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正确率60.0%已知点$$A ~ ( 0， ~ 1 ) ~， ~ B ~ ( 3， ~ 2 ) ~， ~ C ~ ( 1， ~ 4 ) ~， ~ D$$为$${{B}{C}}$$的中点，则向量$$\overrightarrow{A D}=($$）
A
A.
B.$$( {\bf4}， {\bf4} )$$
C.$$( \ -1， \ 2 )$$
D.$$( 1， \ 3 )$$
2、['两点间的距离'， '平面上中点坐标公式'， '直线和圆的数学文化问题'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%任意三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这个结论首先是由瑞士数学家欧拉$$( \mathrm{E u l e r}， ~ 1 7 0 7-1 7 8 3 )$$发现，因此，这条直线被称为三角形的欧拉线.已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点$$B ( 5， ~ 0 )， ~ ~ C ( 0， ~ 1 )，$$且$$| A B |=| A C |，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的欧拉线方程为（）
A
A.$$5 x-y-1 2=0$$
B.$$5 x-y-2 4=0$$
C.$$x-5 y+1 2=0$$
D.$$x-5 y=0$$
3、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直']正确率60.0%点$${{A}}$$（$${{−}{1}}$$，$${{2}}$$）关于直线$$x+y-3=0$$的对称点$${{B}}$$的坐标是（ ）
C
A.$$( 4， 1 )$$
B.$$( 1， 2 )$$
C.$$( 1， 4 )$$
D.$$( 2， 1 )$$
4、['平面上中点坐标公式'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线的斜率']正确率60.0%已知抛物线$${{C}}$$的顶点在坐标原点，焦点为$$F ( 1， 0 )$$，直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$${{A}{B}}$$的中点为$$( 2， 2 )$$，则直线的斜率为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
5、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '直线的一般式方程及应用'， '直线的斜率']正确率60.0%已知$$A ~ ( 2， ~ 4 )$$与$$B ~ ( \mathrm{\bf~ 3}， \mathrm{\bf~ 3} )$$关于直线$${{l}}$$对称，则直线$${{l}}$$的方程为（）
D
A.$$x+y=0$$
B.$$x-y=0$$
C.$$x+y-6=0$$
D.$$x-y+1=0$$
6、['椭圆的离心率'， '平面上中点坐标公式'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )，$$点$${{F}}$$为左焦点，点$${{P}}$$为下顶点，平行于$${{F}{P}}$$的直线$${{l}}$$交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{A}{B}}$$的中点为$$M ( 1， \frac{1} {2} )$$，则椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
7、['两点间的斜率公式'， '直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直']正确率40.0%已知点$${{P}}$$与点$$Q ~ ( 1， ~-2 )$$关于直线$$x+y-1=0$$对称，则点$${{P}}$$的坐标为（）
A
A.$$( \mathbf{3}， \ \mathbf{0} )$$
B.$$( \mathrm{\bf~-3}， \mathrm{\bf~ 2} )$$
C.$$( \ -3， \ 0 )$$
D.$$( \ -1， \ 2 )$$
8、['两点间的斜率公式'， '直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%抛物线$${{y}{=}{2}{{x}^{2}}}$$上两点$$A ( x_{1}， y_{1} )， ~ B ( x_{2}， y_{2} )$$关于直线$$y=x+m$$对称，且$$x_{1} \cdot x_{2}=-\frac{3} {4}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{4}}$$
9、['两点间的斜率公式'， '圆的定义与标准方程'， '平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '两直线的交点坐标'， '两条直线垂直']正确率60.0%已知圆心为$${{C}}$$的圆经过点$$A ( 1， 1 )$$和$$B ( 2，-2 )$$，且圆心$${{C}}$$在直线$$l : x-y+1=0$$上，则圆心为$${{C}}$$的圆的标准方程为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\left( x-3 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2}=2 5$$
B.$$\left( x+4 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2}=2 5$$
C.$$\left( x-3 \right)^{2}+\left( y-4 \right)^{2}=2 5$$
D.$$\left( x+3 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2}=2 5$$
10、['平面上中点坐标公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%已知过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$交抛物线于$${{A}{、}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$的中点$${{M}}$$的横坐标为$${{3}}$$，则线段$${{A}{B}}$$的长为（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{2}}$$
1、
首先计算点 $$D$$ 的坐标，因为 $$D$$ 是 $$BC$$ 的中点：
$$B(3, 2)$$，$$C(1, 4)$$，所以中点 $$D$$ 的坐标为：
$$D = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2} \right) = (2, 3)$$
向量 $$\overrightarrow{AD}$$ 的坐标为：
$$\overrightarrow{AD} = D - A = (2-0, 3-1) = (2, 2)$$
选项中没有 $$(2, 2)$$，但选项 A 的图片可能对应 $$(2, 2)$$，因此选 A。
2、
已知 $$B(5, 0)$$，$$C(0, 1)$$，且 $$|AB| = |AC|$$，说明点 $$A$$ 在 $$BC$$ 的垂直平分线上。
先求 $$BC$$ 的中点 $$M$$：
$$M = \left( \frac{5+0}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = \left( 2.5, 0.5 \right)$$
$$BC$$ 的斜率为 $$k_{BC} = \frac{1-0}{0-5} = -\frac{1}{5}$$，垂直平分线的斜率为 $$5$$。
垂直平分线方程为：
$$y - 0.5 = 5(x - 2.5)$$
化简得：
$$5x - y - 12 = 0$$
欧拉线是外心、重心、垂心所在的直线，这里垂直平分线即为欧拉线，选 A。
3、
点 $$A(-1, 2)$$ 关于直线 $$x + y - 3 = 0$$ 的对称点 $$B$$ 的坐标可以通过以下步骤求解：
设直线斜率为 $$-1$$，其垂线斜率为 $$1$$。
过 $$A$$ 的垂线方程为：
$$y - 2 = 1(x + 1)$$，即 $$y = x + 3$$。
求垂足 $$P$$：
联立 $$x + y - 3 = 0$$ 和 $$y = x + 3$$，解得 $$x = 0$$，$$y = 3$$，即 $$P(0, 3)$$。
对称点 $$B$$ 满足 $$P$$ 是 $$A$$ 和 $$B$$ 的中点：
$$B = (2 \times 0 - (-1), 2 \times 3 - 2) = (1, 4)$$
选 C。
4、
抛物线 $$C$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$，标准方程为 $$y^2 = 4x$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，过中点 $$(2, 2)$$ 的直线方程为：
$$y - 2 = k(x - 2)$$
与抛物线联立：
$$(k(x-2) + 2)^2 = 4x$$
展开整理后，利用中点条件可得 $$k = 1$$。
选 C。
5、
点 $$A(2, 4)$$ 和 $$B(3, 3)$$ 的中点为 $$M(2.5, 3.5)$$。
直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k_{AB} = \frac{3-4}{3-2} = -1$$，对称轴 $$l$$ 的斜率为 $$1$$。
直线 $$l$$ 的方程为：
$$y - 3.5 = 1(x - 2.5)$$
化简得：
$$x - y + 1 = 0$$
选 D。
6、
椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，左焦点 $$F(-c, 0)$$，下顶点 $$P(0, -b)$$。
直线 $$FP$$ 的斜率为 $$\frac{-b - 0}{0 - (-c)} = -\frac{b}{c}$$。
平行于 $$FP$$ 的直线 $$l$$ 的斜率也为 $$-\frac{b}{c}$$，方程为：
$$y - \frac{1}{2} = -\frac{b}{c}(x - 1)$$
由于 $$M(1, \frac{1}{2})$$ 是 $$AB$$ 的中点，利用椭圆中点弦性质可得离心率 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
选 A。
7、
点 $$Q(1, -2)$$ 关于直线 $$x + y - 1 = 0$$ 的对称点 $$P$$ 的坐标求解如下：
直线斜率为 $$-1$$，垂线斜率为 $$1$$。
过 $$Q$$ 的垂线方程为：
$$y + 2 = 1(x - 1)$$，即 $$y = x - 3$$。
求垂足 $$R$$：
联立 $$x + y - 1 = 0$$ 和 $$y = x - 3$$，解得 $$x = 2$$，$$y = -1$$，即 $$R(2, -1)$$。
对称点 $$P$$ 满足 $$R$$ 是 $$Q$$ 和 $$P$$ 的中点：
$$P = (2 \times 2 - 1, 2 \times (-1) - (-2)) = (3, 0)$$
选 A。
8、
抛物线 $$y = 2x^2$$ 上两点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 关于直线 $$y = x + m$$ 对称。
中点 $$M$$ 在直线上：
$$\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{x_1 + x_2}{2} + m$$
斜率条件：
$$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -1$$
代入 $$y = 2x^2$$ 得：
$$x_1 + x_2 = -\frac{1}{2}$$
已知 $$x_1 x_2 = -\frac{3}{4}$$，解得 $$m = 1$$。
选 C。
9、
圆心 $$C$$ 在直线 $$x - y + 1 = 0$$ 上，设 $$C(a, a + 1)$$。
圆经过 $$A(1, 1)$$ 和 $$B(2, -2)$$，所以：
$$(a - 1)^2 + (a + 1 - 1)^2 = (a - 2)^2 + (a + 1 + 2)^2$$
化简得 $$a = -3$$，圆心 $$C(-3, -2)$$。
半径 $$r = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-2 - 1)^2} = 5$$。
圆的标准方程为：
$$(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$
选 D。
10、
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点 $$F(1, 0)$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 1)$$。
与抛物线联立：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x$$
整理得：
$$k^2 x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
中点 $$M$$ 的横坐标为 $$3$$，所以：
$$\frac{x_1 + x_2}{2} = 3$$，即 $$x_1 + x_2 = 6$$。
由韦达定理：
$$\frac{2k^2 + 4}{k^2} = 6$$，解得 $$k^2 = 1$$。
弦长公式：
$$|AB| = x_1 + x_2 + p = 6 + 2 = 8$$
选 B。