(3, m)$$ 到圆心的距离：$$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (m - 0)^2} = \sqrt{16 + m^2} \geq 4 > 3$$，因此点 $$P$$ 在圆外。
答案：B. 在圆外
3. 圆 $$x^2 + y^2 - 2 a y - 4 = 0$$ 化为标准形式：$$x^2 + (y - a)^2 = a^2 + 4$$，圆心为 $$(0, a)$$，半径 $$r = \sqrt{a^2 + 4}$$。点 $$(a + 1, a - 1)$$ 在圆内部，需满足到圆心距离小于半径：$$\sqrt{(a + 1 - 0)^2 + (a - 1 - a)^2} < \sqrt{a^2 + 4}$$，即 $$\sqrt{(a + 1)^2 + (-1)^2} < \sqrt{a^2 + 4}$$，两边平方得 $$(a + 1)^2 + 1 < a^2 + 4$$，展开得 $$a^2 + 2a + 1 + 1 < a^2 + 4$$，即 $$2a + 2 < 4$$，解得 $$a < 1$$。同时需保证点在圆内（不包括边界），且分母不为零，综合得 $$a < 1$$。
答案：D. $$a < 1$$
4. 单位圆 $$x^2 + y^2 = 1$$，点 $$P(x_0, y_0)$$ 在内部，有 $$x_0^2 + y_0^2 < 1$$。直线 $$x_0 x + y_0 y = 1$$ 到圆心 $$(0, 0)$$ 的距离为 $$d = \frac{| -1 |}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} > 1$$（因为 $$\sqrt{x_0^2 + y_0^2} < 1$$），所以 $$d > r = 1$$，直线与圆相离。
答案：C. 相离
5. 圆方程 $$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$$ 化为标准形式：$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$$，圆心 $$C(1, 2)$$，半径 $$r = 3$$。最长弦为直径，过 $$M(2, 3)$$ 和圆心，方向为 $$\overrightarrow{CM} = (1, 1)$$，长度 $$6$$。最短弦为与 $$\overrightarrow{CM}$$ 垂直的弦，方向 $$(-1, 1)$$，半弦长 $$l = \sqrt{r^2 - d^2}$$，其中 $$d$$ 为 $$M$$ 到圆心距离：$$d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{2}$$，所以 $$l = \sqrt{9 - 2} = \sqrt{7}$$，弦长 $$2\sqrt{7}$$。四边形 $$ABCD$$ 为两垂直弦构成的矩形，面积 $$6 \times 2\sqrt{7} = 12\sqrt{7}$$？但选项无此值，重新审题：最长弦和最短弦分别为 $$AC$$ 和 $$BD$$，则四边形为菱形，面积公式为对角线乘积的一半：$$\frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$$。
答案：C. $$6\sqrt{7}$$
6. 骰子点数 $$m, n$$ 从 1 到 6，总情况数 $$6 \times 6 = 36$$。点 $$P(m, n)$$ 在圆 $$x^2 + y^2 < 16$$ 内，需满足 $$m^2 + n^2 < 16$$。枚举满足条件的 $$(m, n)$$：
$$m = 1$$：$$n = 1, 2, 3$$（3 点）
$$m = 2$$：$$n = 1, 2, 3$$（3 点）
$$m = 3$$：$$n = 1, 2$$（2 点）
$$m = 4$$ 及以上时 $$m^2 \geq 16$$，不满足。总满足点数 $$3 + 3 + 2 = 8$$。
概率 $$P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$$。
答案：D. $$\frac{2}{9}$$
7. 圆 $$C: x^2 + y^2 = 4$$，圆心 $$(0, 0)$$，半径 $$r = 2$$。点 $$P(-1, \sqrt{3})$$ 到圆心距离 $$d = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 = r$$，所以点 $$P$$ 在圆上。过圆上一点的直线与圆的位置关系为相交或相切（若为切线则相切，否则相交）。
答案：C. 相切或相交
8. 设双曲线标准方程 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，离心率 $$e = \frac{c}{a}$$，$$c^2 = a^2 + b^2$$。左准线 $$x = -\frac{a^2}{c}$$，渐近线 $$y = \pm \frac{b}{a} x$$。联立求交点 $$A, B$$：代入 $$x = -\frac{a^2}{c}$$ 得 $$y = \pm \frac{b}{a} \left( -\frac{a^2}{c} \right) = \mp \frac{a b}{c}$$，所以 $$A\left( -\frac{a^2}{c}, -\frac{a b}{c} \right)$$，$$B\left( -\frac{a^2}{c}, \frac{a b}{c} \right)$$。以 $$AB$$ 为直径的圆，圆心为 $$\left( -\frac{a^2}{c}, 0 \right)$$，半径 $$R = \frac{a b}{c}$$。左焦点 $$F(-c, 0)$$ 在该圆内，需满足 $$F$$ 到圆心距离小于半径：$$\left| -c + \frac{a^2}{c} \right| < \frac{a b}{c}$$，即 $$\left| \frac{a^2 - c^2}{c} \right| < \frac{a b}{c}$$，代入 $$c^2 - a^2 = b^2$$ 得 $$\left| -\frac{b^2}{c} \right| < \frac{a b}{c}$$，即 $$\frac{b^2}{c} < \frac{a b}{c}$$，两边乘 $$c$$（正）得 $$b^2 < a b$$，即 $$b < a$$（$$b > 0$$）。所以 $$\frac{b}{a} < 1$$，即 $$\sqrt{e^2 - 1} < 1$$，解得 $$e^2 < 2$$，$$e < \sqrt{2}$$。又双曲线 $$e > 1$$，所以 $$1 < e < \sqrt{2}$$。
答案：B. $$(1, \sqrt{2})$$
9. 过点 $$(3, 1)$$ 作圆 $$(x - 1)^2 + y^2 = r^2$$ 的切线有且只有一条，说明点在圆上。代入点：$$(3 - 1)^2 + 1^2 = r^2$$，得 $$4 + 1 = 5 = r^2$$。圆心 $$(1, 0)$$，点 $$(3, 1)$$，斜率 $$k = \frac{1 - 0}{3 - 1} = \frac{1}{2}$$，切线斜率 $$-2$$（垂直半径）。切线方程：$$y - 1 = -2(x - 3)$$，即 $$2x + y - 7 = 0$$。
答案：D. $$2x + y - 7 = 0$$
10. 圆 $$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = m$$，圆心 $$(3, -4)$$，半径 $$\sqrt{m}$$（$$m > 0$$）。原点 $$(0, 0)$$ 在圆外部，需满足到圆心距离大于半径：$$\sqrt{(0 - 3)^2 + (0 + 4)^2} > \sqrt{m}$$，即 $$\sqrt{9 + 16} > \sqrt{m}$$，$$5 > \sqrt{m}$$，所以 $$m < 25$$。同时 $$m > 0$$（圆存在），所以 $$0 < m < 25$$。
答案：C. $$0 < m < 25$$