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正确率60.0%已知$$A \left( 0， 1 \right)， \， \， \， B \left( \sqrt{2}， 0 \right)， \， \， \， O$$为坐标原点，动点$${{P}}$$满足$$\left| \overrightarrow{O P} \right|=2，$$则$$\left| \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O P} \right|$$的 最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{7}{−}{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{7}{+}{4}{\sqrt {3}}}$$
2、['点与圆的位置关系']正确率80.0%若点$$( 1， ~ 1 )$$在圆$$( x-a )^{2}+( y+a )^{2}=4$$的内部，则$${{a}}$$的值可以是（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
3、['点与圆的位置关系'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%已知定点$$P ( x_{0}， \ y_{0} )$$在单位圆$$x^{2}+y^{2}=1$$内部，则直线$$x_{0} x+y_{0} y=1$$与圆$$x^{2}+y^{2}=1$$的位置关系是（）
C
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
4、['点与圆的位置关系'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '两条直线垂直'， '两条直线平行']正确率60.0%已知圆$$O \colon\quad x^{2}+y^{2}=r^{2}$$，点$$P ( a， b ) ( a b \neq0 )$$是圆$${{O}}$$内一点，过点$${{P}}$$的圆$${{O}}$$的最短的弦在直线$${{l}_{1}}$$上，直线$${{l}_{2}}$$的方程为$$b x-a y=r^{2}$$，那么（）
B
A.$$l_{1} / / l_{2}，$$且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相交
B.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相离
C.$$l_{1} / / l_{2}，$$且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相离
D.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相切
5、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%若过点$$( 1， 2 )$$总可以作两条直线和圆$$x^{2}+y^{2}+k x+2 y+k^{2}-1 5=0$$相切，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left(-\frac{8 \sqrt{3}} {3}， @-3 \right) \cup\left( 2， �odot \frac{8 \sqrt{3}} {3} \right)$$
B.$$(-\infty，-3 ) \cup( 2，+\infty)$$
C.$$(-3， 2 )$$
D.$$\left[-\frac{8 \sqrt{3}} {3}， ~-3 \right) \cup\left( 2， ~ \frac{8 \sqrt{3}} {3} \right]$$
6、['点与圆的位置关系'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，过直线$${{x}{=}{2}}$$上任意一点$${{P}}$$作圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=2$$的两条切线，切点分别为$${{A}{，}{B}}$$，若直线$${{A}{B}}$$与圆$$M \colon( x-t )^{2}+( y-2 )^{2}=8$$恒有公共点，则实数$${{t}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-1， 3 )$$
B.$$[-1， 3 ]$$
C.$$[ 0， 3 ]$$
D.$$( 0， 3 )$$
7、['点与圆的位置关系'， '圆的一般方程']正确率60.0%若圆$$C_{:} \， \， x^{2}+y^{2}-2 ( m-1 ) x+2 ( m-1 ) y+2 m^{2}-6 m+4=0$$过坐标原点，则实数$${{m}}$$的值为 （）
C
A.$${{2}}$$或$${{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$或$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
8、['交集'， '点与圆的位置关系'， '函数求值域']正确率60.0%若集合$$M=\{y | y=x^{2}-1， x \in R \}， \， \， \， N=\{x | x^{2}+y^{2}=1， x \in R， y \in R \}$$，则$$M \cap N=( \textit{} )$$
B
A.$$(-1， 1 )$$
B.$$[-1， 1 ]$$
C.$$[-1， 1 )$$
D.$${{∅}}$$
9、['古典概型的概率计算公式'， '点与圆的位置关系']正确率60.0%以连续两次掷一枚骰子得到向上的点数作为点$${{M}}$$的坐标，则点$${{M}}$$落在圆$$x^{2}+y^{2}=1 6$$外的概率为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
10、['点与圆的位置关系'， '直线中的对称问题']正确率40.0%唐代诗人李欣的是$${《}$$古从军行$${》}$$开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为$$x^{2}+y^{2} \leqslant1$$，若将军从$$A \， ( 2， 0 )$$出发，河岸线所在直线方程$$x+y-4=0$$，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}{−}{1}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$$\sqrt{1 0}-1$$
1. 已知 $$A(0,1)$$, $$B(\sqrt{2},0)$$, $$O$$ 为坐标原点，动点 $$P$$ 满足 $$|\overrightarrow{OP}|=2$$，求 $$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}|$$ 的最小值。
设 $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(0,1)+(\sqrt{2},0)=(\sqrt{2},1)$$，记 $$\vec{c}=(\sqrt{2},1)$$，则 $$|\vec{c}|=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$$。
所求为 $$|\vec{c}+\overrightarrow{OP}|$$，其中 $$|\overrightarrow{OP}|=2$$。由向量三角不等式：$$|\vec{c}+\overrightarrow{OP}|\geq ||\vec{c}|-|\overrightarrow{OP}||=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$$。
当 $$\overrightarrow{OP}$$ 与 $$\vec{c}$$ 反向共线时取等号，最小值 $$2-\sqrt{3}$$。
答案：A
2. 点 $$(1,1)$$ 在圆 $$(x-a)^2+(y+a)^2=4$$ 内部，求 $$a$$ 的取值范围。
点代入圆方程：$$(1-a)^2+(1+a)^2<4$$
展开：$$1-2a+a^2+1+2a+a^2<4$$，即 $$2+2a^2<4$$，$$2a^2<2$$，$$a^2<1$$，$$-1 选项中满足的为 $$a=0$$。 答案：B
3. 定点 $$P(x_0,y_0)$$ 在单位圆 $$x^2+y^2=1$$ 内部，判断直线 $$x_0x+y_0y=1$$ 与圆的位置关系。
圆心 $$(0,0)$$ 到直线距离 $$d=\frac{{|0+0-1|}}{{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}=\frac{{1}}{{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}$$。
因 $$P$$ 在圆内，$$x_0^2+y_0^2<1$$，故 $$d>1$$，直线与圆相离。
答案：C
4. 圆 $$O: x^2+y^2=r^2$$，点 $$P(a,b)$$ 在圆内，过 $$P$$ 的最短弦在直线 $$l_1$$ 上，直线 $$l_2: bx-ay=r^2$$，判断 $$l_1$$ 与 $$l_2$$ 关系及 $$l_2$$ 与圆的位置。
过圆内一点的最短弦垂直于该点与圆心的连线，故 $$l_1$$ 斜率为 $$-\frac{{a}}{{b}}$$（若 $$b\neq0$$）。
$$l_2$$ 斜率：$$\frac{{b}}{{a}}$$（若 $$a\neq0$$），故 $$l_1 \perp l_2$$。
圆心到 $$l_2$$ 距离：$$d=\frac{{|b\cdot0-a\cdot0-r^2|}}{{\sqrt{b^2+(-a)^2}}}=\frac{{r^2}}{{\sqrt{a^2+b^2}}}$$。
因 $$P$$ 在圆内，$$a^2+b^2
答案：B
5. 过点 $$(1,2)$$ 总可作两条直线与圆 $$x^2+y^2+kx+2y+k^2-15=0$$ 相切，求 $$k$$ 的取值范围。
圆方程化为标准形：$$(x+\frac{{k}}{{2}})^2+(y+1)^2=16-\frac{{3k^2}}{{4}}$$。
需满足：① 圆存在，即 $$16-\frac{{3k^2}}{{4}}>0$$，$$k^2<\frac{{64}}{{3}}$$，$$-\frac{{8\sqrt{3}}}{{3}} ② 点在圆外：将 $$(1,2)$$ 代入左边：$$1+4+k+4+k^2-15>0$$，即 $$k^2+k-6>0$$，$$(k+3)(k-2)>0$$，$$k<-3$$ 或 $$k>2$$。 取交集：$$k\in\left(-\frac{{8\sqrt{3}}}{{3}},-3\right)\cup\left(2,\frac{{8\sqrt{3}}}{{3}}\right)$$。 答案：A
6. 过直线 $$x=2$$ 上任意点 $$P$$ 作圆 $$O: x^2+y^2=2$$ 的两条切线，切点 $$A,B$$，直线 $$AB$$ 与圆 $$M: (x-t)^2+(y-2)^2=8$$ 恒有公共点，求 $$t$$ 范围。
设 $$P(2,m)$$，则切点弦 $$AB$$ 的方程为 $$2x+my=2$$。
圆 $$M$$ 圆心 $$(t,2)$$，半径 $$2\sqrt{2}$$。直线 $$AB$$ 与圆 $$M$$ 恒有公共点，即圆心到直线距离 $$\leq$$ 半径。
距离 $$d=\frac{{|2t+2m-2|}}{{\sqrt{4+m^2}}}$$。需对任意 $$m$$ 有 $$d\leq 2\sqrt{2}$$。
即 $$\frac{{|2t+2m-2|}}{{\sqrt{4+m^2}}}\leq 2\sqrt{2}$$ 恒成立。
两边平方：$$(2t+2m-2)^2 \leq 8(4+m^2)$$，即 $$4(t+m-1)^2 \leq 32+8m^2$$。
整理得：$$(t+m-1)^2 \leq 8+2m^2$$，即 $$m^2+2(t-1)m+(t-1)^2-2m^2-8\leq 0$$，$$-m^2+2(t-1)m+(t-1)^2-8\leq 0$$。
对任意 $$m$$ 成立，需判别式 $$\Delta \leq 0$$：$$4(t-1)^2+4[(t-1)^2-8]\leq 0$$，即 $$(t-1)^2+(t-1)^2-8\leq 0$$，$$2(t-1)^2\leq 8$$，$$(t-1)^2\leq 4$$，$$-1\leq t\leq 3$$。
答案：B
7. 圆 $$C: x^2+y^2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m^2-6m+4=0$$ 过坐标原点，求 $$m$$。
将 $$(0,0)$$ 代入：$$0+0-0+0+2m^2-6m+4=0$$，即 $$2m^2-6m+4=0$$，$$m^2-3m+2=0$$，$$(m-1)(m-2)=0$$，$$m=1$$ 或 $$m=2$$。
答案：A
8. 集合 $$M=\{y|y=x^2-1,x\in R\}=[-1,+\infty)$$，$$N=\{x|x^2+y^2=1,x\in R,y\in R\}$$ 实为圆上点的横坐标集合，即 $$N=[-1,1]$$。
$$M\cap N=[-1,1]$$。
答案：B
9. 掷骰子两次，点 $$M$$ 坐标，求落在圆 $$x^2+y^2=16$$ 外的概率。
总样本数：$$6\times 6=36$$。
圆内及圆上满足 $$x^2+y^2\leq 16$$，骰子点数 $$1\sim 6$$。
枚举满足 $$x^2+y^2\leq 16$$ 的点对：
$$x=1$$：$$y=1,2,3,4,5,6$$ 均满足（最大 $$1+36=37>16$$？检查：$$1^2+4^2=17>16$$，故 $$y\leq 3$$，即 $$y=1,2,3$$ 共 3 个）
$$x=2$$：$$y^2\leq 12$$，$$y=1,2,3$$（$$4^2=16>12$$）共 3 个
$$x=3$$：$$y^2\leq 7$$，$$y=1,2$$（$$3^2=9>7$$）共 2 个
$$x=4$$：$$y^2\leq 0$$，$$y$$ 无整数（$$4^2=16$$，需 $$y=0$$ 但骰子无 0）共 0 个
$$x=5,6$$ 时 $$x^2\geq 25>16$$，无。
圆内及圆上点数：$$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)$$ 共 8 个。
圆外点数：$$36-8=28$$，概率 $$\frac{{28}}{{36}}=\frac{{7}}{{9}}$$。
答案：D
10. 军营区域 $$x^2+y^2\leq 1$$，将军从 $$A(2,0)$$ 出发，河岸线 $$x+y-4=0$$，饮马后回军营，求最短总路程。
先求 $$A$$ 关于河岸线的对称点 $$A'$$：河岸线法向量 $$(1,1)$$，过 $$A$$ 垂线：$$x-y=2$$。
联立 $$\begin{cases} x+y=4 \\ x-y=2 \end{cases}$$ 得垂足 $$H(3,1)$$。
$$A'=2H-A=(4,2)$$。
将军饮马问题转化为 $$A'$$ 到军营区域的最短距离减去军营半径。
$$A'$$ 到圆心 $$(0,0)$$ 距离 $$\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$，军营半径 1。
最短总路程 $$=2\sqrt{5}-1$$。
答案：B