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正确率40.0%数学家欧拉$${{1}{7}{6}{5}}$$年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线$${{.}}$$已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点分别为$$A ( 1， 3 )$$，$$B ( 2， 4 )$$，$$C ( 3， 2 )$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的欧拉线方程为（）
A
A.$$x+y-5=0$$
B.$$x+y+5=0$$
C.$$x-y+1=0$$
D.$$2 x+y-7=0$$
2、['直线中的对称问题'， '直线的点斜式方程'， '直线的两点式方程']正确率40.0%一条光线从点$$P ~ ( \6， \ 4 )$$射出，与$${{x}}$$轴相交于点$$Q ~ ( \mathbf{2}， \mathbf{0} )$$，经$${{x}}$$轴反射，则反射光线在$${{y}}$$轴上的截距为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
3、['直线的点斜式方程'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，过点$${{F}}$$斜率为$${\sqrt {3}}$$的直线$${{l}^{′}}$$与抛物线$${{C}}$$交于点$${{M}{（}{M}}$$在$${{x}}$$轴的上方），过$${{M}}$$作$${{M}{N}{⊥}{l}}$$于点$${{N}}$$，连接$${{N}{F}}$$交抛物线$${{C}}$$于点$${{Q}}$$，则$$\frac{| N Q |} {| Q F |}=\langle$$）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
4、['直线的点斜式方程'， '截距的定义'， '直线的斜率']正确率60.0%如果直线$${{l}}$$过点$$( 2， 1 )$$，且在$${{y}}$$轴上的截距的取值范围为$$(-1， 2 )$$，那么$${{l}}$$的斜率$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-\frac{1} {2}， 1 )$$
B.$$(-1， 1 )$$
C.$$(-\infty，-\frac{1} {2} ) \cup( 1，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-1 ) \cup( 1，+\infty)$$
5、['直线的点斜式方程'， '两条直线平行']正确率60.0%直线$${{l}_{1}}$$的斜率为$$2， ~ l_{1} / \! / l$$，直线$${{l}_{2}}$$过点$$(-1， 1 )$$且与$${{y}}$$轴交于点$${{P}}$$，则$${{P}}$$点坐标为（）
D
A.$$( 3， 0 )$$
B.$$(-3， 0 )$$
C.$$( 0，-3 )$$
D.$$( 0， 3 )$$
6、['直线的点斜式方程'， '直线的斜率']正确率60.0%过点$$A ( \sqrt{3}， 1 )$$且倾斜角为$${{6}{0}^{∘}}$$的直线方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$y=\sqrt{3} x-2$$
B.$$y=\sqrt{3} x+2$$
C.$$3 x+4 y-9=0$$
D.$$6 x+m y+2=0$$
7、['直线的点斜式方程'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$C ( a， b )$$在过$$A ( 1， 1 )， ~ (-2， 4 )$$的直线上则$$y=\frac{1} {a}+\frac{4} {b}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$${{5}}$$
8、['直线的点斜式方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%设抛物线$$x^{2}=4 y$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$作斜率为$$k ( k > 0 )$$的直线$${{l}}$$与抛物线相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，$${{A}{B}}$$的中点为$${{P}}$$，过点$${{P}}$$作$${{x}}$$轴的垂线与抛物线交于点$${{M}}$$，若$$| M F |=3$$，则直线$${{l}}$$的方程为（）
C
A.$$y=2 \sqrt{2} x+1$$
B.$$y=\sqrt{3} x+1$$
C.$$y=\sqrt{2} x+1$$
D.$$y=2 \sqrt{3} x+2$$
9、['两点间的斜率公式'， '直线的点斜式方程'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率60.0%以椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$内的点$$M ( 1， 1 )$$为中点的弦所在直线的方程为（）
D
A.$$4 x-y-3=0$$
B.$$x-4 y+3=0$$
C.$$4 x+y-5=0$$
D.$$x+4 y-5=0$$
10、['直线的点斜式方程'， '直线与双曲线的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$，直线$${{l}}$$过点$$P ( 4， 2 )$$且与双曲线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且满足$${{P}}$$恰为线段$${{A}{，}{B}}$$的中点，则直线$${{l}}$$的方程为（）
C
A.$$x+y-6=0$$
B.$$4 x-y-1 4=0$$
C.$$x-y-2=0$$
D.$$2 x-y-6=0$$
1. 首先计算三角形$$ABC$$的外心、重心和垂心坐标，然后验证它们是否共线并求出欧拉线方程。
步骤：
1) 重心$$G$$坐标：$$G\left(\frac{1+2+3}{3}, \frac{3+4+2}{3}\right) = (2, 3)$$。
2) 外心$$O$$坐标：通过垂直平分线交点求得，计算得$$O(1.5, 2.5)$$。
3) 垂心$$H$$坐标：通过高线交点求得，计算得$$H(2.5, 3.5)$$。
验证三点共线：斜率$$k_{OG} = \frac{3-2.5}{2-1.5} = 1$$，斜率$$k_{GH} = \frac{3.5-3}{2.5-2} = 1$$，斜率相同，共线。
欧拉线方程：通过点$$G(2, 3)$$和斜率$$k=1$$，得$$y-3=1(x-2)$$，即$$x-y+1=0$$。
正确答案：C。
2. 反射光线的斜率与入射光线关于$$x$$轴对称，先求入射光线斜率，再求反射光线方程及其$$y$$截距。
步骤：
1) 入射光线斜率：$$k = \frac{4-0}{6-2} = 1$$。
2) 反射光线斜率：$$k' = -1$$。
3) 反射光线方程：通过点$$Q(2, 0)$$，得$$y = -1(x-2)$$，即$$y = -x + 2$$。
4) $$y$$截距：$$x=0$$时，$$y=2$$。
正确答案：B。
3. 抛物线$$C: y^2 = 2px$$的焦点为$$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，准线为$$x = -\frac{p}{2}$$。
步骤：
1) 直线$$l'$$斜率为$$\sqrt{3}$$，方程为$$y = \sqrt{3}\left(x - \frac{p}{2}\right)$$。
2) 与抛物线交点$$M$$：联立解得$$M\left(\frac{3p}{2}, \sqrt{3}p\right)$$。
3) 点$$N$$在准线上，坐标为$$\left(-\frac{p}{2}, \sqrt{3}p\right)$$。
4) 直线$$NF$$斜率为$$\frac{0 - \sqrt{3}p}{\frac{p}{2} - (-\frac{p}{2})} = -\sqrt{3}$$，方程为$$y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}p}{2}$$。
5) 与抛物线交点$$Q$$：联立解得$$Q\left(\frac{p}{6}, \frac{\sqrt{3}p}{3}\right)$$。
6) 计算比例：$$\frac{|NQ|}{|QF|} = \frac{\sqrt{\left(\frac{p}{6} + \frac{p}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}p}{3} - \sqrt{3}p\right)^2}}{\sqrt{\left(\frac{p}{2} - \frac{p}{6}\right)^2 + \left(0 - \frac{\sqrt{3}p}{3}\right)^2}} = 2$$。
正确答案：A。
4. 直线$$l$$过点$$(2, 1)$$，且在$$y$$轴截距$$b \in (-1, 2)$$，求斜率$$k$$的范围。
步骤：
1) 直线方程：$$y = kx + b$$，代入点$$(2, 1)$$得$$1 = 2k + b$$，即$$b = 1 - 2k$$。
2) 截距范围：$$-1 < 1 - 2k < 2$$，解得$$-\frac{1}{2} < k < 1$$。
正确答案：A。
5. 直线$$l_1$$斜率为$$2$$，$$l_1 \parallel l$$，故$$l$$斜率也为$$2$$。
直线$$l_2$$过点$$(-1, 1)$$且与$$y$$轴交于点$$P$$，设$$P(0, b)$$。
步骤：
1) 斜率$$k = \frac{b - 1}{0 - (-1)} = b - 1 = 2$$，得$$b = 3$$。
2) 点$$P$$坐标为$$(0, 3)$$。
正确答案：D。
6. 直线倾斜角为$$60^\circ$$，斜率$$k = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$。
直线方程：$$y - 1 = \sqrt{3}(x - \sqrt{3})$$，化简得$$y = \sqrt{3}x - 2$$。
正确答案：A。
7. 点$$C(a, b)$$在直线$$AB$$上，先求直线$$AB$$方程。
步骤：
1) 直线$$AB$$斜率：$$k = \frac{4 - 1}{-2 - 1} = -1$$，方程为$$y - 1 = -1(x - 1)$$，即$$x + y - 2 = 0$$。
2) 点$$C$$满足$$a + b = 2$$。
3) 表达式$$y = \frac{1}{a} + \frac{4}{b}$$，利用$$b = 2 - a$$代入，求最小值。
4) 通过导数或不等式求得最小值为$$\frac{9}{2}$$。
正确答案：C。
8. 抛物线$$x^2 = 4y$$的焦点$$F(0, 1)$$，直线$$l$$斜率为$$k$$，方程为$$y = kx + 1$$。
步骤：
1) 与抛物线交点$$A, B$$：联立解得$$x^2 - 4kx - 4 = 0$$，中点$$P$$的横坐标$$x_P = 2k$$，纵坐标$$y_P = 2k^2 + 1$$。
2) 点$$M$$为$$P$$在$$x$$轴垂线与抛物线的交点，坐标为$$(2k, k^2)$$。
3) $$|MF| = \sqrt{(2k - 0)^2 + (k^2 - 1)^2} = 3$$，解得$$k = \sqrt{2}$$。
4) 直线方程为$$y = \sqrt{2}x + 1$$。
正确答案：C。
9. 椭圆$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$内点$$M(1, 1)$$为中点的弦，利用点差法求斜率。
步骤：
1) 设弦两端点为$$(x_1, y_1)$$和$$(x_2, y_2)$$，中点$$M(1, 1)$$满足$$x_1 + x_2 = 2$$，$$y_1 + y_2 = 2$$。
2) 点差法：$$\frac{x_1^2}{16} + \frac{y_1^2}{4} = 1$$，$$\frac{x_2^2}{16} + \frac{y_2^2}{4} = 1$$，相减得$$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{16} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{4} = 0$$。
3) 斜率$$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{x_1 + x_2}{4(y_1 + y_2)} = -\frac{2}{4 \times 2} = -\frac{1}{4}$$。
4) 直线方程：$$y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 1)$$，即$$x + 4y - 5 = 0$$。
正确答案：D。
10. 双曲线$$\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$$，点$$P(4, 2)$$为弦$$AB$$中点，利用点差法求斜率。
步骤：
1) 设$$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点$$P(4, 2)$$满足$$x_1 + x_2 = 8$$，$$y_1 + y_2 = 4$$。
2) 点差法：$$\frac{x_1^2}{2} - y_1^2 = 1$$，$$\frac{x_2^2}{2} - y_2^2 = 1$$，相减得$$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{2} - (y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 0$$。
3) 斜率$$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{x_1 + x_2}{2(y_1 + y_2)} = \frac{8}{2 \times 4} = 1$$。
4) 直线方程：$$y - 2 = 1(x - 4)$$，即$$x - y - 2 = 0$$。
正确答案：C。