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正确率60.0%数学家欧拉在$${{1}{7}{6}{5}}$$年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点为$$A ( 0， ~ 2 )， ~ B (-1， ~ 0 )， ~ C ( 4， ~ 0 )，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的欧拉线方程为（）
C
A.$$4 x-3 y-6=0$$
B.$$3 x+4 y+3=0$$
C.$$4 x+3 y-6=0$$
D.$$3 x+4 y-3=0$$
2、['点到直线的距离'， '两点间的距离'， '直线的两点式方程'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点坐标分别为$$A ( 1， 3 )， ~ ~ B ( 3， 1 )， ~ ~ C (-1， 0 )$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
3、['直线的截距式方程'， '直线的两点式方程']正确率60.0%已知$${{m}{≠}{n}{，}}$$经过两点$$( 0， ~ n )， ~ ( m， ~ 0 )$$的直线的方程为（）
C
A.$$\frac{x} {m}+\frac{y} {n}=1$$
B.$$y=-\frac{n} {m} ( x-m )$$
C.$$n x+m y=m n$$
D.$$y=-\frac n m x+m$$
4、['直线的两点式方程'， '直线的点斜式方程']正确率80.0%经过$$A ( 2， 1 )$$，$$B ( 6，-2 )$$两点的直线方程是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{y-1} {6-1}=\frac{x-2} {-2-2}$$
B.$$y=-\frac{4} {5} x+1 4$$
C.$$\frac{y+2} {1+2}=\frac{x-6} {2-6}$$
D.$$\frac{y-1} {2-1}=\frac{x-2} {6-2}$$
5、['直线的截距式方程'， '直线的两点式方程'， '直线的点斜式方程'， '直线的斜截式方程']正确率60.0%下列说法中正确的是
D
A.不经过原点的直线都可以用方程$$\frac{x} {a}+\frac{y} {b}=1$$来表示
B.经过定点$$P_{0} ( x_{0}， y_{0} )$$的直线都可以用方程$$y-y_{0}=k ( x-x_{0} )$$来表示
C.经过定点$$A ( 0， b )$$的直线都可以用方程$$y=k x+b$$来表示
D.经过任意两个不同的点$$P_{1} ( x_{1}， y_{1} )， ~ P_{2} ( x_{2}， y_{2} )$$的直线都可以用方程$$( y-y_{1} ) ( x_{2}-x_{1} )=( x-x_{1} ) ( y_{2}-y_{1} )$$来表示
6、['两点间的斜率公式'， '直线的两点式方程']正确率60.0%过两点$$(-1， 1 )$$和$$( 3， 9 )$$的直线在$${{x}}$$轴上的截距为（）
A
A.$$- \frac{3} {2}$$
B.$$- \frac{2} {3}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$${{2}}$$
7、['直线的两点式方程'， '直线的斜截式方程']正确率60.0%过点$$A ~ ( \boldsymbol{x}_{1}， \ y_{1} )$$和$$B ~ ( ~ x_{2}， ~ y_{2} )$$两点的直线方程是（）
C
A.$$\frac{y-y_{1}} {y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}} {x_{2}-x_{1}}$$
B.$$\frac{y-y_{1}} {x-x_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}} {x_{2}-x_{1}}$$
C.$$( \， y_{2}-y_{1} \， ) \， \， \， \， ( \， x-x_{1} \， ) \， \， \，-\， \， ( \， x_{2}-x_{1} \， ) \， \， \， \， \， ( \， y-y_{1} \， ) \， \， \，=0$$
D.$$( \， x_{2}-x_{1} \， ) \， \， \， \， ( \， x-x_{1} \， ) \， \， \，-\， \， ( \， y_{2}-y_{1} \， ) \， \， \， \， \， ( \， y-y_{1} \， ) \， \， \，=0$$
8、['直线的两点式方程'， '两条直线垂直'， '直线的一般式方程及应用'， '两条直线平行']正确率60.0%已知过点$$A \， (-2， m )$$和点$$B \， ( m， 4 )$$的直线为$${{l}_{1}}$$，直线$$2 x+y-1=0$$为$${{l}_{2}}$$，直线$$x+n y+1=0$$为$${{l}_{3}}$$.若$$l_{1} / / l_{2}， ~ ~ l_{2} \perp l_{3}$$，则实数$${{m}{+}{n}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{{1}{0}}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{8}}$$
9、['直线的截距式方程'， '直线的点斜式方程'， '直线的两点式方程'， '直线的斜截式方程']正确率60.0%下列说法中正确的是（）
D
A.经过定点$$P_{0} ( x_{0}， y_{0} )$$的直线都可以用方程$$y-y_{0}=k ( x-x_{0} )$$来表示
B.经过定点$$A ( 0， b )$$的直线都可以用方程$$y=k x+b$$来表示
C.不经过原点的直线都可以用方程$$\frac{x} {a}+\frac{y} {b}=1$$来表示
D.经过任意两个不同的点$$P_{1} ( x_{1}， y_{1} )， ~ P_{2} ( x_{2}， y_{2} )$$的直线都可以用方程$$( y-y_{1} ) ( x_{2}-x_{1} )=( x-x_{1} ) ( y_{2}-y_{1} )$$来表示
10、['直线的截距式方程'， '直线的两点式方程'， '两条直线平行']正确率80.0%下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.“$${{a}{=}{−}{1}}$$“是“直线$$a^{2} x-y+1=0$$与直线$$x-a y-2=0$$互相垂直”的充要条件
B.经过点$$\left( 1， 1 \right)$$且在$${{x}}$$轴和$${{y}}$$轴上截距都相等的直线方程为$$x+y-2=0$$
C.过$$( x_{1}， y_{1} )$$，$$( x_{2}， y_{2} )$$两点的所有直线的方程为$$\frac{y-y_{1}} {y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}} {x_{2}-x_{1}}$$
D.直线$$a x+2 y+6=0$$与直线$$x+( a-1 ) y+a^{2}-1=0$$互相平行，则$${{a}{=}{−}{1}}$$
1. 解析：首先计算三角形的外心、垂心和重心坐标。
重心坐标：$$G$$ 为顶点坐标的平均值，$$G\left(\frac{0-1+4}{3}, \frac{2+0+0}{3}\right) = (1, \frac{2}{3})$$。
外心坐标：找到 $$AB$$ 和 $$AC$$ 的垂直平分线交点。$$AB$$ 的中点为 $$(-0.5, 1)$$，斜率为 $$2$$，垂直平分线斜率为 $$-0.5$$，方程为 $$y - 1 = -0.5(x + 0.5)$$。$$AC$$ 的中点为 $$(2, 1)$$，斜率为 $$-0.5$$，垂直平分线斜率为 $$2$$，方程为 $$y - 1 = 2(x - 2)$$。联立解得外心 $$O(1.5, 0)$$。
垂心坐标：$$AB$$ 的斜率为 $$2$$，高线 $$CH$$ 斜率为 $$-0.5$$，方程为 $$y = -0.5(x - 4)$$。$$AC$$ 的斜率为 $$-0.5$$，高线 $$BH$$ 斜率为 $$2$$，方程为 $$y = 2(x + 1)$$。联立解得垂心 $$H(1, 4)$$。
欧拉线为通过 $$G$$、$$O$$、$$H$$ 的直线。取 $$G(1, \frac{2}{3})$$ 和 $$O(1.5, 0)$$，斜率为 $$\frac{0 - \frac{2}{3}}{1.5 - 1} = -\frac{4}{3}$$，方程为 $$y - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}(x - 1)$$，化简为 $$4x + 3y - 6 = 0$$。故选 C。
2. 解析：使用行列式法计算面积。
面积公式为 $$\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$。
代入 $$A(1, 3)$$、$$B(3, 1)$$、$$C(-1, 0)$$，得到 $$\frac{1}{2} |1(1 - 0) + 3(0 - 3) + (-1)(3 - 1)| = \frac{1}{2} |1 - 9 + (-2)| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$$。故选 B。
3. 解析：两点式直线方程。
两点 $$(0, n)$$ 和 $$(m, 0)$$ 的斜率为 $$\frac{0 - n}{m - 0} = -\frac{n}{m}$$，截距式方程为 $$\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$$。故选 A。
4. 解析：两点式直线方程。
斜率为 $$\frac{-2 - 1}{6 - 2} = -\frac{3}{4}$$，方程为 $$y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 2)$$，化简为 $$3x + 4y - 10 = 0$$。选项中无此方程，但选项 C 的两点式形式正确：$$\frac{y + 2}{1 + 2} = \frac{x - 6}{2 - 6}$$。故选 C。
5. 解析：直线方程表示法的适用范围。
A 选项错误，因为平行于坐标轴的直线不能用截距式表示；B 选项错误，因为斜率不存在时无法表示；C 选项错误，因为斜率不存在时无法表示；D 选项正确，两点式适用于所有直线。故选 D。
6. 解析：求直线在 $$x$$ 轴上的截距。
斜率为 $$\frac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2$$，方程为 $$y - 1 = 2(x + 1)$$，令 $$y = 0$$ 得 $$x = -\frac{3}{2}$$。故选 A。
7. 解析：两点式直线方程的表示。
两点式方程为 $$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$ 或 $$(y_2 - y_1)(x - x_1) - (x_2 - x_1)(y - y_1) = 0$$。选项 A、B、C 均正确，但题目可能要求单选，通常选 B。故选 B。
8. 解析：直线平行与垂直的条件。
$$l_1$$ 的斜率为 $$\frac{4 - m}{m + 2}$$，$$l_2$$ 的斜率为 $$-2$$，由平行条件得 $$\frac{4 - m}{m + 2} = -2$$，解得 $$m = -8$$。$$l_2 \perp l_3$$，则 $$l_3$$ 的斜率为 $$\frac{1}{2}$$，即 $$-\frac{1}{n} = \frac{1}{2}$$，解得 $$n = -2$$。故 $$m + n = -10$$。故选 A。
9. 解析：同第 5 题，D 选项正确。故选 D。
10. 解析：直线性质的综合判断。
A 选项错误，$$a = 1$$ 时也垂直；B 选项错误，截距相等还包括过原点的情况；C 选项错误，两点式不适用于 $$x_1 = x_2$$ 或 $$y_1 = y_2$$ 的情况；D 选项正确，平行条件为 $$\frac{a}{1} = \frac{2}{a - 1} \neq \frac{6}{a^2 - 1}$$，解得 $$a = -1$$。故选 D。