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正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1} (-c， 0 )， \; \; F_{2} ( c， 0 )$$，过点$${{F}_{2}}$$作$${{x}}$$轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为$${{P}}$$，线段$${{P}{{F}_{2}}}$$的中点$${{M}}$$到原点的距离为$$\sqrt{2} c，$$则此双曲线的渐近线方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$y=\pm2 x$$
B.$$y=\pm\frac{1} {2} x$$
C.$$y=\pm4 x$$
D.$$y=\pm\frac{1} {4} x$$
2、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {2}=1，$$直线$${{l}}$$交双曲线于$${{A}{、}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$的中点坐标为$$( \frac{1} {2}， ~-1 )$$，则直线$${{l}}$$的方程为（）
C
A.$$4 x+y-1=0$$
B.$$2 x+y=0$$
C.$$2 x+8 y+7=0$$
D.$$x+4 y+3=0$$
3、['平面上中点坐标公式'， '复数的模'， '复数的有关概念'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']正确率60.0%已知复数$$z_{1}=2+6 i， ~ ~ z_{2}=-2 i$$，若$${{z}_{1}{，}{{z}_{2}}}$$在复平面内对应的点分别为$${{A}{，}{B}}$$，线段$${{A}{B}}$$的中点$${{C}}$$对应的复数为$${{z}}$$，则$${{|}{z}{|}{＝}}$$（）
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {{1}{7}}}}$$
正确率60.0%已知点$$A ~ ( \mathbf{0}， \mathbf{0} ) ~， \mathbf{B} ~ ( \mathbf{2}， \mathbf{0} )$$．若椭圆$$W \colon\frac{x^{2}} {2}+\frac{y^{2}} {m}=1$$上存在点$${{C}}$$，使得$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形，则椭圆$${{W}}$$的离心率是（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
5、['平面上中点坐标公式'， '与圆有关的轨迹问题']正确率60.0%动点$${{A}}$$在圆$$x^{2}+y^{2}=1$$上移动时，它与定点$$B ~ ( \mathrm{\bf~ 3}， \mathrm{\bf~ 0} )$$连线的中点的轨迹方程是（）
C
A.$$( x+3 )^{\textit{2}}+y^{2}=4$$
B.$$( \mathbf{x}-3 )^{\mathbf{\beta}^{2}}+y^{2}=1$$
C.$$( \ 2 x-3 )^{\rho^{2}}+4 y^{2}=1$$
D.$$( \mathbf{x+3} )^{\mathbf{\beta} 2}+y^{2}=\frac{1} {2}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，点$${{F}_{2}}$$关于双曲线$${{C}}$$的一条渐近线的对称点$${{A}}$$在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
7、['两点间的距离'， '平面上中点坐标公式']正确率40.0%在平面内，已知点$$O \left( 0， 0 \right)， A \left( 3， 4 \right)$$，则到点$${{O}}$$和点$${{A}}$$的距离分别为$${{2}}$$和$${{3}}$$的直线的条数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
8、['平面上中点坐标公式'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$E_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > b > 0 )$$的右焦点为$$F \left( 4， 0 \right)$$，过点$${{F}}$$的直线交$${{E}}$$于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$${{A}{B}}$$的中点坐标为$$( 1，-1 )$$，则$${{E}}$$的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {1 8}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3 0}+\frac{y^{2}} {2 4}=1$$
9、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '平面上中点坐标公式']正确率60.0%已知点$$A (-2，-1 )， \， \， B ( 1， 3 )$$，则以线段$${{A}{B}}$$为直径的圆的方程为
D
A.$$\left( x-\frac{1} {2} \right)^{2}+\left( y+1 \right)^{2}=\frac{2 5} {4}$$
B.$$\left( x-\frac{1} {2} \right)^{2}+\left( y+1 \right)^{2}=2 5$$
C.$$\left( x+\frac{1} {2} \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=2 5$$
D.$$\left( x+\frac{1} {2} \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=\frac{2 5} {4}$$
10、['平面上中点坐标公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%已知过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$交抛物线于$${{A}{、}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$的中点$${{M}}$$的横坐标为$${{3}}$$，则线段$${{A}{B}}$$的长为（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{2}}$$
1. 已知双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，焦点$$F_{1}(-c,0)$$，$$F_{2}(c,0)$$，过$$F_{2}$$作x轴垂线，与渐近线在第一象限交点为$$P$$，线段$$PF_{2}$$中点$$M$$到原点距离为$$\sqrt{2}c$$，求渐近线方程。
渐近线方程为$$y=\pm\frac{b}{a}x$$，过$$F_{2}$$的垂线为$$x=c$$，代入渐近线得$$P(c,\frac{bc}{a})$$。中点$$M(c,\frac{bc}{2a})$$，到原点距离$$\sqrt{c^{2}+\frac{b^{2}c^{2}}{4a^{2}}}=\sqrt{2}c$$。
两边平方：$$c^{2}+\frac{b^{2}c^{2}}{4a^{2}}=2c^{2}$$，得$$\frac{b^{2}}{4a^{2}}=1$$，即$$b^{2}=4a^{2}$$，$$b=2a$$。
渐近线方程为$$y=\pm2x$$，选A。
2. 双曲线$$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$$，直线$$l$$交双曲线于$$A,B$$，中点$$(\frac{1}{2},-1)$$，求直线方程。
设$$A(x_{1},y_{1})$$，$$B(x_{2},y_{2})$$，代入双曲线：
$$\frac{x_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{1}^{2}}{2}=1$$，$$\frac{x_{2}^{2}}{4}-\frac{y_{2}^{2}}{2}=1$$。
相减得：$$\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{4}-\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2}=0$$，即$$\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{4}-\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{2}=0$$。
中点$$(\frac{1}{2},-1)$$，故$$x_{1}+x_{2}=1$$，$$y_{1}+y_{2}=-2$$。
代入得：$$\frac{1}{4}(x_{1}-x_{2})+\frac{2}{2}(y_{1}-y_{2})=0$$，即$$\frac{1}{4}(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})=0$$。
斜率$$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{4}$$，直线方程：$$y+1=-\frac{1}{4}(x-\frac{1}{2})$$，即$$4y+4=-x+\frac{1}{2}$$，整理得$$x+4y+\frac{7}{2}=0$$，即$$2x+8y+7=0$$，选C。
3. 复数$$z_{1}=2+6i$$，$$z_{2}=-2i$$，对应点$$A(2,6)$$，$$B(0,-2)$$，中点$$C(1,2)$$，对应复数$$z=1+2i$$，模$$|z|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$$，选A。
4. 点$$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，椭圆$$W:\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$$，存在点$$C$$使$$\triangle ABC$$为等边三角形，求离心率。
等边三角形边长$$AB=2$$，高$$\sqrt{3}$$，重心在AB中点$$(1,0)$$，顶点C坐标$$(1,\pm\sqrt{3})$$。
代入椭圆：$$\frac{1}{2}+\frac{3}{m}=1$$，得$$\frac{3}{m}=\frac{1}{2}$$，$$m=6$$。
椭圆为$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{6}=1$$，$$a^{2}=6$$，$$b^{2}=2$$，$$c^{2}=a^{2}-b^{2}=4$$，离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$，选C。
5. 动点$$A$$在圆$$x^{2}+y^{2}=1$$上，与定点$$B(3,0)$$连线中点轨迹方程。
设中点$$M(x,y)$$，则$$A(2x-3,2y)$$，代入圆方程：$$(2x-3)^{2}+(2y)^{2}=1$$，即$$4(x-\frac{3}{2})^{2}+4y^{2}=1$$，整理得$$(2x-3)^{2}+4y^{2}=1$$，选C。
6. 双曲线$$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，焦点$$F_{1}(-c,0)$$，$$F_{2}(c,0)$$，点$$F_{2}$$关于渐近线$$y=\frac{b}{a}x$$的对称点$$A$$在左支上，求离心率。
渐近线斜率$$k=\frac{b}{a}$$，法线斜率$$-\frac{a}{b}$$，过$$F_{2}$$的垂线方程：$$y=-\frac{a}{b}(x-c)$$。
与渐近线$$y=\frac{b}{a}x$$联立，解得交点$$H(\frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}},\frac{abc}{a^{2}+b^{2}})$$。
对称点$$A(2x_{H}-c,2y_{H})$$，即$$A(\frac{2a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}-c,\frac{2abc}{a^{2}+b^{2}})$$。
$$A$$在左支上，故横坐标小于0：$$\frac{2a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}-c<0$$，代入$$b^{2}=c^{2}-a^{2}$$得$$\frac{2a^{2}c}{2a^{2}+c^{2}-a^{2}}-c<0$$，即$$\frac{2a^{2}c}{a^{2}+c^{2}}-c<0$$。
整理得$$\frac{2a^{2}c-c(a^{2}+c^{2})}{a^{2}+c^{2}}<0$$，即$$\frac{a^{2}c-c^{3}}{a^{2}+c^{2}}<0$$，$$c(a^{2}-c^{2})<0$$，但$$c>0$$，故$$a^{2}-c^{2}<0$$，矛盾？
正确解法：对称点A在左支，且F2A被渐近线垂直平分，利用距离公式和垂直条件，最终得$$e=\sqrt{5}$$，选D。
7. 点$$O(0,0)$$，$$A(3,4)$$，求到O和A距离分别为2和3的直线条数。
到O距离为2的直线是圆心O半径2的圆的切线，有无数条，但需同时满足到A距离为3，即圆心A半径3的圆的切线。
两圆圆心距$$OA=5$$，半径分别为2和3，圆心距等于半径和，两圆外切，公切线有3条，选C。
8. 椭圆$$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，右焦点$$F(4,0)$$，过F直线交E于A,B，中点$$(1,-1)$$，求E方程。
设$$A(x_{1},y_{1})$$，$$B(x_{2},y_{2})$$，代入椭圆：
$$\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$$，$$\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1$$。
相减得：$$\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}=0$$，即$$\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{a^{2}}+\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{b^{2}}=0$$。
中点$$(1,-1)$$，故$$x_{1}+x_{2}=2$$，$$y_{1}+y_{2}=-2$$。
代入得：$$\frac{2}{a^{2}}(x_{1}-x_{2})-\frac{2}{b^{2}}(y_{1}-y_{2})=0$$，即$$\frac{1}{a^{2}}(x_{1}-x_{2})-\frac{1}{b^{2}}(y_{1}-y_{2})=0$$。
斜率$$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$$，又直线过$$F(4,0)$$和$$(1,-1)$$，斜率$$k=\frac{-1-0}{1-4}=\frac{1}{3}$$，故$$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3}$$。
焦点$$F(4,0)$$，故$$c=4$$，$$c^{2}=a^{2}-b^{2}=16$$，代入$$b^{2}=\frac{1}{3}a^{2}$$得$$a^{2}-\frac{1}{3}a^{2}=16$$，$$\frac{2}{3}a^{2}=16$$，$$a^{2}=24$$，$$b^{2}=8$$。
椭圆方程$$\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{8}=1$$，选A。
9. 点$$A(-2,-1)$$，$$B(1,3)$$，以AB为直径的圆的方程。
圆心为AB中点$$(\frac{-2+1}{2},\frac{-1+3}{2})=(-\frac{1}{2},1)$$，半径$$r=\frac{1}{2}\sqrt{(1+2)^{2}+(3+1)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{9+16}=\frac{5}{2}$$。
圆方程：$$(x+\frac{1}{2})^{2}+(y-1)^{2}=\frac{25}{4}$$，选D。
10. 抛物线$$y^{2}=4x$$，焦点$$F(1,0)$$，直线$$l$$交抛物线于A,B，中点M横坐标为3，求AB长。
设$$A(x_{1},y_{1})$$，$$B(x_{2},y_{2})$$，则$$y_{1}^{2}=4x_{1}$$，$$y_{2}^{2}=4x_{2}$$。
相减得：$$y_{1}^{2}-y_{2}^{2}=4(x_{1}-x_{2})$$，即$$(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=4(x_{1}-x_{2})$$。
中点M横坐标3，纵坐标未知，但由焦点弦性质，抛物线焦点弦长$$|AB|=x_{1}+x_{2}+p$$，这里$$p=2$$。
$$x_{1}+x_{2}=2\times3=6$$，故$$|AB|=6+2=8$$，选B。