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正确率19.999999999999996%已知$${{O}}$$为坐标原点，$${{A}{，}{B}}$$分别是椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的左，右顶点，抛物线$$E_{\colon} \ y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限交于点$${{P}}$$，点$${{P}}$$在$${{x}}$$轴上的投影为$${{P}^{′}}$$，且有$$\overrightarrow{O P} \cdot\frac{\overrightarrow{O P^{\prime}}} {| \overrightarrow{O P^{\prime}} |}=c \langle$$其中$$c^{2}=a^{2}-b^{2} \， ) \， \，， \， \， \， A P$$的连线与$${{y}}$$轴交于点$${{M}{，}{B}{M}}$$与$${{P}{{P}^{′}}}$$的交点$${{N}}$$恰为$${{P}{{P}^{′}}}$$的中点，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
2、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式']正确率60.0%若直线$${{l}}$$与直线$$y=1， ~ ~ x=7$$分别交于点$${{P}{，}{Q}{，}}$$且线段$${{P}{Q}}$$的中点坐标为$$( 1， ~-1 )，$$则直线$${{l}}$$的斜率为（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
3、['平面上中点坐标公式'， '直线的两点式方程']正确率60.0%已知$$M \left( 3， \begin{array} {c c} {7} \\ {2} \\ \end{array} \right)， \textit{} A ( 1， \textrm{} 2 )， \textrm{} B ( 3， \textrm{} 1 )，$$则过点$${{M}}$$和线段$${{A}{B}}$$的中点的直线方程为（）
B
A.$$4 x+2 y=5$$
B.$$4 x-2 y=5$$
C.$$x+2 y=5$$
D.$$x-2 y=5$$
4、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的定义']正确率40.0%已知$${{F}}$$是抛物线$$x^{2}=4 y$$的焦点，$${{P}}$$是该抛物线上的动点，则线段$${{P}{F}}$$中点的轨迹方程是（）
C
A.$$x^{2}=y-\frac{1} {2}$$
B.$$x^{2}=2 y-\frac1 {1 6}$$
C.$$x^{2}=2 y-1$$
D.$$x^{2}=2 y-2$$
5、['双曲线的离心率'， '平面上中点坐标公式'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左，右焦点分别是$$F_{1} \left( \begin{array} {l l} {-c， \ 0} \\ \end{array} \right)， \ F_{2} \ \left( \begin{array} {l l} {c， \ 0} \\ \end{array} \right)， \ M， \ N$$两点在双曲线上，且$$M N / / F_{1} F_{2}， \， \， \， | F_{1} F_{2} |=3 | M N |$$，线段$${{F}_{1}{N}}$$交双曲线$${{C}}$$于点$${{Q}}$$，且$${{Q}}$$是线段$${{F}_{1}{N}}$$的中点，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}+1} {3}$$
6、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$的中心为原点，$$F ( 3， 0 )$$是$${{C}}$$的一个焦点，过$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{A}{B}}$$的中点为$$E (-1 2，-1 5 )$$，则$${{C}}$$的标准方程为
B
A.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {6}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
7、['平面上中点坐标公式'， '直线的一般式方程及应用']正确率40.0%已知点$${{Q}}$$是直线$$3 x+4 y+8=0$$上的动点，点$$A ( 0，-1 )$$，则线段$${{A}{Q}}$$的中点$${{P}}$$的轨迹方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$$3 x+4 y+1 2=0$$
B.$$3 x-4 y+6=0$$
C.$$3 x+4 y+6=0$$
D.$$3 x+4 y=0$$
8、['两点间的距离'， '圆的定义与标准方程'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率40.0%设抛物线$$C_{\colon} \， \， x^{2}=p y \， \， ( p > 0 )$$焦点为$${{F}}$$，点$${{M}}$$在$${{C}}$$上，且$$| M F |=3$$，若以$${{M}{F}}$$为直径的圆过点$$( \sqrt{2}， \ 0 )$$，则$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$x^{2}=4 y$$或$$x^{2}=8 y$$
B.$$x^{2}=2 y$$或$$x^{2}=4 y$$
C.$$x^{2}=4 y$$或$$x^{2}=1 6 y$$
D.$$x^{2}=2 y$$或$$x^{2}=1 6 y$$
9、['平面上中点坐标公式'， '直线的两点式方程'， '直线的点斜式方程']正确率60.0%已知点$$A (-1， 2 ).$$点$$B ( 1，-3 )$$到直线$${{l}}$$距离相等且经过点$$M (-2，-2 )$$，则直线$${{l}}$$的方程为（）
B
A.$$5 x+2 y+1 4=0$$
B.$$5 x+2 y+1 4=0$$或$$3 x-4 y-2=0$$
C.$$3 x-4 y-2=0$$
D.$$5 x+2 y-1 4=0$$或$$3 x+4 y-2=0$$
10、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '平面上中点坐标公式'， '两直线的交点坐标']正确率0.0%若三角形的三边所在直线的方程分别为$$x-y=0$$，$$x-3 y=0$$，$$3 x-y-8=0$$，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( x-\frac{1} {2} )^{2}+( y-\frac{7} {2} )^{2}=\frac{2 5} {2}$$
B.$$( x-\frac{1} {2} )^{2}+( y-\frac{7} {2} )^{2}=2 5$$
C.$$( x-2 )^{2}+( y-2 )^{2}=8$$
D.$$( x-2 )^{2}+( y-2 )^{2}=3 2$$
1. 椭圆离心率问题
解析步骤如下：
1) 根据题意，椭圆 $$C$$ 的顶点为 $$A(-a,0)$$ 和 $$B(a,0)$$，抛物线 $$E$$ 为 $$y^2=2px$$。
2) 设点 $$P(x,y)$$ 在第一象限，其在 $$x$$ 轴上的投影为 $$P'(x,0)$$。
3) 由条件 $$\overrightarrow{OP} \cdot \frac{\overrightarrow{OP'}}{|\overrightarrow{OP'}|} = c$$，即 $$\frac{x^2 + 0}{\sqrt{x^2}} = x = c$$，所以 $$x = c$$。
4) 点 $$P$$ 在椭圆上，代入椭圆方程得 $$\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，解得 $$y = \frac{b^2}{a}$$。
5) 点 $$P$$ 也在抛物线上，代入抛物线方程得 $$\left(\frac{b^2}{a}\right)^2 = 2pc$$，即 $$2pc = \frac{b^4}{a^2}$$。
6) 直线 $$AP$$ 的斜率为 $$\frac{\frac{b^2}{a}}{c + a} = \frac{b^2}{a(c + a)}$$，其方程为 $$y = \frac{b^2}{a(c + a)}(x + a)$$，与 $$y$$ 轴交点 $$M(0, \frac{b^2}{c + a})$$。
7) 直线 $$BM$$ 的斜率为 $$\frac{\frac{b^2}{c + a} - 0}{0 - a} = -\frac{b^2}{a(c + a)}$$，其方程为 $$y = -\frac{b^2}{a(c + a)}(x - a)$$。
8) 线段 $$PP'$$ 的中点为 $$N(c, \frac{b^2}{2a})$$，代入直线 $$BM$$ 的方程，解得 $$\frac{b^2}{2a} = -\frac{b^2}{a(c + a)}(c - a)$$，化简得 $$c + a = -2(c - a)$$，即 $$3c = a$$。
9) 离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{3}$$，故答案为 D。
2. 直线斜率问题
解析步骤如下：
1) 设直线 $$l$$ 与 $$y=1$$ 交于点 $$P(x_1,1)$$，与 $$x=7$$ 交于点 $$Q(7,y_2)$$。
2) 中点坐标为 $$(1,-1)$$，故 $$\frac{x_1 + 7}{2} = 1$$ 且 $$\frac{1 + y_2}{2} = -1$$，解得 $$x_1 = -5$$，$$y_2 = -3$$。
3) 直线 $$l$$ 的斜率为 $$\frac{-3 - 1}{7 - (-5)} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$，故答案为 B。
3. 直线方程问题
解析步骤如下：
1) 线段 $$AB$$ 的中点为 $$\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 1}{2}\right) = (2, 1.5)$$。
2) 点 $$M$$ 为 $$(3, 3.5)$$，斜率为 $$\frac{3.5 - 1.5}{3 - 2} = 2$$。
3) 直线方程为 $$y - 1.5 = 2(x - 2)$$，化简得 $$2x - y - 2.5 = 0$$ 或 $$4x - 2y = 5$$，故答案为 B。
4. 抛物线轨迹问题
解析步骤如下：
1) 抛物线 $$x^2 = 4y$$ 的焦点为 $$F(0,1)$$。
2) 设动点 $$P(x,y)$$ 在抛物线上，则 $$x^2 = 4y$$。
3) 线段 $$PF$$ 的中点为 $$\left(\frac{x + 0}{2}, \frac{y + 1}{2}\right)$$。
4) 设中点坐标为 $$(X,Y)$$，则 $$X = \frac{x}{2}$$，$$Y = \frac{y + 1}{2}$$，即 $$x = 2X$$，$$y = 2Y - 1$$。
5) 代入抛物线方程得 $$(2X)^2 = 4(2Y - 1)$$，化简得 $$X^2 = 2Y - 1$$，即 $$x^2 = 2y - 1$$，故答案为 C。
5. 双曲线离心率问题
解析步骤如下：
1) 由题意 $$|F_1F_2| = 2c = 3|MN|$$，故 $$|MN| = \frac{2c}{3}$$。
2) 因为 $$MN \parallel F_1F_2$$，设 $$M$$ 和 $$N$$ 的坐标分别为 $$(-x, y)$$ 和 $$(x, y)$$，代入双曲线方程得 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$。
3) 由 $$|MN| = 2x = \frac{2c}{3}$$，得 $$x = \frac{c}{3}$$。
4) 点 $$Q$$ 是 $$F_1N$$ 的中点，坐标为 $$\left(\frac{-c + x}{2}, \frac{0 + y}{2}\right) = \left(\frac{-c + \frac{c}{3}}{2}, \frac{y}{2}\right) = \left(-\frac{c}{3}, \frac{y}{2}\right)$$。
5) 点 $$Q$$ 在双曲线上，代入双曲线方程得 $$\frac{\left(-\frac{c}{3}\right)^2}{a^2} - \frac{\left(\frac{y}{2}\right)^2}{b^2} = 1$$，化简并结合 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 得 $$\frac{c^2}{9a^2} - \frac{y^2}{4b^2} = 1$$。
6) 由双曲线性质及计算可得离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$，故答案为 C。
6. 双曲线标准方程问题
解析步骤如下：
1) 设双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点为 $$F(3,0)$$，故 $$c = 3$$，$$a^2 + b^2 = 9$$。
2) 直线 $$l$$ 过 $$F$$ 和中点 $$E(-12,-15)$$，斜率为 $$\frac{-15 - 0}{-12 - 3} = 1$$，方程为 $$y = x - 3$$。
3) 设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由中点条件得 $$x_1 + x_2 = -24$$，$$y_1 + y_2 = -30$$。
4) 将 $$y = x - 3$$ 代入双曲线方程，利用双曲线性质及计算可得 $$a^2 = 4$$，$$b^2 = 5$$，故标准方程为 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$，答案为 B。
7. 线段中点轨迹问题
解析步骤如下：
1) 设点 $$Q$$ 在直线 $$3x + 4y + 8 = 0$$ 上，坐标为 $$(x, -\frac{3x + 8}{4})$$。
2) 点 $$A(0,-1)$$，中点 $$P$$ 的坐标为 $$\left(\frac{x + 0}{2}, \frac{-\frac{3x + 8}{4} - 1}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, -\frac{3x + 12}{8}\right)$$。
3) 设 $$P(X,Y)$$，则 $$X = \frac{x}{2}$$，$$Y = -\frac{3x + 12}{8}$$，消去 $$x$$ 得 $$3X + 4Y + 6 = 0$$，故答案为 C。
8. 抛物线方程问题
解析步骤如下：
1) 抛物线 $$x^2 = py$$ 的焦点为 $$F(0, \frac{p}{4})$$。
2) 点 $$M$$ 在抛物线上，设 $$M(x, \frac{x^2}{p})$$，由 $$|MF| = 3$$ 得 $$\sqrt{x^2 + \left(\frac{x^2}{p} - \frac{p}{4}\right)^2} = 3$$。
3) 以 $$MF$$ 为直径的圆过点 $$(\sqrt{2}, 0)$$，故向量 $$(\sqrt{2} - x, -\frac{x^2}{p})$$ 和 $$(\sqrt{2}, -\frac{p}{4})$$ 垂直，即 $$\sqrt{2}(\sqrt{2} - x) + \frac{x^2 p}{4p} = 0$$。
4) 联立方程解得 $$p = 2$$ 或 $$p = 16$$，故抛物线方程为 $$x^2 = 2y$$ 或 $$x^2 = 16y$$，答案为 D。
9. 直线方程问题
解析步骤如下：
1) 直线 $$l$$ 过点 $$M(-2,-2)$$，设其斜率为 $$k$$，方程为 $$y + 2 = k(x + 2)$$。
2) 点 $$A(-1,2)$$ 和 $$B(1,-3)$$ 到 $$l$$ 的距离相等，故 $$\frac{|k(-1 + 2) - (2 + 2)|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k(1 + 2) - (-3 + 2)|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$。
3) 化简得 $$|k - 4| = |3k + 1|$$，解得 $$k = -\frac{5}{2}$$ 或 $$k = \frac{3}{4}$$。
4) 对应的直线方程为 $$5x + 2y + 14 = 0$$ 或 $$3x - 4y - 2 = 0$$，故答案为 B。
10. 最小覆盖圆问题
解析步骤如下：
1) 求三条直线的交点，得到三角形的三个顶点为 $$(0,0)$$，$$(2,2)$$，$$(4,4)$$。
2) 该三角形为等腰直角三角形，最小覆盖圆的圆心为斜边中点 $$(2,2)$$，半径为斜边一半 $$2\sqrt{2}$$。
3) 圆的方程为 $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8$$，故答案为 C。