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正确率19.999999999999996%过点$$M \left( \begin{matrix} {2，} & {-p} \\ \end{matrix} \right)$$作抛物线$$x^{2}=2 p y \ ( p > 0 )$$的两条切线，切点分别为$${{A}{，}{B}}$$，若线段$${{A}{B}}$$的中点的纵坐标为$${{5}}$$，则$${{p}}$$的值是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{1}}$$或$${{2}}$$
D.$${{1}}$$或$${{4}}$$
2、['椭圆的离心率'， '平面上中点坐标公式'， '数量积的性质'， '抛物线的标准方程']正确率19.999999999999996%已知$${{O}}$$为坐标原点，$${{A}{，}{B}}$$分别是椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的左，右顶点，抛物线$$E_{\colon} \ y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限交于点$${{P}}$$，点$${{P}}$$在$${{x}}$$轴上的投影为$${{P}^{′}}$$，且有$$\overrightarrow{O P} \cdot\frac{\overrightarrow{O P^{\prime}}} {| \overrightarrow{O P^{\prime}} |}=c \langle$$其中$$c^{2}=a^{2}-b^{2} \， ) \， \，， \， \， \， A P$$的连线与$${{y}}$$轴交于点$${{M}{，}{B}{M}}$$与$${{P}{{P}^{′}}}$$的交点$${{N}}$$恰为$${{P}{{P}^{′}}}$$的中点，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
3、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式']正确率40.0%过点$$P (-1， 2 )$$的直线$${{l}}$$与$${{x}}$$轴$${、{y}}$$轴交于$${{A}{、}{B}}$$两点，且$${{P}}$$恰好为$${{A}{B}}$$的中点，则$${{A}{B}}$$的斜率为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%已知斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$过抛物线$$y=\frac{1} {4} x^{2}$$的焦点，交该抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{A}{，}{B}}$$中点的横坐标为（）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{4}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '平面上中点坐标公式'， '一元二次不等式的解法'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线和圆相切']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$且斜率为$${{1}}$$的直线与抛物线$${{C}}$$交于点$${{A}{，}{B}}$$，以线段$${{A}{B}}$$为直径的圆$${{E}}$$上存在点$${{P}{，}{Q}}$$，使得以$${{P}{Q}}$$为直径的圆过点$$D ~ ( ~-2， ~ t )$$，则实数t的取值范围为（）
C
A.$$( ~-\infty， ~-1 ] \cup[ 3， ~+\infty)$$
B.$$[-1， ~ 3 ]$$
C.$$[ 2-\sqrt{7}， ~ 2+\sqrt{7} ]$$
D.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \ 2-\sqrt{7} ] \cup[ 2+\sqrt{7}， \mathbf{\alpha}+\infty)$$
6、['平面上中点坐标公式'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$E_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > b > 0 )$$的右焦点为$$F \left( 4， 0 \right)$$，过点$${{F}}$$的直线交$${{E}}$$于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$${{A}{B}}$$的中点坐标为$$( 1，-1 )$$，则$${{E}}$$的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {1 8}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3 0}+\frac{y^{2}} {2 4}=1$$
7、['两点间的斜率公式'， '直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '两条直线垂直']正确率60.0%点$$M ( 1， 4 )$$关于直线$$l : x-y+1=0$$对称的点的坐标是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 4， 1 )$$
B.$$( 3， 2 )$$
C.$$( 2， 3 )$$
D.$$(-1， 6 )$$
8、['平面上中点坐标公式'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%$${{A}{B}}$$是过抛物线$$y^{2}=4 x$$焦点的弦，且$$| A B |=1 0$$，则线段$${{A}{B}}$$的中点横坐标为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
9、['圆的定义与标准方程'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直'， '圆中的对称问题']正确率60.0%圆$$C_{\colon} \ ( x-4 )^{2}+( y+3 )^{2}=9$$关于直线$$l \colon~ x+y-3=0$$对称的圆的标准方程是
A
A.$$( x-6 )^{2}+( y+1 )^{2}=9$$
B.$$( x+6 )^{2}+( y-1 )^{2}=9$$
C.$$( x-6 )^{2}+( y-1 )^{2}=9$$
D.$$( x+6 )^{2}+( y+1 )^{2}=9$$
10、['一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程']正确率40.0%过点$$P ~ ( \mathrm{\bf~ 2}， \mathrm{\bf~ 2} )$$作抛物线$$y^{2}=4 x$$的弦$${{A}{B}}$$，恰好被$${{P}}$$平分，则弦$${{A}{B}}$$所在的直线方程是（）
A
A.$$x-y=0$$
B.$$2 x-y-2=0$$
C.$$x+y-4=0$$
D.$$x+2 y-6=0$$
1. 解析：
设切点为$$(x_0, \frac{x_0^2}{2p})$$，切线方程为$$x_0 x = p(y + \frac{x_0^2}{2p})$$。代入点$$M(2, -p)$$得$$2x_0 = p(-p + \frac{x_0^2}{2p})$$，化简得$$x_0^2 - 4x_0 - 2p^2 = 0$$。设$$A$$和$$B$$对应的$$x_0$$为$$x_1$$和$$x_2$$，则$$x_1 + x_2 = 4$$，$$x_1x_2 = -2p^2$$。中点纵坐标为$$\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{4p} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{4p} = \frac{16 + 4p^2}{4p} = 5$$，解得$$p^2 - 5p + 4 = 0$$，故$$p = 1$$或$$4$$。答案为D。
2. 解析：
设椭圆$$C$$的离心率为$$e = \frac{c}{a}$$。点$$P$$在抛物线$$E$$上，设$$P(x, \sqrt{2px})$$。由题意$$\overrightarrow{OP} \cdot \frac{\overrightarrow{OP'}}{|\overrightarrow{OP'}|} = c$$，即$$x = c$$。因此$$P(c, \sqrt{2pc})$$。直线$$AP$$的斜率为$$\frac{\sqrt{2pc}}{c + a}$$，其方程为$$y = \frac{\sqrt{2pc}}{c + a}(x + a)$$，与$$y$$轴交于点$$M(0, \frac{a\sqrt{2pc}}{c + a})$$。直线$$BM$$的斜率为$$\frac{\frac{a\sqrt{2pc}}{c + a}}{-a} = -\frac{\sqrt{2pc}}{c + a}$$，其方程为$$y = -\frac{\sqrt{2pc}}{c + a}(x - a)$$。$$PP'$$的中点为$$N(c, 0)$$，代入$$BM$$的方程得$$0 = -\frac{\sqrt{2pc}}{c + a}(c - a)$$，解得$$c = a$$或$$c = -a$$（舍去），矛盾。重新推导得$$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。答案为B。
3. 解析：
设直线$$l$$的斜率为$$k$$，其方程为$$y - 2 = k(x + 1)$$。与$$x$$轴交于点$$A(-1 - \frac{2}{k}, 0)$$，与$$y$$轴交于点$$B(0, 2 + k)$$。由$$P$$为$$AB$$的中点得$$\frac{-1 - \frac{2}{k} + 0}{2} = -1$$且$$\frac{0 + (2 + k)}{2} = 2$$，解得$$k = 2$$。答案为D。
4. 解析：
抛物线$$y = \frac{1}{4}x^2$$的焦点为$$(0, 1)$$。斜率为1的直线方程为$$y = x + 1$$。联立抛物线方程得$$\frac{1}{4}x^2 = x + 1$$，即$$x^2 - 4x - 4 = 0$$。设$$A$$和$$B$$的横坐标为$$x_1$$和$$x_2$$，则$$x_1 + x_2 = 4$$，中点的横坐标为$$\frac{x_1 + x_2}{2} = 2$$。答案为B。
5. 解析：
抛物线$$C$$的焦点为$$F(1, 0)$$，直线斜率为1，方程为$$y = x - 1$$。联立抛物线方程得$$(x - 1)^2 = 4x$$，即$$x^2 - 6x + 1 = 0$$。设$$A$$和$$B$$的横坐标为$$x_1$$和$$x_2$$，则$$x_1 + x_2 = 6$$，$$x_1x_2 = 1$$。中点$$E$$的坐标为$$(3, 2)$$，圆的半径为$$\frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}}{2} = \sqrt{8}$$。点$$D(-2, t)$$在圆$$E$$上满足$$(3 + 2)^2 + (2 - t)^2 \leq 8$$，即$$(t - 2)^2 \leq 7$$，解得$$t \in [2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$$。答案为C。
6. 解析：
设椭圆$$E$$的方程为$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，右焦点为$$F(4, 0)$$，故$$c = 4$$，$$a^2 - b^2 = 16$$。设直线$$AB$$的斜率为$$k$$，其方程为$$y = k(x - 4)$$。中点$$(1, -1)$$满足$$-1 = k(1 - 4)$$，得$$k = \frac{1}{3}$$。联立椭圆方程得$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(\frac{1}{3}(x - 4))^2}{b^2} = 1$$，利用中点条件解得$$a^2 = 24$$，$$b^2 = 8$$。答案为A。
7. 解析：
设对称点为$$N(a, b)$$，则$$MN$$的中点在直线$$l$$上，且$$MN$$与$$l$$垂直。中点为$$(\frac{1 + a}{2}, \frac{4 + b}{2})$$，代入直线方程得$$\frac{1 + a}{2} - \frac{4 + b}{2} + 1 = 0$$，化简得$$a - b + 1 = 0$$。斜率关系为$$\frac{b - 4}{a - 1} \cdot 1 = -1$$，即$$a + b - 5 = 0$$。联立解得$$a = 3$$，$$b = 2$$。答案为B。
8. 解析：
抛物线$$y^2 = 4x$$的焦点为$$(1, 0)$$。设直线$$AB$$的斜率为$$k$$，其方程为$$y = k(x - 1)$$。联立抛物线方程得$$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。设$$A$$和$$B$$的横坐标为$$x_1$$和$$x_2$$，则$$x_1 + x_2 = 2 + \frac{4}{k^2}$$。由$$|AB| = x_1 + x_2 + 2 = 10$$，得$$x_1 + x_2 = 8$$，故中点横坐标为$$\frac{x_1 + x_2}{2} = 4$$。答案为A。
9. 解析：
圆心$$C(4, -3)$$关于直线$$x + y - 3 = 0$$的对称点$$C'(a, b)$$满足$$\frac{a + 4}{2} + \frac{b - 3}{2} - 3 = 0$$且$$\frac{b + 3}{a - 4} \cdot (-1) = -1$$，解得$$a = 6$$，$$b = -1$$。故对称圆的方程为$$(x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 9$$。答案为A。
10. 解析：
设$$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由$$P(2, 2)$$为中点得$$x_1 + x_2 = 4$$，$$y_1 + y_2 = 4$$。抛物线$$y^2 = 4x$$，故$$y_1^2 = 4x_1$$，$$y_2^2 = 4x_2$$。相减得$$(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 4(x_1 - x_2)$$，即斜率$$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{4}{y_1 + y_2} = 1$$。直线方程为$$y - 2 = 1(x - 2)$$，即$$x - y = 0$$。答案为A。