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正确率40.0%已知双曲线$${{C}{：}{{x}^{2}}{−}{{y}^{2}}{=}{2}}$$的左右焦点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}{O}}$$为坐标原点，点$${{P}}$$在双曲线$${{C}}$$上，且$${{|}{O}{P}{|}{=}{2}}$$，则$$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\c n$$）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
2、['圆的定义与标准方程'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$$| \overrightarrow{A B} |=2， \; E$$为$${{A}{D}}$$的中点，$${{P}}$$为正方形$${{A}_{1}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$内的一个动点(含边界$${{)}}$$，且$$| \overrightarrow{P E} | \leq\sqrt{5}$$，则$$| \overrightarrow{P A_{1}}+\overrightarrow{P B_{1}}+\overrightarrow{P C_{1}} |$$的最小值为（）
B
A.$${\sqrt {{1}{7}}{−}{1}}$$
B.$${\sqrt {{1}{7}}{−}{3}}$$
C.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}{+}{1}}$$
3、['圆的定义与标准方程'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率80.0%过点$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$且与直线$${{y}{=}{x}{−}{2}}$$相切，圆心在$${{x}}$$轴上的圆的方程为$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{3}}$$
B.$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{5}}$$
C.$${{(}{x}{+}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$
D.$${{(}{x}{+}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{8}}$$
4、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}{：}{{1}{2}}{x}{−}{5}{y}{−}{{2}{4}}{=}{0}}$$交双曲线的右支于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{∠}{A}{{F}_{1}}{B}}$$的角平分线的方程为$${{x}{−}{4}{y}{+}{2}{=}{0}}$$，则三角形$${{A}{{F}_{1}}{B}}$$内切圆的标准方程为（）
A
A.$$( \， x-\frac{1} {2} )^{\ 2}+\ ( \， y-\frac{5} {8} )^{\ 2}=\ ( \， \frac{1 3} {8} )^{\ 2}$$
B.$$( \mathrm{\boldmath~ x ~}-1 )^{\mathrm{\boldmath~ 2 ~}}+\mathrm{\boldmath~ ( ~ y-\frac{3} {4} ~} )^{\mathrm{\boldmath~ 2 ~}}=\mathrm{\boldmath~ ( ~ \frac{5} {4} ~ )^{\mathrm{\boldmath~ 2 ~}} ~}$$
C.$$( \， x-1 )^{\ 2}+\ ( \， y-\frac{3} {4} )^{\ 2}=\ ( \， \frac{6 3} {5 2} \， )^{\ 2}$$
D.$$( \， x-\frac{1} {2} )^{\ 2}+\ ( \， y-\frac{5} {8} )^{\ 2}=\ ( \， \frac{5} {4} \， )^{\ 2}$$
5、['圆的定义与标准方程'， '圆的一般方程'， '利用基本不等式求最值'， '与圆有关的最值问题']正确率19.999999999999996%点$${{M}{(}{m}{，}{n}{)}}$$在曲线$${{C}{:}{{x}^{2}}{−}{4}{x}{+}{{y}^{2}}{−}{{2}{1}}{=}{0}}$$上运动$${，}$$$${{t}{=}{{m}^{2}}{+}{{n}^{2}}{+}{{1}{2}}{m}{−}}$$$${{1}{2}{n}{−}{{1}{5}{0}}{−}{a}{，}}$$且$${{t}}$$的最大值为$${{b}{，}}$$若$${{a}{，}{b}{∈}{(}{0}{，}{+}{∞}{)}{，}}$$则$$\frac{1} {a+1}+\frac{1} {b}$$的最小值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离']正确率60.0%已知圆$${{C}}$$过点$${{A}{(}{2}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{0}{，}{2}{\sqrt {2}}{)}}$$，且圆心$${{C}}$$在直线$${{y}{=}{0}}$$上，则圆$${{C}}$$的方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{x}{−}{1}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{9}}$$
B.$${{(}{x}{−}{2}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$
C.$${{(}{x}{+}{1}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{9}}$$
D.$${{(}{x}{+}{2}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$
7、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '平面上中点坐标公式']正确率60.0%已知点$${{A}{(}{1}{，}{−}{1}{)}{，}{B}{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$，则以线段$${{A}{B}}$$为直径的圆的方程是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$
B.$${{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$
D.$${{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{2}}$$
8、['圆的定义与标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线和圆相切']正确率60.0%以抛物线$${{E}{:}{{x}^{2}}{=}{4}{y}}$$的焦点为圆心，且与$${{E}}$$的准线相切的圆的方程为（）
D
A.$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$
B.$${{x}^{2}{+}{(}{y}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{4}}$$
C.$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$
D.$${{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{1}{{)}^{2}}{=}{4}}$$
9、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程']正确率60.0%圆$${{(}{x}{－}{3}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{－}{3}{{)}^{2}}{＝}{9}}$$上到直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{－}{{1}{1}}{＝}{0}}$$的距离等于$${{1}}$$的点的个数为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['圆的定义与标准方程'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知$${{⊙}{O}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{5}}$$与$${{⊙}{{O}_{1}}{：}{{(}{x}{−}{a}{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{r}^{2}}{{(}{a}{>}{0}{)}}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若两圆在$${{A}}$$点处的切线互相垂直，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{4}}$$，则$${{⊙}{{O}_{1}}}$$曲方程为（）
C
A.$${{(}{x}{−}{4}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{2}{0}}}$$
B.$${{(}{x}{−}{4}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{5}{0}}}$$
C.$${{(}{x}{−}{5}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{2}{0}}}$$
D.$${{(}{x}{−}{5}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{5}{0}}}$$
1. 双曲线方程为 $$x^2 - y^2 = 2$$，其标准形式为 $$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$$，故 $$a = b = \sqrt{2}$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = 2$$。因此，焦点为 $$F_1(-2, 0)$$ 和 $$F_2(2, 0)$$。点 $$P$$ 满足 $$|OP| = 2$$，设 $$P(x, y)$$，则 $$x^2 + y^2 = 4$$。又 $$P$$ 在双曲线上，故 $$x^2 - y^2 = 2$$。联立解得 $$x^2 = 3$$，$$y^2 = 1$$。三角形 $$PF_1F_2$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times |F_1F_2| \times |y| = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$$。答案为 C。
2. 建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$E(1,0,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$。点 $$P$$ 在正方形 $$A_1B_1C_1D_1$$ 内，设 $$P(x,y,2)$$，$$0 \leq x \leq 2$$，$$0 \leq y \leq 2$$。由 $$|PE| \leq \sqrt{5}$$，得 $$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$$。向量 $$\overrightarrow{PA_1} + \overrightarrow{PB_1} + \overrightarrow{PC_1} = (-3x+4, -3y+4, 0)$$，其模为 $$\sqrt{(-3x+4)^2 + (-3y+4)^2}$$。最小值为 $$\sqrt{17} - 3$$（当 $$(x,y)$$ 在圆 $$(x-1)^2 + y^2 = 1$$ 上且接近 $$(1,1)$$ 时取得）。答案为 B。
3. 圆心在 $$x$$ 轴上，设圆心为 $$(a, 0)$$。圆过点 $$(0, 2)$$，半径为 $$\sqrt{a^2 + 4}$$。圆与直线 $$y = x - 2$$ 相切，故距离公式 $$\frac{|a - 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{a^2 + 4}$$，解得 $$a = -2$$。圆的方程为 $$(x+2)^2 + y^2 = 8$$。答案为 D。
4. 双曲线右支与直线 $$12x - 5y - 24 = 0$$ 的交点为 $$A$$ 和 $$B$$。角平分线 $$x - 4y + 2 = 0$$ 是 $$\angle AF_1B$$ 的平分线，利用角平分线性质和双曲线定义，可求得内切圆圆心为 $$(1, \frac{3}{4})$$，半径为 $$\frac{5}{4}$$。答案为 B。
5. 曲线 $$C$$ 的方程为 $$(x-2)^2 + y^2 = 25$$，表示圆心为 $$(2,0)$$，半径为 $$5$$ 的圆。$$t = m^2 + n^2 + 12m - 12n - 150 - a$$，化简为 $$t = (m+6)^2 + (n-6)^2 - 222 - a$$。最大值为 $$b = 5^2 + \text{圆心到点}(-6,6)\text{的距离}^2 - 222 - a = 25 + 100 - 222 - a = -97 - a$$。由 $$b > 0$$ 得 $$a < -97$$，但 $$a > 0$$，题目条件矛盾，可能题目描述有误。假设 $$t = - (m^2 + n^2 + 12m - 12n - 150 - a)$$，则 $$b = 222 - 25 - a = 197 - a$$。由 $$a, b > 0$$ 得 $$0 < a < 197$$。$$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{197 - a}$$，最小值为 $$2$$（当 $$a = 98$$ 时取得）。答案为 B。
6. 圆心在 $$y = 0$$ 上，设圆心为 $$(a, 0)$$。圆过 $$A(2,0)$$ 和 $$B(0,2\sqrt{2})$$，故半径相等：$$|a - 2| = \sqrt{a^2 + (2\sqrt{2})^2}$$，解得 $$a = -1$$。圆的方程为 $$(x+1)^2 + y^2 = 9$$。答案为 C。
7. 线段 $$AB$$ 的中点为 $$(0,0)$$，直径长为 $$2\sqrt{2}$$，半径为 $$\sqrt{2}$$。圆的方程为 $$x^2 + y^2 = 2$$。答案为 D。
8. 抛物线 $$E: x^2 = 4y$$ 的焦点为 $$(0,1)$$，准线为 $$y = -1$$。圆的半径等于焦点到准线的距离，即 $$2$$。圆的方程为 $$x^2 + (y-1)^2 = 4$$。答案为 D。
9. 圆心 $$(3,3)$$ 到直线 $$3x + 4y - 11 = 0$$ 的距离为 $$\frac{|9 + 12 - 11|}{5} = 2$$。圆的半径为 $$3$$，故距离为 $$1$$ 的点在平行于直线的两条线上，且与圆的交点共 $$4$$ 个。答案为 D。
10. 两圆在 $$A$$ 点切线垂直，故 $$OA \perp O_1A$$。设 $$O_1(a,0)$$，由勾股定理得 $$a^2 = 5 + r^2$$。弦长 $$|AB| = 4$$，利用弦长公式得 $$2\sqrt{5 - d^2} = 4$$，其中 $$d$$ 为 $$O$$ 到 $$AB$$ 的距离，解得 $$d = 1$$。又 $$d = \frac{|0 - 0 + a \cdot 0 - 5|}{\sqrt{a^2}} = \frac{5}{a}$$，故 $$a = 5$$，$$r^2 = 20$$。圆的方程为 $$(x-5)^2 + y^2 = 20$$。答案为 C。