点与圆的位置关系-2.4 圆的方程知识点课后进阶单选题自测题解析-贵州省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['点与圆的位置关系'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '向量的夹角'， '向量与其他知识的综合应用'， '与圆有关的最值问题'， '两个向量数量积的几何意义']

正确率19.999999999999996%已知圆$$C \colon~ x^{2}+y^{2}-2 x-2 \sqrt{3} y+3=0$$，点$$A ~ ( 0， ~ m ) ~ ~ ( m > 0 ) ~， ~ A， ~ B$$两点关于$${{x}}$$轴对称．若圆$${{C}}$$上存在点$${{M}}$$，使得$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{B M}=0，$$则当$${{m}}$$取得最大值时，点$${{M}}$$的坐标是（）

A.$$( \frac{3} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{2}} {2} )$$

B.$$( \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \mathrm{~} \frac{3} {2} )$$

C.$$( \frac{3} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{3}} {2} )$$

D.$$( \frac{3 \sqrt{3}} {2}， \mathrm{~} \frac{3} {2} )$$

2、['点与圆的位置关系'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']

正确率40.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为单位向量，且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$向量$${{c}^{→}}$$满足$$| \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=2$$，则$${{|}{{c}^{→}}{|}}$$的范围为（）

A.$$[ 1， ~ 1+\sqrt{2} ]$$

B.$$[ 2-\sqrt{2}， ~ 2+\sqrt{2} ]$$

C.$$[ \sqrt{2}， ~ 2 \sqrt{2} ]$$

D.$$[ 3-2 \sqrt{2}， ~ 3+2 \sqrt{2} ]$$

3、['点与圆的位置关系']

正确率80.0%点$$P ( a， ~ 1 0 )$$与圆$$( x-1 )^{2}+( y-1 )^{2}=2$$的位置关系是（）

A.在圆内

B.在圆上

C.在圆外

D.不确定

4、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆相交']

正确率40.0%已知圆的方程为$$x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-4=0$$，设该圆过点$$M ( 2， 3 )$$的最长弦和最短弦分别为$${{A}{C}}$$和$${{B}{D}}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$面积为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{6}{\sqrt {5}}}$$

C.$${{6}{\sqrt {7}}}$$

D.$${{6}{\sqrt {{1}{1}}}}$$

5、['点与圆的位置关系'， '直线的点斜式方程'， '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率60.0%直线$$y=k x+1$$与圆$$x^{2}+y^{2}+2 y-5=0$$的位置关系是（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.相交或相切

6、['双曲线的离心率'， '点与圆的位置关系'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点，过点$${{F}_{2}}$$与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点$${{M}}$$，若点$${{M}}$$在以线段$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.$$( 2，+\infty)$$

B.$$( \sqrt{3}， 2 )$$

C.$$( \sqrt2， \sqrt3 )$$

D.$$( 1， \sqrt{2} )$$

7、['点与圆的位置关系'， '直线和圆与其他知识的综合应用']

正确率19.999999999999996%点$$A (-1， 2 )$$在直线$$2 a x-b y+1 4=0 ( a > 0， b > 0 )$$上，且该点始终落在圆$$( x-a+1 )^{2}+( y+b-2 )^{2}=2 5$$的内部或圆上，那么$$\frac{b} {a}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{3} {4}， \frac{4} {3} ]$$

B.$$[ \frac{3} {4}， \frac{4} {3} )$$

C.$$( \frac{3} {4}， \frac{4} {3} ]$$

D.$$( \frac{3} {4}， \frac{4} {3} )$$

8、['点与圆的位置关系'， '点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率60.0%若$$M \emph{\Pi} ( \emph{x}_{0}， \emph{y}_{0} )$$为圆$$x^{2}+y^{2}=r^{2} \ ( \ r > 0 )$$上一点，则直线$$x_{0} x+y_{0} y=r^{2}$$与该圆的位置关系为（）

A.相切

B.相交

C.相离

D.相切或相交

9、['点与圆的位置关系']

正确率60.0%已知圆的方程是$$\left( x-2 \right)^{2}+\left( y-5 \right)^{2}=4$$，则点$$P \， ( 1， 2 )$$与圆的位置关系是$${{(}{)}}$$

A.在圆内

B.在圆上

C.在圆外

D.不确定

10、['点与圆的位置关系'， '两点间的距离'， '与圆有关的最值问题'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率60.0%svg异常

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{3}{6}}$$

D.$${{5}{2}}$$

1. 首先将圆$$C$$的方程化为标准形式：$$(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 1$$，圆心为$$(1, \sqrt{3})$$，半径$$r=1$$。点$$A(0, m)$$和$$B(0, -m)$$关于$$x$$轴对称。根据题意，存在点$$M$$在圆$$C$$上，使得$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$$，即$$M$$在以$$AB$$为直径的圆上。因此，$$M$$在两圆的交点上。两圆有交点的条件是圆心距$$d$$满足$$|r_1 - r_2| \leq d \leq r_1 + r_2$$。这里，以$$AB$$为直径的圆的圆心为$$(0, 0)$$，半径$$r' = m$$。计算圆心距$$d = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = 2$$。因此，$$|1 - m| \leq 2 \leq 1 + m$$，解得$$m \leq 3$$。当$$m=3$$时，$$M$$为两圆的交点之一，代入选项验证，点$$(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$$在圆$$C$$上，故选C。

2. 由题意，$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{b}$$是垂直的单位向量，设$$\overrightarrow{a} = (1, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (0, 1)$$。向量$$\overrightarrow{c}$$满足$$|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 2$$，即$$|\overrightarrow{c} - (1, 1)| = 2$$。这意味着$$\overrightarrow{c}$$在以$$(1, 1)$$为圆心、半径为2的圆上。$$|\overrightarrow{c}|$$的取值范围是圆心到原点的距离加减半径，即$$\sqrt{1^2 + 1^2} \pm 2$$，即$$[\sqrt{2} - 2, \sqrt{2} + 2]$$。但$$|\overrightarrow{c}|$$的最小值为0，因此实际范围为$$[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$$，故选B。

3. 将点$$P(a, 10)$$代入圆的方程$$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$$，得$$(a-1)^2 + (10-1)^2 = (a-1)^2 + 81$$。与圆的半径平方$$2$$比较，显然$$(a-1)^2 + 81 > 2$$，因此点$$P$$在圆外，故选C。

4. 圆的方程化为标准形式：$$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$$，圆心为$$(1, 2)$$，半径$$r=3$$。最长弦$$AC$$为直径，长度为$$6$$；最短弦$$BD$$与$$OM$$垂直，其中$$O$$为圆心，$$M(2, 3)$$。计算$$OM = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2}$$，因此$$BD = 2\sqrt{r^2 - OM^2} = 2\sqrt{9 - 2} = 2\sqrt{7}$$。四边形$$ABCD$$的面积为$$\frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$$，故选C。

5. 圆的方程化为标准形式：$$x^2 + (y+1)^2 = 6$$，圆心为$$(0, -1)$$，半径$$r=\sqrt{6}$$。直线$$y=kx+1$$化为标准形式：$$kx - y + 1 = 0$$。计算圆心到直线的距离$$d = \frac{|k \cdot 0 - (-1) + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{k^2 + 1}}$$。因为$$\frac{2}{\sqrt{k^2 + 1}} \leq \sqrt{6}$$对所有$$k$$成立，所以直线与圆相交，故选A。

6. 双曲线的渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$。过$$F_2(c, 0)$$且平行于一条渐近线的直线为$$y = \frac{b}{a}(x - c)$$，与另一条渐近线$$y = -\frac{b}{a}x$$的交点$$M$$满足$$\frac{b}{a}(x - c) = -\frac{b}{a}x$$，解得$$x = \frac{c}{2}$$，$$y = -\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{2}$$。点$$M$$在以$$F_1F_2$$为直径的圆外，即$$(\frac{c}{2})^2 + (-\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{2})^2 > c^2$$，化简得$$\frac{c^2}{4}(1 + \frac{b^2}{a^2}) > c^2$$，即$$1 + \frac{b^2}{a^2} > 4$$，因此$$\frac{b^2}{a^2} > 3$$，即$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 2$$，故选A。

7. 点$$A(-1, 2)$$在直线$$2ax - by + 14 = 0$$上，代入得$$-2a - 2b + 14 = 0$$，即$$a + b = 7$$。点$$A$$在圆$$(x-a+1)^2 + (y+b-2)^2 \leq 25$$内或圆上，代入得$$(-1 - a + 1)^2 + (2 + b - 2)^2 \leq 25$$，即$$a^2 + b^2 \leq 25$$。结合$$a + b = 7$$，解得$$ab = \frac{(a+b)^2 - (a^2 + b^2)}{2} \geq \frac{49 - 25}{2} = 12$$。由$$a, b > 0$$，$$\frac{b}{a}$$的范围为$$[\frac{3}{4}, \frac{4}{3}]$$，故选A。

8. 直线$$x_0 x + y_0 y = r^2$$与圆$$x^2 + y^2 = r^2$$的位置关系可以通过圆心到直线的距离判断。圆心为$$(0, 0)$$，距离$$d = \frac{|x_0 \cdot 0 + y_0 \cdot 0 - r^2|}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} = \frac{r^2}{r} = r$$（因为$$(x_0, y_0)$$在圆上，$$\sqrt{x_0^2 + y_0^2} = r$$）。因此距离等于半径，直线与圆相切，故选A。

9. 将点$$P(1, 2)$$代入圆的方程$$(x-2)^2 + (y-5)^2 = 4$$，得$$(1-2)^2 + (2-5)^2 = 1 + 9 = 10 > 4$$，因此点$$P$$在圆外，故选C。

10. 题目描述不完整，无法解析。

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