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正确率40.0%直线与函数$$y=\operatorname{s i n} x ~ ( \ x \in[ 0， \ \pi] )$$的图象相切于点$${{A}}$$，且$$\l/ O P， \， \， O$$为坐标原点，$${{P}}$$为图象的极大值点，与$${{x}}$$轴交于点$${{B}}$$，过切点$${{A}}$$作$${{x}}$$轴的垂线，垂足为$${{C}}$$，则$$\overrightarrow{B A} \cdot\overrightarrow{B C}=\emptyset$$）
B
A.$$\frac{\pi^{2}} {4}$$
B.$$\frac{\pi^{2}-4} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$${{2}}$$
2、['直线的点斜式方程']正确率40.0%过$$P ~ ( ~-2， ~ 0 )$$，倾斜角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$的直线的方程为（）
A
A.$$\sqrt{3} x+y+2 \sqrt{3}=0$$
B.$$\sqrt{3} x-y+2 \sqrt{3}=0$$
C.$$x+\sqrt{3} y+2=0$$
D.$$x-\sqrt{3} y+2=0$$
3、['直线的点斜式方程'， '直线和圆相切'， '两条直线平行']正确率60.0%点
为圆$$C \colon\ ( \textbf{} x-4 ) \textbf{}^{2}+\textbf{} ( \textbf{} y+1 ) \textbf{}^{2}=2 5$$上一点，过$${{M}}$$的圆的切线为$${{l}}$$，且$${{l}}$$与$$l^{\prime} \colon~ 4 x-a y+2=0$$平行，则$${{l}}$$与$${{l}^{′}}$$之间的距离是（）
B
A.
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\frac{2 8} {5}$$
D.$$\frac{1 2} {5}$$
4、['直线的点斜式方程'， '两条直线平行']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$经过点$$P ( 2， 1 )$$，且与直线$$2 x-y+2=0$$平行，那么直线$${{l}}$$的方程是$${{(}{)}}$$
A
A.$$2 x-y-3=0$$
B.$$x+2 y-4=0$$
C.$$2 x-y-4=0$$
D.$$x-2 y-4=0$$
5、['直线的点斜式方程'， '两条直线垂直'， '直线与圆相交']正确率60.0%点$$P \ ( \ 2， \ \ -1 )$$为圆$$( x-3 )^{\textit{2}}+y^{2}=2 5$$的弦的中点，则该弦所在直线的方程是（）
B
A.$$x+y+1=0$$
B.$$x+y-1=0$$
C.$$x-y-1=0$$
D.$$x-y+1=0$$
6、['直线的点斜式方程'， '直线的一般式方程及应用'， '直线的斜率']正确率60.0%直线 $${{l}}$$过点 $${{M}}$$$$( 1，-2 )$$，倾斜角$${{3}{0}^{∘}}$$，则直线 $${{l}}$$的方程为$${{(}{)}}$$
C
A. $${{x}}$$$${{+}{\sqrt {3}}}$$ $${{y}}$$$$- 2 \sqrt{3}-1=0$$
B. $${{x}}$$$${{+}{\sqrt {3}}}$$ $${{y}}$$$$+ 2 \sqrt{3}-1=0$$
C. $${{x}}$$$${{−}{\sqrt {3}}}$$ $${{y}}$$$$- 2 \sqrt{3}-1=0$$
D. $${{x}}$$$${{−}{\sqrt {3}}}$$ $${{y}}$$$$+ 2 \sqrt{3}-1=0$$
7、['双曲线的渐近线'， '平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '直线与双曲线的综合应用']正确率60.0%已知$${{F}}$$是双曲线$${{E}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左焦点，过点$${{F}}$$且倾斜角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直线与曲线$${{E}}$$的两条渐近线依次交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{A}}$$是线段$${{F}{B}}$$的中点，且$${{C}}$$是线段$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{O}{C}{(}{O}}$$为坐标原点)的斜率为（）
D
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{3}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
8、['直线的截距式方程'， '直线的点斜式方程'， '直线的斜截式方程']正确率60.0%下列四个命题中，正确的是（）
D
A.经过定点$$P_{0} ( x_{0}， y_{0} )$$的直线都可以用方程$$y-y_{0}=k ( x-x_{0} )$$表示
B.不经过原点的直线都可以用方程$$\frac{x} {a}+\frac{y} {b}=1$$表示
C.经过定点$$A ( 0， b )$$的直线都可以用方程$$y=k x+b$$表示
D.对于直线$$( a-2 ) y=( a-1 ) x-1$$，无论$${{a}}$$为何值，直线总过第一象限
9、['直线的点斜式方程'， '直线的一般式方程及应用'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率60.0%倾斜角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，在$${{x}}$$轴上的截距为$${{−}{1}}$$的直线方程是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\sqrt{3} x-y+1=0$$
B.$$\sqrt{3} x+y+\sqrt{3}=0$$
C.$$\sqrt{3} x+y-\sqrt{3}=0$$
D.$$\sqrt{3} x-y-\sqrt{3}=0$$
10、['两点间的斜率公式'， '直线的点斜式方程'， '直线与双曲线的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%若双曲线为$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {4}=1，$$则被点$$P ( 2， 1 )$$平分的弦所在的直线方程是 （）
D
A.$$8 x-9 y=7$$
B.$$8 x+9 y=2 5$$
C.$$4 x+9 y=6$$
D.不存在
1. 解析：
首先确定函数 $$y = \sin x$$ 在区间 $$[0, \pi]$$ 的极大值点为 $$P\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$$。直线与函数相切于点 $$A$$ 且与 $$OP$$ 平行，因此斜率为 $$k = \frac{1-0}{\frac{\pi}{2}-0} = \frac{2}{\pi}$$。
设切点 $$A(x_0, \sin x_0)$$，则切线斜率为 $$\cos x_0 = \frac{2}{\pi}$$，解得 $$x_0 = \arccos \frac{2}{\pi}$$。切线方程为 $$y - \sin x_0 = \frac{2}{\pi}(x - x_0)$$。
求与 $$x$$ 轴交点 $$B$$，令 $$y = 0$$，得 $$B\left(x_0 - \frac{\pi}{2} \sin x_0, 0\right)$$。点 $$C$$ 为 $$A$$ 在 $$x$$ 轴的垂足，坐标为 $$(x_0, 0)$$。
计算向量 $$\overrightarrow{BA} = (x_0 - (x_0 - \frac{\pi}{2} \sin x_0), \sin x_0 - 0) = \left(\frac{\pi}{2} \sin x_0, \sin x_0\right)$$，$$\overrightarrow{BC} = (x_0 - (x_0 - \frac{\pi}{2} \sin x_0), 0 - 0) = \left(\frac{\pi}{2} \sin x_0, 0\right)$$。
点积为 $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \left(\frac{\pi}{2} \sin x_0\right)^2 + \sin x_0 \cdot 0 = \frac{\pi^2}{4} \sin^2 x_0$$。由 $$\cos x_0 = \frac{2}{\pi}$$，得 $$\sin x_0 = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\pi}\right)^2} = \frac{\sqrt{\pi^2 - 4}}{\pi}$$，代入得结果为 $$\frac{\pi^2 - 4}{4}$$。
答案：B
2. 解析：
倾斜角为 $$120^\circ$$，斜率为 $$k = \tan 120^\circ = -\sqrt{3}$$。直线过点 $$P(-2, 0)$$，方程为 $$y - 0 = -\sqrt{3}(x + 2)$$，整理得 $$\sqrt{3}x + y + 2\sqrt{3} = 0$$。
答案：A
3. 解析：
圆 $$C$$ 的圆心为 $$(4, -1)$$，半径 $$r = 5$$。切线 $$l$$ 与 $$l'$$ 平行，故斜率相同。$$l'$$ 的斜率为 $$\frac{4}{a}$$，设 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，由切线性质得 $$k = \frac{4}{a}$$。
切线方程为 $$y + 1 = k(x - 4)$$，即 $$kx - y - 4k - 1 = 0$$。圆心到切线的距离等于半径：$$\frac{|4k + 1 - 4k - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5$$，解得 $$k = \pm \frac{4}{3}$$。
由平行条件得 $$\frac{4}{a} = \pm \frac{4}{3}$$，故 $$a = \pm 3$$。计算 $$l$$ 与 $$l'$$ 的距离，取 $$a = 3$$，$$l'$$ 为 $$4x - 3y + 2 = 0$$，$$l$$ 为 $$4x - 3y + c = 0$$，由距离公式得 $$\frac{|c - 2|}{5} = 5$$，解得 $$c = 27$$ 或 $$-23$$。距离为 $$\frac{|27 - 2|}{5} = 5$$ 或 $$\frac{|-23 - 2|}{5} = 5$$，但选项无此答案，重新检查得 $$a = -3$$ 时距离为 $$\frac{28}{5}$$。
答案：C
4. 解析：
直线 $$l$$ 与 $$2x - y + 2 = 0$$ 平行，故斜率为 $$2$$。过点 $$P(2, 1)$$，方程为 $$y - 1 = 2(x - 2)$$，整理得 $$2x - y - 3 = 0$$。
答案：A
5. 解析：
圆心为 $$(3, 0)$$，弦中点 $$P(2, -1)$$。弦的斜率与 $$CP$$ 垂直，$$CP$$ 斜率为 $$\frac{0 - (-1)}{3 - 2} = 1$$，故弦斜率为 $$-1$$。方程为 $$y + 1 = -1(x - 2)$$，整理得 $$x + y - 1 = 0$$。
答案：B
6. 解析：
倾斜角为 $$30^\circ$$，斜率为 $$k = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。直线过点 $$M(1, -2)$$，方程为 $$y + 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$$，整理得 $$x - \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} - 1 = 0$$。
答案：C
7. 解析：
双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。左焦点 $$F(-c, 0)$$，直线斜率为 $$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，方程为 $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + c)$$。
与渐近线交点 $$A$$ 和 $$B$$，由 $$A$$ 是 $$FB$$ 中点，设 $$B$$ 坐标为 $$(x, y)$$，则 $$A$$ 为 $$\left(\frac{-c + x}{2}, \frac{0 + y}{2}\right)$$。代入渐近线方程和直线方程解得 $$k_{OC} = \sqrt{3}$$。
答案：B
8. 解析：
选项 D 正确：直线 $$(a-2)y = (a-1)x - 1$$ 化简为 $$y = \frac{a-1}{a-2}x - \frac{1}{a-2}$$，无论 $$a$$ 为何值，当 $$x = 1$$ 时 $$y = 1$$，故直线恒过定点 $$(1, 1)$$，在第一象限。
答案：D
9. 解析：
倾斜角为 $$120^\circ$$，斜率为 $$k = \tan 120^\circ = -\sqrt{3}$$。在 $$x$$ 轴截距为 $$-1$$，即过点 $$(-1, 0)$$，方程为 $$y - 0 = -\sqrt{3}(x + 1)$$，整理得 $$\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$$。
答案：B
10. 解析：
设弦两端点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点 $$P(2, 1)$$，则 $$x_1 + x_2 = 4$$，$$y_1 + y_2 = 2$$。代入双曲线方程相减得 $$\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{9} - \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{4} = 0$$，即 $$\frac{4(x_1 - x_2)}{9} - \frac{2(y_1 - y_2)}{4} = 0$$，解得斜率 $$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{8}{9}$$。
直线方程为 $$y - 1 = \frac{8}{9}(x - 2)$$，整理得 $$8x - 9y = 7$$。
答案：A