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正确率40.0%下列命题中的假命题是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{∀}{x}{>}{0}}$$且$${{x}{≠}{1}}$$，都有$$x+\frac{1} {x}>2$$
B.$${{∀}{a}{∈}{R}{，}}$$直线$${{a}{x}{+}{y}{=}{a}}$$恒过定点$${{(}{1}{，}{0}{)}}$$
C.$${{∀}{ϕ}{∈}{R}{，}}$$函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{(}{x}{+}{ϕ}{)}}$$都不是偶函数
D.$${{∃}{m}{∈}{R}{，}}$$使$$f ( x )=( m-1 ) x^{m^{2}-4 m+3}$$是幂函数，且在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递减
2、['直线系方程'， '两条直线相交'， '直线的斜率']正确率60.0%已知点$${{A}{(}{2}{，}{−}{3}{)}{，}{B}{(}{−}{3}{，}{−}{2}{)}{，}}$$直线$${{l}}$$的方程为$${{k}{x}{−}{y}{−}{k}{+}{1}{=}{0}{，}}$$且直线$${{l}}$$与线段$${{A}{B}}$$相交，则直线$${{l}}$$的斜率$${{k}}$$的取值范围为（）
A
A.$$(-\infty， ~-4 ] \cup\Bigg[ \frac{3} {4}， ~+\infty\Bigg)$$
B.$$\left(-\infty， ~-\frac{1} {4} \right] \cup\left[ \frac{3} {4}， ~+\infty\right)$$
C.$$[-4， ~ \frac3 4 ]$$
D.$$\left[ \frac{3} {4}， \， 4 \right]$$
3、['直线系方程'， '两直线的交点坐标'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%过直线$${{l}_{1}}$$：$${{x}{−}{3}{y}{+}{4}{=}{0}}$$和$${{l}_{2}}$$：$${{2}{x}{+}{y}{+}{5}{=}{0}}$$的交点，且过原点的直线方程为（）
D
A.$${{1}{9}{x}{−}{9}{y}{=}{0}}$$
B.$${{9}{x}{+}{{1}{9}}{y}{=}{0}}$$
C.$${{1}{9}{x}{−}{3}{y}{=}{0}}$$
D.$${{3}{x}{+}{{1}{9}}{y}{=}{0}}$$
4、['直线系方程'， '直线的点斜式方程']正确率60.0%不论$${{m}}$$为何实数值，直线$${{y}{+}{1}{=}{m}{(}{x}{+}{2}{)}}$$总过一个定点，该定点坐标为（）
D
A.$${{(}{1}{，}{−}{2}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{−}{1}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{−}{1}{)}}$$
5、['直线系方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}{−}{2}{k}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的位置关系为$${{(}{)}}$$
A
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
6、['直线系方程'， '直线的一般式方程及应用'， '两条直线平行']正确率60.0%过点$${{P}{(}{4}{，}{−}{1}{)}}$$且与直线$${{3}{x}{−}{4}{y}{+}{6}{=}{0}}$$平行的直线方程是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}{x}{−}{4}{y}{−}{{1}{6}}{=}{0}}$$
B.$${{4}{x}{−}{3}{y}{−}{{1}{9}}{=}{0}}$$
C.$${{4}{x}{+}{3}{y}{−}{{1}{3}}{=}{0}}$$
D.$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{8}{=}{0}}$$
7、['直线系方程'， '直线的一般式方程及应用']正确率60.0%已知直线方程为$${{(}{2}{+}{m}{)}{x}{+}{{(}{1}{−}{2}{m}{)}}{y}{+}{4}{−}{3}{m}{=}{0}{.}}$$这条直线恒过一定点，这个定点坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{−}{2}{m}{，}{−}{m}{−}{4}{)}}$$
B.$${{(}{5}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{−}{2}{)}}$$
D.$${{(}{2}{m}{，}{m}{+}{4}{)}}$$
8、['两点间的斜率公式'， '椭圆的离心率'， '直线系方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知直线$${{l}{:}{k}{x}{−}{y}{−}{2}{k}{+}{1}{=}{0}}$$与椭圆$$C_{1} : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，与圆$${{C}_{2}{:}{{(}{x}{−}{2}{)}^{2}}{+}{{(}{y}{−}{1}{)}^{2}}{=}{1}}$$交于$${{C}{、}{D}}$$两点．若存在$${{k}{∈}{[}{−}{2}{，}{−}{1}{]}}$$，使得$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{D B}，$$则椭圆$${{C}_{1}}$$的离心率的取值范围是
C
A.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}， 1 )$$
C.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
D.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
9、['两点间的距离'， '直线系方程']正确率60.0%点$${{(}{0}}$$，$${{−}{1}{)}}$$到直线$${{y}{=}{k}{(}{x}{+}{1}{)}}$$距离的最大值为 （）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
10、['直线系方程'， '直线的倾斜角']正确率40.0%已知两点$${{A}{(}{2}{，}{−}{1}{)}}$$，$${{B}{(}{−}{5}{，}{−}{3}{)}}$$，直线$${{l}}$$：$${{a}{x}{+}{y}{−}{a}{−}{1}{=}{0}}$$与线段$${{A}{B}}$$相交，则直线$${{l}}$$的斜率取值范围是$${{(}{)}{.}}$$
A
A.$$(-\infty，-2 ] \cup[ \frac{2} {3}，+\infty)$$
B.$$[-2， \frac{2} {3} ]$$
C.$$[-\frac{2} {3}， 2 ]$$
D.$$( \infty， \frac{2} {3} ] \cup[ 2，+\infty)$$
1. 解析：
选项A：当$$x > 0$$且$$x \neq 1$$时，$$x + \frac{1}{x} > 2$$仅在$$x \neq 1$$时成立，但若$$x = \frac{1}{2}$$，则$$x + \frac{1}{x} = 2.5 > 2$$，但若$$x = 2$$，也成立。然而，当$$x = 1$$时，$$x + \frac{1}{x} = 2$$，不满足严格大于2，但题目已限定$$x \neq 1$$，因此A为真命题。
选项B：直线$$ax + y = a$$可改写为$$y = -a(x - 1)$$，显然过定点$$(1, 0)$$，B为真命题。
选项C：当$$\phi = \frac{\pi}{2}$$时，函数$$y = \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$$是偶函数，因此C是假命题。
选项D：幂函数要求$$m - 1 = 1$$，即$$m = 2$$，此时$$f(x) = x^{-1}$$在$$(0, +\infty)$$上单调递减，D为真命题。
综上，假命题是C。
2. 解析：
直线$$l$$的方程为$$kx - y - k + 1 = 0$$，即$$y = kx - k + 1$$。若$$l$$与线段$$AB$$相交，需满足点$$A$$和点$$B$$在直线两侧或其中一点在直线上。
将$$A(2, -3)$$代入直线方程：$$2k - (-3) - k + 1 = k + 4$$。
将$$B(-3, -2)$$代入直线方程：$$-3k - (-2) - k + 1 = -4k + 3$$。
要求$$(k + 4)(-4k + 3) \leq 0$$，解得$$k \in (-\infty, -4] \cup \left[\frac{3}{4}, +\infty\right)$$。
答案为A。
3. 解析：
求直线$$l_1$$和$$l_2$$的交点：
解方程组： $$\begin{cases} x - 3y + 4 = 0 \\ 2x + y + 5 = 0 \end{cases}$$
解得$$x = -\frac{19}{7}$$，$$y = \frac{3}{7}$$，交点为$$\left(-\frac{19}{7}, \frac{3}{7}\right)$$。
过原点的直线斜率为$$\frac{\frac{3}{7}}{-\frac{19}{7}} = -\frac{3}{19}$$，方程为$$y = -\frac{3}{19}x$$，即$$3x + 19y = 0$$。
答案为D。
4. 解析：
直线$$y + 1 = m(x + 2)$$表示斜率为$$m$$且过定点$$(-2, -1)$$的直线，因此定点为$$(-2, -1)$$。
答案为C。
5. 解析：
直线$$y = kx + 1 - 2k$$可改写为$$y - 1 = k(x - 2)$$，表示斜率为$$k$$且过定点$$(2, 1)$$的直线。
将$$(2, 1)$$代入椭圆方程$$\frac{2^2}{9} + \frac{1^2}{4} = \frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} < 1$$，说明定点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交。
答案为A。
6. 解析：
与直线$$3x - 4y + 6 = 0$$平行的直线斜率为$$\frac{3}{4}$$，方程为$$y + 1 = \frac{3}{4}(x - 4)$$，化简得$$3x - 4y - 16 = 0$$。
答案为A。
7. 解析：
直线方程$$(2 + m)x + (1 - 2m)y + 4 - 3m = 0$$可整理为$$(2x + y + 4) + m(x - 2y - 3) = 0$$。
解方程组： $$\begin{cases} 2x + y + 4 = 0 \\ x - 2y - 3 = 0 \end{cases}$$
解得$$x = -1$$，$$y = -2$$，因此定点为$$(-1, -2)$$。
答案为C。
8. 解析：
直线$$kx - y - 2k + 1 = 0$$可改写为$$y = kx - 2k + 1$$，表示斜率为$$k$$且过定点$$(2, 1)$$的直线。
圆$$C_2$$的圆心为$$(2, 1)$$，半径为1，直线过圆心，因此$$|CD| = 2$$。
由$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$$，得$$|AB| = |CD| = 2$$。
将直线代入椭圆方程，得到关于$$x$$的二次方程，判别式$$\Delta > 0$$，结合$$k \in [-2, -1]$$，可求得离心率$$e \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$。
答案为C。
9. 解析：
点$$(0, -1)$$到直线$$y = k(x + 1)$$的距离为$$d = \frac{|k(0 + 1) - (-1)|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$。
求$$d$$的最大值，等价于求$$\frac{(k + 1)^2}{k^2 + 1}$$的最大值。
令$$f(k) = \frac{(k + 1)^2}{k^2 + 1}$$，求导得极值点为$$k = 1$$，此时$$d = \sqrt{2}$$。
答案为B。
10. 解析：
直线$$l$$的方程为$$ax + y - a - 1 = 0$$，即$$y = -ax + a + 1$$。
若$$l$$与线段$$AB$$相交，需满足点$$A$$和点$$B$$在直线两侧或其中一点在直线上。
将$$A(2, -1)$$代入直线方程：$$2a - 1 - a - 1 = a - 2$$。
将$$B(-5, -3)$$代入直线方程：$$-5a - 3 - a - 1 = -6a - 4$$。
要求$$(a - 2)(-6a - 4) \leq 0$$，解得$$a \in \left[-\frac{2}{3}, 2\right]$$。
斜率为$$-a$$，因此斜率范围为$$[-2, \frac{2}{3}]$$。
答案为B。