直线的一般式方程及应用-2.2 直线的方程知识点考前进阶自测题解析-河南省等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 题目：若两条直线$$l_{1} : 2 x + a y - 1 = 0$$与$$l_{2} : a x + (2 a - 1) y + 3 = 0$$相互垂直，求$$a$$的值。

解析：两条直线垂直的条件是斜率的乘积为$$-1$$。首先求斜率：

$$l_1$$的斜率$$k_1 = -\frac{2}{a}$$，$$l_2$$的斜率$$k_2 = -\frac{a}{2 a - 1}$$。

根据垂直条件：$$k_1 \times k_2 = -1$$，即$$\left(-\frac{2}{a}\right) \times \left(-\frac{a}{2 a - 1}\right) = -1$$。

化简得：$$\frac{2}{2 a - 1} = -1$$，解得$$2 = -2 a + 1$$，即$$a = -\frac{1}{2}$$。

另外，当$$a = 0$$时，$$l_1$$变为$$2 x - 1 = 0$$（垂直于$$x$$轴），$$l_2$$变为$$-y + 3 = 0$$（平行于$$x$$轴），此时两条直线也垂直。

因此，$$a = -\frac{1}{2}$$或$$0$$。

答案：C

2. 题目：若三条直线$$x + y - 3 = 0$$、$$x - y + 1 = 0$$、$$m x + n y - 5 = 0$$相交于同一点，求点$$(m, n)$$到原点的距离的最小值。

解析：先求前两条直线的交点：

解方程组$$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \end{cases}$$，得$$x = 1$$，$$y = 2$$。

将交点$$(1, 2)$$代入第三条直线：$$m \times 1 + n \times 2 - 5 = 0$$，即$$m + 2 n = 5$$。

点$$(m, n)$$到原点的距离为$$d = \sqrt{m^2 + n^2}$$。

由$$m = 5 - 2 n$$，代入得$$d = \sqrt{(5 - 2 n)^2 + n^2} = \sqrt{25 - 20 n + 5 n^2}$$。

求最小值，对$$d^2$$求导并令导数为零：$$\frac{d}{d n}(25 - 20 n + 5 n^2) = -20 + 10 n = 0$$，得$$n = 2$$。

此时$$m = 1$$，$$d = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$。

答案：A

3. 题目：求经过点$$(-1, 2)$$且与直线$$3 x - 5 y + 6 = 0$$垂直的直线方程。

解析：原直线的斜率$$k = \frac{3}{5}$$，与之垂直的直线斜率为$$-\frac{5}{3}$$。

利用点斜式方程：$$y - 2 = -\frac{5}{3}(x + 1)$$。

化简得：$$3 y - 6 = -5 x - 5$$，即$$5 x + 3 y - 1 = 0$$。

答案：B

4. 题目：若直线$$a x + b y + c = 0$$通过第一、二、三象限，求$$a$$、$$b$$、$$c$$的关系。

解析：直线通过第一、二、三象限，说明斜率$$k = -\frac{a}{b} > 0$$，且$$y$$截距$$-\frac{c}{b} > 0$$。

因此，$$\frac{a}{b} < 0$$（即$$a b < 0$$），且$$\frac{c}{b} < 0$$（即$$b c < 0$$）。

答案：D

5. 题目：在平行四边形$$ABCD$$中，已知$$A(3, -1)$$、$$C(2, -3)$$，$$D$$点在直线$$3 x - y + 1 = 0$$上移动，求$$B$$点的轨迹方程。

解析：平行四边形对角线中点重合，设$$B(x, y)$$，$$D$$在直线上，设$$D(t, 3 t + 1)$$。

中点公式：$$\frac{3 + x}{2} = \frac{2 + t}{2}$$，$$\frac{-1 + y}{2} = \frac{-3 + 3 t + 1}{2}$$。

解得：$$x = t - 1$$，$$y = 3 t - 1$$。

消去$$t$$得：$$y = 3(x + 1) - 1 = 3 x + 2$$，即$$3 x - y + 2 = 0$$。

但选项中没有此答案，检查计算：

重新计算中点：$$\frac{3 + 2}{2} = \frac{x + t}{2}$$，$$\frac{-1 - 3}{2} = \frac{y + 3 t + 1}{2}$$。

解得：$$x = 5 - t$$，$$y = -5 - 3 t$$。

消去$$t$$得：$$y = -5 - 3(5 - x) = 3 x - 20$$，即$$3 x - y - 20 = 0$$。

答案：A

6. 题目：已知圆$$C : (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 1$$和点$$A(1, 0)$$，过点$$M$$作圆$$C$$的切线$$MT$$，且$$|MT| = |MA|$$，求$$|MC|$$的最小值。

解析：设$$M(x, y)$$，由切线性质：$$|MT| = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2 - 1}$$。

由题意：$$\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2 - 1} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$$。

平方化简得：$$(x - 5)^2 + (y - 3)^2 - 1 = (x - 1)^2 + y^2$$。

展开后得：$$-8 x - 6 y + 33 = 0$$，即$$8 x + 6 y = 33$$。

$$|MC| = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2}$$，求其最小值即求点$$(5, 3)$$到直线$$8 x + 6 y = 33$$的距离。

距离公式：$$d = \frac{|8 \times 5 + 6 \times 3 - 33|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$$。

答案：A

7. 题目：已知直线$$l$$过点$$(1, 1)$$且与直线$$6 x - 5 y + 4 = 0$$平行，求$$l$$的方程。

解析：平行直线斜率相同，斜率为$$\frac{6}{5}$$。

利用点斜式：$$y - 1 = \frac{6}{5}(x - 1)$$。

化简得：$$6 x - 5 y - 1 = 0$$。

答案：D

8. 题目：已知直线$$l$$过点$$(1, 1)$$且平行于直线$$4 x + y - 8 = 0$$，求$$l$$的方程。

解析：平行直线斜率相同，斜率为$$-4$$。

利用点斜式：$$y - 1 = -4(x - 1)$$。

化简得：$$4 x + y - 5 = 0$$。

答案：D

9. 题目：已知直线$$m x + 4 y - 2 = 0$$与$$2 x - 5 y + n = 0$$垂直，垂足为$$(1, p)$$，求$$m - n + p$$的值。

解析：两条直线垂直，斜率乘积为$$-1$$：$$\left(-\frac{m}{4}\right) \times \left(\frac{2}{5}\right) = -1$$。

解得：$$m = 10$$。

将垂足$$(1, p)$$代入两条直线：

$$10 \times 1 + 4 p - 2 = 0$$，得$$p = -2$$。

$$2 \times 1 - 5 \times (-2) + n = 0$$，得$$n = -12$$。

因此，$$m - n + p = 10 - (-12) + (-2) = 20$$。

答案：B

10. 题目：已知直线$$l$$过点$$(0, 3)$$且与直线$$x - y - 1 = 0$$平行，求$$l$$的方程。

解析：平行直线斜率相同，斜率为$$1$$。

利用点斜式：$$y - 3 = 1(x - 0)$$。

化简得：$$x - y + 3 = 0$$。

答案：D