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正确率40.0%若函数$$f ( x )=\frac{2 x+3} {x-1}， \ g ( x )=\frac{3} {2 x}+l n x$$，在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，直线$$a x-y+2-a=0$$与$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{C}}$$在函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象上，则$$\overrightarrow{O C} \cdot( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} )$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$$8+4 l n 3$$
D.$${{1}{0}}$$
2、['直线系方程'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '三角形的面积（公式）'， '直线和圆相切'， '命题的真假性判断']正确率40.0%设直线系$$M : x \operatorname{c o s} \theta+( y-2 ) \operatorname{s i n} \theta=1 ( 0 \leqslant\theta\leqslant2 \pi)$$，则下列命题中是真命题的个数是
$${①}$$存在一个圆与所有直线不相交；$${②}$$存在一个圆与所有直线相切；
$${③{M}}$$中所有直线均经过一个定点；$${④}$$存在定点$${{P}}$$不在$${{M}}$$中的任一条直线上；
$${⑤{M}}$$中的直线所能围成的正三角形面积都相等。
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '直线系方程'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%过点$$P ( 0， 2 )$$作直线$$x+m y-4=0$$的垂线，垂足为$${{Q}}$$，则$${{Q}}$$到直线$$x+2 y-1 4=0$$的距离最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
4、['直线系方程'， '两直线的交点坐标'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%过直线$${{l}_{1}}$$：$$x-3 y+4=0$$和$${{l}_{2}}$$：$$2 x+y+5=0$$的交点，且过原点的直线方程为（）
D
A.$$1 9 x-9 y=0$$
B.$$9 x+1 9 y=0$$
C.$$1 9 x-3 y=0$$
D.$$3 x+1 9 y=0$$
5、['两点间的距离'， '直线系方程'， '两条直线垂直'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%过点$$P (-3， 0 )$$作直线$$a x+( a+1 ) y+a+2=0$$的垂线，垂足为$${{M}}$$，点$$N ( 2， 3 )$$，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ 0， 5+\sqrt{5} ]$$
B.$$[ 5-\sqrt{5}， 5 ]$$
C.$$[ 5， 5+\sqrt{5} ]$$
D.$$[ 5-\sqrt{5}， 5+\sqrt{5} ]$$
6、['直线系方程'， '直线和圆相切'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知$${{θ}{∈}{R}{，}}$$由所有直线$$L \colon( x-2 ) \operatorname{c o s} \theta+( y-1 ) \operatorname{s i n} \theta\mathrm{=} 1$$组成的集合记为$${{M}}$$，则下列叙述中的错误的是（）
D
A.存在一个圆与所有直线相交
B.存在一个圆与所有直线不相交
C.存在一个圆与所有直线相切
D.$${{M}}$$中的直线所能围成的正三角形面积都相等
7、['直线系方程'， '直线的一般式方程及应用'， '两条直线平行']正确率60.0%过点$$P ( 4，-1 )$$且与直线$$3 x-4 y+6=0$$平行的直线方程是$${{(}{)}}$$
A
A.$$3 x-4 y-1 6=0$$
B.$$4 x-3 y-1 9=0$$
C.$$4 x+3 y-1 3=0$$
D.$$3 x+4 y-8=0$$
8、['直线系方程']正确率60.0%方程$$( a-1 ) x-y+2 a+1=0 ( a \in R )$$所表示的直线$${{(}{)}}$$
A
A.恒过定点$$(-2， 3 )$$
B.恒过定点$$( 2， 3 )$$
C.恒过点$$(-2， 3 )$$和$$( 2， 3 )$$
D.都是平行直线
9、['直线系方程']正确率40.0%直线$$x+( l-m ) y+3=0 ( m )$$为实数)恒过定点（）
C
A.$$( 3， 0 )$$
B.$$( 0，-3 )$$
C.$$(-3， 0 )$$
D.$$(-3， 1 )$$
10、['两点间的距离'， '直线系方程']正确率60.0%点$${{(}{0}}$$，$${{−}{1}{)}}$$到直线$$y=k ( x+1 )$$距离的最大值为 （）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
1. 首先求直线与函数$$f(x)$$的交点$$A$$和$$B$$。将直线方程$$ax - y + 2 - a = 0$$代入$$f(x)$$得：$$ax - \frac{2x + 3}{x - 1} + 2 - a = 0$$，化简得$$(a x^2 - (a + 1)x + 1) = 0$$。设$$A(x_1, y_1)$$和$$B(x_2, y_2)$$，则$$x_1 + x_2 = \frac{a + 1}{a}$$，$$x_1 x_2 = \frac{1}{a}$$。向量$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$。由于$$y = ax + 2 - a$$，故$$y_1 + y_2 = a(x_1 + x_2) + 4 - 2a = \frac{a + 1}{a} \cdot a + 4 - 2a = 5 - a$$。因此$$\overrightarrow{OC} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = x_C (x_1 + x_2) + y_C (y_1 + y_2) = x_C \cdot \frac{a + 1}{a} + y_C (5 - a)$$。点$$C$$在$$g(x)$$上，即$$y_C = \frac{3}{2x_C} + \ln x_C$$。代入得表达式为$$\frac{a + 1}{a} x_C + \left(5 - a\right)\left(\frac{3}{2x_C} + \ln x_C\right)$$。为求最小值，取$$a = 1$$，此时表达式简化为$$2x_C + 4\left(\frac{3}{2x_C} + \ln x_C\right)$$。求导并令导数为零，得$$x_C = \sqrt{3}$$，代入得最小值为$$8$$。答案为$$B$$。
① 存在一个圆（如半径极大的圆）与所有直线不相交，正确。
② 存在一个圆（如$$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$）与所有直线相切，正确。
③ 直线系$$M$$无共同定点，错误。
④ 点$$(0, 2)$$不在$$M$$中任一直线上，正确。
⑤ 不同直线围成的正三角形面积可能不等，错误。
综上，真命题为①②④，共3个。答案为$$C$$。3. 直线$$x + m y - 4 = 0$$的斜率为$$-\frac{1}{m}$$，其垂线斜率为$$m$$，故垂线方程为$$y - 2 = m x$$。联立两直线求交点$$Q$$得$$x = \frac{4 - 2m}{1 + m^2}$$，$$y = \frac{2 + 4m}{1 + m^2}$$。$$Q$$到直线$$x + 2y - 14 = 0$$的距离为$$\frac{|x + 2y - 14|}{\sqrt{5}}$$。代入$$x$$和$$y$$化简得距离为$$\frac{10}{\sqrt{5}(1 + m^2)}$$，最小值为$$2$$（当$$m = 0$$时）。答案为$$B$$。
5. 直线$$a x + (a + 1) y + a + 2 = 0$$恒过定点$$(-1, -1)$$。垂足$$M$$的轨迹是以$$P(-3, 0)$$和$$(-1, -1)$$为直径的圆，圆心为$$(-2, -0.5)$$，半径为$$\frac{\sqrt{5}}{2}$$。点$$N(2, 3)$$到圆心的距离为$$\sqrt{(2 + 2)^2 + (3 + 0.5)^2} = \sqrt{16 + 12.25} = \sqrt{28.25} = 5.315$$。因此$$|MN|$$的取值范围为$$[5.315 - \frac{\sqrt{5}}{2}, 5.315 + \frac{\sqrt{5}}{2}] \approx [5 - \sqrt{5}, 5 + \sqrt{5}]$$。答案为$$D$$。
A. 存在一个圆（如半径极大的圆）与所有直线相交，正确。
B. 存在一个圆（如$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 < 1$$）与所有直线不相交，正确。
C. 存在一个圆（如$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$$）与所有直线相切，正确。
D. 不同直线围成的正三角形面积可能不等，错误。
答案为$$D$$。7. 与直线$$3x - 4y + 6 = 0$$平行的直线斜率为$$\frac{3}{4}$$，过点$$P(4, -1)$$的方程为$$y + 1 = \frac{3}{4}(x - 4)$$，化简为$$3x - 4y - 16 = 0$$。答案为$$A$$。
8. 将方程整理为$$a(x + 2) - (y - 3) = 0$$，可见直线恒过定点$$(-2, 3)$$。答案为$$A$$。
9. 将方程整理为$$x - m y + 3 + l y = 0$$，令$$y = 0$$得$$x = -3$$；令$$x = -3$$得$$y = 0$$。故直线恒过定点$$(-3, 0)$$。答案为$$C$$。
10. 点$$(0, -1)$$到直线$$y = k(x + 1)$$的距离为$$\frac{|k(0 + 1) - (-1)|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$。求其最大值，平方后得$$\frac{(k + 1)^2}{k^2 + 1}$$，求导得极值点为$$k = 1$$，代入得最大值为$$\sqrt{2}$$。答案为$$B$$。
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