两点间的距离-直线的交点坐标与距离公式知识点考前进阶选择题自测题答案-河南省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1. 首先确定直线经过的定点：

对于直线 $$x + my - m = 0$$，当 $$m = 0$$ 时，$$x = 0$$；当 $$m = 1$$ 时，$$x + y - 1 = 0$$，解得定点 $$A(0, 1)$$。

对于直线 $$mx - y - m + 3 = 0$$，当 $$m = 0$$ 时，$$-y + 3 = 0$$，即 $$y = 3$$；当 $$m = 1$$ 时，$$x - y + 2 = 0$$，解得定点 $$B(1, 3)$$。

两直线交点 $$P$$ 满足联立方程，解得 $$P$$ 的坐标为 $$\left(\frac{m^2 - m}{m^2 + 1}, \frac{2m + 1}{m^2 + 1}\right)$$。

线段 $$AB$$ 的中点 $$Q$$ 为 $$\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 2\right)$$。

计算 $$PQ$$ 的距离：

$$|PQ| = \sqrt{\left(\frac{m^2 - m}{m^2 + 1} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{2m + 1}{m^2 + 1} - 2\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

2. 双曲线的焦距为 $$2c$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。

根据题意，点 $$P$$ 到中心的距离为 $$c$$，即 $$OP = c$$。

由双曲线性质，$$|PF_1 - PF_2| = 2a$$，结合 $$|PF_1| + |PF_2| = 4a$$，解得 $$|PF_1| = 3a$$，$$|PF_2| = a$$。

在三角形 $$PF_1F_2$$ 中，应用余弦定理：

$$(2c)^2 = (3a)^2 + a^2 - 2 \cdot 3a \cdot a \cdot \cos \theta$$，其中 $$\theta$$ 为夹角。

又因为 $$OP = c$$，利用向量关系可得 $$c^2 = \frac{9a^2 + a^2 - 4c^2}{4}$$，解得 $$c^2 = \frac{10a^2}{4}$$，即 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

3. 设点 $$M$$ 的坐标为 $$(0, 0, z)$$。

根据距离相等条件：

$$\sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (2 - z)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-3 - 0)^2 + (1 - z)^2}$$。

化简得 $$1 + (2 - z)^2 = 1 + 9 + (1 - z)^2$$，解得 $$z = 3$$。

因此，点 $$M$$ 的坐标为 $$(0, 0, 3)$$。

答案为 $$\boxed{D}$$。

4. 圆 $$x^2 + y^2 = 4$$ 的圆心为 $$(0, 0)$$，半径为 $$2$$。

圆 $$x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$$ 可化为 $$(x - a)^2 + y^2 = 1$$，圆心为 $$(a, 0)$$，半径为 $$1$$。

两圆内切的条件是圆心距离等于半径差：$$|a - 0| = 2 - 1$$，即 $$a = \pm 1$$。

答案为 $$\boxed{C}$$。

5. 圆 $$(x - a)^2 + (y - a)^2 = 4$$ 的圆心为 $$(a, a)$$，半径为 $$2$$。

原点到圆心的距离为 $$\sqrt{a^2 + a^2} = |a|\sqrt{2}$$。

圆上存在两点到原点的距离为 $$1$$，需满足 $$|a|\sqrt{2} - 2 < 1 < |a|\sqrt{2} + 2$$。

解不等式得 $$\frac{\sqrt{2}}{2} < |a| < \frac{3\sqrt{2}}{2}$$，即 $$a \in \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$$。

答案为 $$\boxed{C}$$。

6. 圆 $$C_1$$ 的圆心为 $$(-1, -1)$$，半径为 $$1$$；圆 $$C_2$$ 的圆心为 $$(3, 4)$$，半径为 $$3$$。

两圆心距离为 $$\sqrt{(3 + 1)^2 + (4 + 1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$。

$$|AB|$$ 的最大值为两圆心距离加上两圆半径：$$\sqrt{41} + 1 + 3 = \sqrt{41} + 4$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

7. 点 $$A(0, 1)$$ 到直线 $$x + y + 1 = 0$$ 的距离为 $$\frac{|0 + 1 + 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$。

当 $$|AB|$$ 最小时，点 $$B$$ 为 $$A$$ 在直线上的垂足。

设 $$B(x, y)$$，满足 $$x + y + 1 = 0$$ 且 $$AB$$ 与直线垂直，斜率为 $$1$$，即 $$\frac{y - 1}{x - 0} = 1$$。

解得 $$x = -1$$，$$y = 0$$，因此 $$B(-1, 0)$$。

答案为 $$\boxed{B}$$。

8. 圆 $$O_1$$ 的圆心为 $$(2, -3)$$，半径为 $$2$$；圆 $$O_2$$ 的圆心为 $$(-1, 1)$$，半径为 $$3$$。

两圆心距离为 $$\sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$。

半径和为 $$5$$，因此两圆外切，有 $$3$$ 条公切线（两条外公切线，一条内公切线）。

答案为 $$\boxed{B}$$。

9. 圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 的圆心为 $$(0, 0)$$，半径为 $$1$$；圆 $$x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$$ 的圆心为 $$(3, 4)$$，半径为 $$6$$。

设所求圆的圆心为 $$(x, y)$$，半径为 $$r$$，满足与两圆外切：

$$\sqrt{x^2 + y^2} = r + 1$$，$$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} = r + 6$$。

两式相减得 $$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} - \sqrt{x^2 + y^2} = 5$$，表示双曲线的一支。

答案为 $$\boxed{D}$$。

10. 点 $$(a, b)$$ 在圆 $$(a + 2)^2 + (b - 3)^2 = 1$$ 上。

所求表达式表示点 $$(x, \ln x)$$ 到点 $$(a, b)$$ 的距离平方的最小值。

先求点 $$(x, \ln x)$$ 到圆心 $$(-2, 3)$$ 的距离平方的最小值：

$$f(x) = (x + 2)^2 + (\ln x - 3)^2$$，求导并令导数为零，解得 $$x = 1$$。

此时 $$f(1) = (1 + 2)^2 + (0 - 3)^2 = 18$$。

因为圆的半径为 $$1$$，所以最小值为 $$\sqrt{18} - 1 = 3\sqrt{2} - 1$$ 的平方，即 $$19 - 6\sqrt{2}$$。

答案为 $$\boxed{D}$$。