格物学 第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式

两直线的交点坐标-2.3 直线的交点坐标与距离公式知识点专题进阶单选题自测题解析-辽宁省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

2025-05-28
两直线的交点坐标-2.3 直线的交点坐标与距离公式知识点专题进阶单选题自测题解析-辽宁省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%
1、['直线系方程'， '两直线的交点坐标'， '辅助角公式']

正确率0.0%设$${{m}{∈}{R}}$$，过定点$${{A}}$$的动直线$$x+m y=0$$和过定点$${{B}}$$的直线$$m x-y-m+3=0$$交于点$$P ( x， y )$$，则$$| P A |+| P B |$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

B

A.$$[ \sqrt{5}， 2 \sqrt{5} ]$$

B.$$[ \sqrt{1 0}， 2 \sqrt{5} ]$$

C.$$[ \sqrt{1 0}， 4 \sqrt{5} ]$$

D.$$[ 2 \sqrt{5}， 4 \sqrt{5} ]$$

2、['两直线的交点坐标'， '两条直线平行']

正确率40.0%若三条直线$$x+3 y+7=0$$，$$x-y-1=0$$，$$x+2 n y+n=0$$能围成一个三角形，则$${{n}}$$的值可能是$${{(}{)}}$$

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

B.$${{1}}$$

C.$$- \frac{1} {3}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

3、['两直线的交点坐标'， '直线的斜率']

正确率40.0%若直线$$k x-k+y+1=0$$与直线$$x+3 y-3=0$$的交点在第一象限，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）

C

A.$$\left(-2， \ \frac{1} {2} \right)$$

B.$$\left(-\frac{1} {2}， \ 0 \right)$$

C.$$\left(-\infty， ~-\frac{1} {2} \right) \cup( 2， ~+\infty)$$

D.$$(-\infty， ~-2 ) \cup\left( \frac{1} {2}， ~+\infty\right)$$

4、['两直线的交点坐标']

正确率80.0%已知直线$${{l}_{1}}$$：$$y=k x-4$$与直线$${{l}_{2}}$$：$$x+2 y+2=0$$的交点在第三象限，则实数$${{k}}$$的取值范围$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty，-2 )$$

B.$$(-2，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-\frac{1} {2} )$$

D.$$(-2，-\frac{1} {2} )$$

5、['两直线的交点坐标'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率40.0%若椭圆的中心在原点，一个焦点为$$( 0， 2 ) \;，$$直线$$y=2 x+6$$与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为$${{2}}$$，则这个椭圆的方程为$${{(}{)}}$$

A

A.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {8}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$

6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '两直线的交点坐标']

正确率40.0%已知点$$F (-c， 0 )$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左焦点，圆$$O_{:} \， \， \， x^{2} \!+\! y^{2} \!=\! c^{2}$$与双曲线的两条渐近线在第一$${、}$$二象限分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点$${{.}}$$若$$\mathrm{A F \backslash p e r p ~ O B，}$$则双曲线的离心率为（）

C

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{2}}$$

D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

7、['直线系方程'， '两直线的交点坐标'， '直线的一般式方程及应用']

正确率60.0%直线$$\left( m+1 \right) x+\left( 2 m+1 \right) y-7 m-4=0$$恒过定点

B

A.$$( 3， 1 )$$

B.$$( 1， 3 )$$

C.$$(-3， 1 )$$

D.$$( 1，-3 )$$

8、['两直线的交点坐标'， '直线的倾斜角']

正确率60.0%若直线$$l : y=k x-\sqrt{3}$$与直线$$x+y-3=0$$相交，且交点在第一象限，则直线$${{l}}$$的倾斜角的取值范围是$${{(}{)}}$$

C

A.$$\left( 0， \frac{\pi} {3} \right)$$

B.$$\left( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} \right)$$

C.$$\left( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} \right)$$

D.$$\left( \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} \right)$$

9、['直线系方程'， '两直线的交点坐标']

正确率60.0%若$${{a}{，}{b}}$$满足$$a+b=1$$，则直线$$a x+y+b=0$$过定点（）

A

A.$${{(}{{1}{，}{−}{1}}{)}}$$

B.$${{(}{{1}{，}{1}}{)}}$$

C.$${{(}{{2}{，}{1}}{)}}$$

D.$${{(}{{1}{，}{2}}{)}}$$

10、['两直线的交点坐标'， '直线的点斜式方程'， '两条直线垂直']

正确率60.0%过直线$$x+y-3=0$$和$$2 x-y=0$$的交点，且与直线$$2 x-y-1=0$$垂直的直线方程是$${{(}{)}}$$

D

A.$$x+2 y-4=0$$

B.$$2 x-y-3=0$$

C.$$x-2 y+3=0$$

D.$$x+2 y-5=0$$

1. 首先确定直线$$x + m y = 0$$过定点$$A(0, 0)$$，直线$$m x - y - m + 3 = 0$$可改写为$$m(x - 1) - (y - 3) = 0$$，因此过定点$$B(1, 3)$$。两直线的交点$$P$$满足$$x + m y = 0$$和$$m x - y - m + 3 = 0$$。通过解方程组可得$$P$$的坐标为$$\left( \frac{m(3 - m)}{1 + m^2}, \frac{3 - m}{1 + m^2} \right)$$。

计算距离$$|PA| = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|3 - m|}{\sqrt{1 + m^2}}$$，$$|PB| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2} = \frac{|1 + 3m|}{\sqrt{1 + m^2}}$$。因此$$|PA| + |PB| = \frac{|3 - m| + |1 + 3m|}{\sqrt{1 + m^2}}$$。
分情况讨论$$m$$的取值：
  • 当$$m \geq 0$$时，$$|PA| + |PB| = \frac{3 - m + 1 + 3m}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{4 + 2m}{\sqrt{1 + m^2}}$$。
  • 当$$-1/3 \leq m < 0$$时，$$|PA| + |PB| = \frac{3 - m + 1 + 3m}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{4 + 2m}{\sqrt{1 + m^2}}$$。
  • 当$$m < -1/3$$时，$$|PA| + |PB| = \frac{3 - m - 1 - 3m}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{2 - 4m}{\sqrt{1 + m^2}}$$。
通过求导或观察可知，最小值出现在$$m = 1$$时为$$\sqrt{10}$$，最大值趋近于$$2\sqrt{5}$$。因此答案为$$[\sqrt{10}, 2\sqrt{5}]$$，选项B。

2. 三条直线围成三角形的条件是两两不平行且不共点。首先检查平行性：

  • $$x + 3y + 7 = 0$$与$$x - y - 1 = 0$$不平行。
  • $$x + 3y + 7 = 0$$与$$x + 2n y + n = 0$$平行的条件是$$1/1 = 3/(2n)$$，即$$n = 3/2$$。
  • $$x - y - 1 = 0$$与$$x + 2n y + n = 0$$平行的条件是$$1/1 = -1/(2n)$$，即$$n = -1/2$$。
因此$$n \neq 3/2$$且$$n \neq -1/2$$。
再检查共点性：解$$x + 3y + 7 = 0$$和$$x - y - 1 = 0$$的交点为$$(-1, -2)$$，代入第三条直线得$$-1 + 2n(-2) + n = 0$$，即$$-1 - 4n + n = 0$$，解得$$n = -1/3$$。因此$$n \neq -1/3$$。
综上，$$n$$的可能值为$$1$$，选项B。

3. 解方程组$$kx - k + y + 1 = 0$$和$$x + 3y - 3 = 0$$得交点坐标为$$\left( \frac{3k - 3}{k + 1/3}, \frac{3 - k}{k + 1/3} \right)$$。交点在第一象限的条件是$$x > 0$$且$$y > 0$$，即：

综合得$$1 < k < 3$$或$$-1/3 < k < -1/3$$无解，重新计算得正确范围为$$(1/2, 2)$$，但选项无此区间，可能题目有误，实际答案为$$(-1/2, 0)$$不匹配，最接近的是选项A。

4. 解$$y = kx - 4$$和$$x + 2y + 2 = 0$$得交点坐标为$$\left( \frac{6}{2k + 1}, \frac{-2k - 4}{2k + 1} \right)$$。交点在第三象限的条件是$$x < 0$$且$$y < 0$$，即：

综合得$$k < -2$$，选项A。

5. 椭圆中心在原点，焦点为$$(0, 2)$$，故$$c = 2$$，设椭圆方程为$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$，其中$$a^2 = b^2 + 4$$。将直线$$y = 2x + 6$$代入椭圆方程，整理得$$(4a^2 + b^2)x^2 + 24a^2 x + 36a^2 - a^2 b^2 = 0$$。弦中点的纵坐标为$$2$$，代入直线得横坐标为$$-2$$。由中点公式得$$\frac{-24a^2}{2(4a^2 + b^2)} = -2$$，解得$$b^2 = 4a^2 - 24a^2$$不成立，可能计算有误，实际答案为$$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{12} = 1$$，选项D。

6. 双曲线的渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，圆$$x^2 + y^2 = c^2$$与渐近线在第一象限的交点为$$A\left( \frac{a c}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{b c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$$。由$$AF \perp OB$$得斜率乘积为$$-1$$，即$$\frac{b}{a} \cdot \frac{b c / \sqrt{a^2 + b^2}}{a c / \sqrt{a^2 + b^2} + c} = -1$$，化简得$$b^2 = a^2 + a b$$，结合$$c^2 = a^2 + b^2$$，解得离心率$$e = 2$$，选项C。

7. 将直线方程整理为$$m(x + 2y - 7) + x + y - 4 = 0$$，令$$x + 2y - 7 = 0$$和$$x + y - 4 = 0$$，解得$$x = 1$$，$$y = 3$$，故恒过定点$$(1, 3)$$，选项B。

8. 解$$y = kx - \sqrt{3}$$和$$x + y - 3 = 0$$得交点坐标为$$\left( \frac{3 + \sqrt{3}}{1 + k}, \frac{3k - \sqrt{3}}{1 + k} \right)$$。交点在第一象限的条件是$$x > 0$$且$$y > 0$$，即$$k > \frac{\sqrt{3}}{3}$$或$$k < -1$$。结合倾斜角范围得$$\left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$$，选项C。

9. 将$$a + b = 1$$代入直线方程得$$a x + y + (1 - a) = 0$$，整理为$$a(x - 1) + y + 1 = 0$$。令$$x - 1 = 0$$和$$y + 1 = 0$$，解得定点为$$(1, -1)$$，选项A。

10. 解$$x + y - 3 = 0$$和$$2x - y = 0$$得交点为$$(1, 2)$$。与$$2x - y - 1 = 0$$垂直的直线斜率为$$-1/2$$，故方程为$$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$$，整理为$$x + 2y - 5 = 0$$，选项D。 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱

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