圆的定义与标准方程-2.4 圆的方程知识点回顾进阶选择题自测题解析-广西壮族自治区等高一数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['基本不等式的综合应用'， '圆的定义与标准方程'， '平面向量基本定理'， '平面向量坐标运算的综合应用']

正确率0.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，$${{A}}$$为锐角且$$\operatorname{s i n} A=\frac{2 \sqrt{2}} {3}，$$若$$\overrightarrow{A O}=\alpha\overrightarrow{A B}+\beta\overrightarrow{A C}，$$则$${{α}{+}{β}}$$的最大值为（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

2、['圆的定义与标准方程'， '双曲线的定义'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线的两个焦点$${，{Q}}$$是双曲线上任意一点，从焦点$${{F}_{1}}$$引$${{∠}{{F}_{1}}{Q}{{F}_{2}}}$$的平分线的垂线，垂足为$${{P}{，}}$$则点$${{P}}$$的轨迹为（）

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线

3、['两点间的斜率公式'， '圆的定义与标准方程'， '直线和圆相切'， '直线的斜率']

正确率60.0%若实数$${{x}{、}{y}}$$满足$$( x+2 )^{\textit{2}}+y^{2}=3$$，则$$\frac{y} {x}$$的最大值为（）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$

4、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线和圆相切']

正确率60.0%经过抛物线$$y^{2}=-8$$的焦点且准线相切的圆的方程可能为

A.$$( x-3 )^{2}+y^{2}=1$$

B.$$\left( x+1 \right)^{2}+\left( y+2 \sqrt{2} \right)^{2}=1 2$$

C.$$x^{2}+( y+1 )^{2}=5$$

D.$$( x+2 )^{2}+( y-4 )^{2}=1 6$$

5、['圆的定义与标准方程'， '圆的一般方程'， '直线和圆与其他知识的综合应用']

正确率60.0%经过三点$$A ~ ( \textbf{-1， 0} ) ~， ~ B ~ ( \textbf{3， 0} ) ~， ~ C ~ ( \textbf{-1， 2} )$$的圆的面积$${{S}{=}{（}}$$）

A.$${{π}}$$

B.$${{2}{π}}$$

C.$${{3}{π}}$$

D.$${{4}{π}}$$

6、['圆的定义与标准方程'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%若圆$$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+1=0$$上的任意一点关于直线$$2 a x-b y+2=0 ( a， b \in\mathbf{R}^{+} )$$的对称点仍在圆上，则$$\frac1 a+\frac2 b$$最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{3}{+}{4}{\sqrt {2}}}$$

7、['圆的定义与标准方程'， '充分、必要条件的判定'， '直线与圆相交']

正确率60.0%已知直线$${{l}}$$的方程为$$a x+y-2 a+3=0$$，则$${{“}}$$直线$${{l}}$$平分圆$$( \mathrm{\ensuremath{x}}-2 )^{\mathrm{\ensuremath{2}}}+\mathrm{\ensuremath{( y+3 )}}^{\mathrm{\ensuremath{2}}}=1$$的周长$${{”}}$$是$$\omega a=1 "$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8、['圆的定义与标准方程']

正确率60.0%已知两直线$$x-2 y=0$$和$$x+y-3=0$$的交点为$${{M}}$$，则以点$${{M}}$$为圆心，半径长为$${{1}}$$的圆的方程是（）

A.（$$x+1 )^{\textit{2}}+\textit{(}$$$$y+2 ) \，^{2}=1$$

B.（$$x-1 ) \，^{2} \，+\， ($$$$y-2 ) \， \，^{2}=1$$

C.（$$x+2 )^{\textit{2}}+\textit{(}$$$$y+1 ) \， \，^{2}=1$$

D.（$$x-2 )^{\textit{2}}+\textit{(}$$$$y-1 ) \， \，^{2}=1$$

9、['双曲线的渐近线'， '圆的定义与标准方程'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%以双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）

A.$$( x-5 )^{\textit{2}}+y^{2}=1 6$$

B.$$( x-5 )^{2}+y^{2}=9$$

C.$$( x+5 )^{\textit{2}}+y^{2}=9$$

D.$$( x+5 )^{\ 2}+y^{2}=1 6$$

10、['圆的定义与标准方程'， '圆的一般方程']

正确率60.0%已知圆$$x^{2}+y^{2}+2 x-2 y+a=0$$的半径为$${{2}}$$，则实数$${{a}}$$的值为

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{−}{4}}$$

C.$${{−}{6}}$$

D.$${{−}{8}}$$

1. 解析：

已知 $$O$$ 为 $$△ABC$$ 的外心，且 $$A$$ 为锐角，$$\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。由外心性质，向量 $$\overrightarrow{AO}$$ 可以表示为 $$\alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$$。我们需要求 $$\alpha + \beta$$ 的最大值。

首先，利用外心的性质，有 $$|\overrightarrow{AO}| = R$$（外接圆半径）。由正弦定理，$$2R = \frac{a}{\sin A}$$，其中 $$a = BC$$。

将 $$\overrightarrow{AO}$$ 表示为 $$\alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$$，平方后利用向量点积公式，结合 $$\sin A$$ 的值，可以推导出 $$\alpha + \beta$$ 的最大值为 $$\frac{2}{3}$$。因此，正确答案为 C。

2. 解析：

设双曲线的两个焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，$$Q$$ 为双曲线上任意一点。从 $$F_1$$ 引 $$\angle F_1QF_2$$ 的平分线的垂线，垂足为 $$P$$。

利用双曲线的几何性质，可以证明点 $$P$$ 的轨迹是一个圆。这是因为角平分线的垂足在双曲线的辅助圆上。因此，正确答案为 B。

3. 解析：

给定圆的方程 $$(x+2)^2 + y^2 = 3$$，求 $$\frac{y}{x}$$ 的最大值。

设 $$\frac{y}{x} = k$$，则 $$y = kx$$。代入圆的方程，得到关于 $$x$$ 的二次方程。为使方程有实数解，判别式必须非负，从而解得 $$k$$ 的最大值为 $$\sqrt{3}$$。因此，正确答案为 A。

4. 解析：

抛物线的方程为 $$y^2 = -8x$$，其焦点为 $$(-2, 0)$$，准线为 $$x = 2$$。圆的准线相切，意味着圆心到准线的距离等于半径。

对于选项 A，圆心 $$(3, 0)$$ 到准线 $$x = 2$$ 的距离为 1，半径也为 1，且经过焦点 $$(-2, 0)$$，验证成立。因此，正确答案为 A。

5. 解析：

给定三点 $$A(-1, 0)$$、$$B(3, 0)$$、$$C(-1, 2)$$，求圆的面积。

通过几何分析，$$AB$$ 的中垂线为 $$x = 1$$，$$AC$$ 的中垂线为 $$y = 1$$，圆心为 $$(1, 1)$$。半径 $$r = \sqrt{(1-(-1))^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$$，但重新计算发现半径应为 $$\sqrt{(1-3)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$$，面积为 $$5\pi$$，但选项中没有，需重新检查。

实际上，圆心 $$(1, 1)$$，半径 $$r = \sqrt{(1-(-1))^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$$，面积为 $$5\pi$$，但选项中没有，可能是题目描述有误或选项不全。

6. 解析：

圆的方程为 $$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$$，化简得 $$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$$。圆心为 $$(-1, 2)$$。

对称点仍在圆上，说明直线 $$2ax - by + 2 = 0$$ 过圆心。代入得 $$-2a - 2b + 2 = 0$$，即 $$a + b = 1$$。

求 $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$$ 的最小值，利用不等式或拉格朗日乘数法，最小值为 $$3 + 2\sqrt{2}$$。因此，正确答案为 C。

7. 解析：

直线 $$l$$ 的方程为 $$ax + y - 2a + 3 = 0$$。圆 $$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 1$$ 的圆心为 $$(2, -3)$$。

直线平分圆的周长，意味着直线过圆心。代入圆心坐标得 $$2a - 3 - 2a + 3 = 0$$，恒成立，因此条件是充要的。但题目描述有误，可能是 $$a = 1$$ 时成立，需进一步分析。

实际上，直线过圆心时 $$a$$ 可以是任意值，因此题目描述不完整，可能选 D。

8. 解析：

两直线 $$x - 2y = 0$$ 和 $$x + y - 3 = 0$$ 的交点为 $$M$$。解方程组得 $$M(2, 1)$$。

以 $$M$$ 为圆心，半径为 1 的圆的方程为 $$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1$$。因此，正确答案为 D。

9. 解析：

双曲线 $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$$ 的右焦点为 $$(5, 0)$$。渐近线为 $$y = \pm \frac{4}{3}x$$。

计算焦点到渐近线的距离为 $$\frac{|4 \cdot 5|}{5} = 4$$，因此圆的方程为 $$(x-5)^2 + y^2 = 16$$。正确答案为 A。

10. 解析：

圆的方程为 $$x^2 + y^2 + 2x - 2y + a = 0$$，化简得 $$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 2 - a$$。

半径为 2，故 $$2 - a = 4$$，解得 $$a = -2$$。因此，正确答案为 A。

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