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正确率60.0%若直线$${{m}}$$被两平行直线$${{l}_{1}{：}{x}{−}{\sqrt {3}}{y}{+}{\sqrt {3}}{=}{0}}$$与$${{l}_{2}{：}{x}{−}{\sqrt {3}}{y}{+}{3}{\sqrt {3}}{=}{0}}$$所截得的线段长为$${\sqrt {6}{，}}$$则直线$${{m}}$$的倾斜角可以是（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{7}{5}^{∘}}$$
C.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
D.$${{1}{4}{5}^{∘}}$$
2、['两条平行直线间的距离']正确率80.0%两条平行直线$${{3}{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$和$${{a}{x}{−}{y}{+}{4}{=}{0}}$$间的距离为$${{d}}$$，则$${{a}}$$，$${{d}}$$分别为$${{(}{)}}$$
A.$$a=3， d=\frac{1} {1 0}$$
B.$$a=3， d=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$a=-3， d=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$a=-3， d=\frac{1} {1 0}$$
3、['两条平行直线间的距离']正确率60.0%已知直线$${{l}_{1}}$$：$${{y}{=}{2}{x}{+}{1}{，}}$$直线$${{l}_{2}}$$：$${{4}{x}{−}{2}{y}{+}{7}{=}{0}{，}}$$则$${{l}_{1}}$$与$${{l}_{2}}$$之间的距离为（）
A
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {4}$$
4、['两条平行直线间的距离']正确率60.0%两条平行直线$${{2}{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$和$${{a}{x}{−}{3}{y}{+}{4}{=}{0}}$$间的距离为$${{d}{，}}$$则$${{a}{，}{d}}$$的值分别为（）
B
A.$$a=6， d=\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$a=6， d=\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$a=-6， d=\frac{\sqrt{5}} {3}$$
D.$$a=-6， d=\frac{\sqrt{6}} {3}$$
5、['两条平行直线间的距离'， '两条直线平行']正确率60.0%若直线$${{l}_{1}}$$：$${{x}{+}{a}{y}{+}{6}{=}{0}}$$与$${{l}_{2}}$$：$${{(}{a}{−}{2}{)}{x}{+}{3}{y}{+}{2}{a}{=}{0}}$$平行，则$${{l}_{1}}$$与$${{l}_{2}}$$之间的距离为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$$\frac{8 \sqrt2} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{8 \sqrt{3}} {3}$$
6、['古典概型的概率计算公式'， '古典概型的应用'， '两条平行直线间的距离']正确率40.0%从集合$${{\{}{−}{1}{，}{2}{，}{3}{\}}}$$中随机抽取一个数$${{a}}$$，从集合$${{\{}{−}{2}{，}{4}{，}{6}{，}{7}{\}}}$$中随机抽取一个数$${{b}}$$，则点$${{(}{a}{，}{b}{)}}$$落在平行直线$${{2}{x}{−}{y}{−}{2}{=}{0}}$$与$${{2}{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$内(不包括两条平行直线)的概率为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{7} {1 2}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{5} {1 2}$$
7、['两条平行直线间的距离']正确率60.0%若$${{P}{，}{Q}}$$分别为直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{{1}{2}}{=}{0}}$$与$${{6}{x}{+}{8}{y}{+}{5}{=}{0}}$$上任意一点，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为（）
C
A.$$\frac{9} {5}$$
B.$$\frac{1 8} {5}$$
C.$$\frac{2 9} {1 0}$$
D.$$\frac{2 9} {5}$$
8、['两条平行直线间的距离']正确率60.0%两条平行线$${{1}{2}{x}{−}{5}{y}{+}{{1}{0}}{=}{0}}$$与$${{1}{2}{x}{−}{5}{y}{−}{{1}{6}}{=}{0}}$$的距离是（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{5}}$$
9、['双曲线的渐近线'， '两条平行直线间的距离']正确率40.0%已知双曲线$$C \colon\ {\frac{x^{2}} {a^{2}}}-{\frac{y^{2}} {b^{2}}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$过点$${{(}{\sqrt {2}}{，}{2}{\sqrt {2}}{)}}$$，过点$${{(}{0}{，}{−}{2}{)}}$$的直线$${{ι}}$$与双曲线$${{C}}$$的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为$$\frac{2} {3}，$$则双曲线$${{C}}$$的实轴长为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
10、['两条平行直线间的距离']正确率60.0%若两平行直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{{2}^{a}}{=}{0}}$$与$${{3}{x}{+}{4}{y}{+}{1}{=}{0}}$$之间的距离为$${{1}}$$，则$${{a}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
首先计算平行直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 之间的距离。将两条直线化为一般式：
$$l_1: x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0$$
$$l_2: x - \sqrt{3}y + 3\sqrt{3} = 0$$
平行直线距离公式为 $$d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$，代入得：
$$d = \frac{|3\sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
设直线 $$m$$ 与 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 的夹角为 $$\theta$$，截得线段长为 $$\sqrt{6}$$，则：
$$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此 $$\theta = 45^\circ$$。直线 $$m$$ 的倾斜角为 $$l_1$$ 的倾斜角 $$\pm 45^\circ$$。$$l_1$$ 的斜率 $$k = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，倾斜角为 $$30^\circ$$，所以 $$m$$ 的倾斜角可能为 $$75^\circ$$ 或 $$135^\circ$$。
答案为 B、C。
2. 解析：
两条直线平行，斜率相等：
$$\frac{3}{1} = \frac{a}{1} \Rightarrow a = 3$$
距离公式为 $$d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$，代入得：
$$d = \frac{|4 - 3|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$
但题目中 $$a = 3$$ 时 $$d = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，但选项中有 $$a = -3$$ 时 $$d = \frac{\sqrt{10}}{10}$$ 也是可能的（直线为 $$-3x - y + 4 = 0$$ 与 $$3x - y + 3 = 0$$ 平行）。
进一步验证 $$a = -3$$ 时两条直线为 $$3x - y - 4 = 0$$ 和 $$3x - y + 3 = 0$$，距离为 $$d = \frac{7}{\sqrt{10}}$$，不符合。因此只有 $$a = 3$$ 正确。
答案为 B。
3. 解析：
将 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 化为相同形式：
$$l_1: 2x - y + 1 = 0$$
$$l_2: 4x - 2y + 7 = 0 \Rightarrow 2x - y + 3.5 = 0$$
距离公式为 $$d = \frac{|3.5 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2.5}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
答案为 A。
4. 解析：
两条直线平行，斜率相等：
$$\frac{2}{1} = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 6$$
距离公式为 $$d = \frac{|4 - 3 \times 3|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{5}{\sqrt{13}}}$$，但选项中没有此结果。
重新检查题目，可能 $$a = -6$$ 时直线为 $$-6x - 3y + 4 = 0$$ 即 $$6x + 3y - 4 = 0$$，与 $$2x - y + 3 = 0$$ 不平行。因此原问题可能有误。
若题目为 $$2x - y + 3 = 0$$ 和 $$6x - 3y + 4 = 0$$，距离为 $$d = \frac{|4 - 9|}{\sqrt{36 + 9}} = \frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}}$$。
答案为 B。
5. 解析：
两条直线平行，系数成比例：
$$\frac{1}{a - 2} = \frac{a}{3} \Rightarrow 3 = a(a - 2) \Rightarrow a^2 - 2a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 \text{ 或 } a = -1$$
当 $$a = 3$$ 时，直线为 $$l_1: x + 3y + 6 = 0$$ 和 $$l_2: x + 3y + 6 = 0$$，重合，距离为 0，不符合。
当 $$a = -1$$ 时，直线为 $$l_1: x - y + 6 = 0$$ 和 $$l_2: -3x + 3y - 2 = 0 \Rightarrow x - y + \frac{2}{3} = 0$$。
距离为 $$d = \frac{|6 - \frac{2}{3}|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{\frac{16}{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}}$$。
答案为 B。
6. 解析：
总可能点数为 $$3 \times 4 = 12$$。点 $$(a, b)$$ 需满足 $$-2 < 2a - b < 3$$。
枚举所有组合：
$$a = -1$$ 时，$$b$$ 需满足 $$0 < b < 5$$，即 $$b = 4$$（1 种）。
$$a = 2$$ 时，$$b$$ 需满足 $$1 < b < 7$$，即 $$b = 4, 6$$（2 种）。
$$a = 3$$ 时，$$b$$ 需满足 $$4 < b < 9$$，即 $$b = 6, 7$$（2 种）。
共 5 种满足条件的点，概率为 $$\frac{5}{12}$$。
答案为 D。
7. 解析：
两条直线平行，化为相同形式：
$$l_1: 3x + 4y - 12 = 0$$
$$l_2: 6x + 8y + 5 = 0 \Rightarrow 3x + 4y + 2.5 = 0$$
距离公式为 $$d = \frac{|2.5 - (-12)|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{14.5}{5} = \frac{29}{10}}$$。
答案为 C。
8. 解析：
两条直线平行，距离公式为：
$$d = \frac{| -16 - 10 |}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{26}{13} = 2$$。
答案为 C。
9. 解析：
双曲线过点 $$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$$，代入得：
$$\frac{2}{a^2} - \frac{8}{b^2} = 1$$。
渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，直线 $$l$$ 与渐近线平行，斜率为 $$\frac{b}{a}$$。
直线 $$l$$ 过 $$(0, -2)$$，方程为 $$y = \frac{b}{a}x - 2$$。
距离公式为 $$\frac{| -2 |}{\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2 + 1}} = \frac{2}{3}$$，解得 $$\frac{b}{a} = 2$$。
代入双曲线方程得 $$\frac{2}{a^2} - \frac{8}{4a^2} = 1 \Rightarrow a = 1$$，实轴长为 $$2a = 2$$。
答案为 A。
10. 解析：
两条直线平行，距离公式为：
$$d = \frac{|1 - (-2^a)|}{5} = 1 \Rightarrow |1 + 2^a| = 5$$。
解得 $$2^a = 4$$ 或 $$2^a = -6$$（舍去），故 $$a = 2$$。
答案为 C。