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正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$上的点$${{P}}$$到直线$$x+2 y=9=0$$的最短距离为（）
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$$\frac{7 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{9 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{1 3 \sqrt{5}} {5}$$
2、['点到直线的距离'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '直线与圆相交']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$：$$x-\sqrt{3} y-a=0$$与圆$${{C}}$$：$$( x-3 )^{2}+( y+\sqrt{3} )^{2}=4$$交于$${{M}{，}{N}}$$两点，点$${{P}}$$在圆$${{C}}$$上，且$$\angle M P N=\frac{\pi} {3}，$$则实数$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$或$${{1}{0}}$$
B.$${{4}}$$或$${{8}}$$
C.$${{6}{±}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{6}{±}{2}{\sqrt {3}}}$$
3、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的焦距为$${{2}{\sqrt {6}}}$$，一条渐近线为$${{l}}$$，且点$$( {\bf1}， \enspace0 )$$到$${{l}}$$的距离为$$\frac{\sqrt6} {3}，$$则双曲线的方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$
4、['点到直线的距离'， '直线与圆相交'， '圆中的对称问题']正确率40.0%直线$$l \colon~ k x+y+4=0 ~ ( ~ k \in R )$$是圆$$C \colon~ x^{2}+y^{2}+4 x-4 y+6=0$$的一条对称轴，过点$$A ~ ( 0， ~ k )$$作斜率为$${{1}}$$的直线$${{m}}$$，则直线$${{m}}$$被圆$${{C}}$$所截得的弦长为（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
5、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']正确率60.0%已知$${{l}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2} \!=\! 1$$的一条渐近线，则$${{l}}$$与圆$$\left( x-4 \right)^{2}+y^{2}=1 2$$的位置关系为
B
A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相切( )
6、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$${{C}}$$的中心为原点，点$$F ( \sqrt{2}， 0 )$$是双曲线$${{C}}$$的一个焦点，点$${{F}}$$到渐近线的距离为$${{1}}$$，则$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$x^{2}-y^{2}=1$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
7、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']正确率40.0%若直线$$x-y+a=0$$与圆$$x^{2}+y^{2}=2$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\angle A O B=1 2 0^{\circ} \backslash O$$为原点$${{)}}$$，则$${{|}{a}{|}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
8、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线和圆相切']正确率40.0%由直线$$y=x+1$$上的一点$${{P}}$$向圆$$C \colon( \mathrm{~ x-3 ~} )^{\mathrm{~ 2}}+y^{2}=1$$引切线，切点分别为$${{A}{，}{B}}$$，则四边形$${{P}{A}{C}{B}}$$面积的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {7}}$$
D.$${{3}}$$
10、['点到直线的距离']正确率80.0%已知点$$( 3， M )$$到直线$$x+\sqrt{3} y-4=0$$的距离等于$${{1}}$$，则$${{m}}$$等于$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$或$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
1. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$$ 上的点 $$P$$ 到直线 $$x+2y-9=0$$ 的最短距离。
设椭圆参数方程：$$x=2\cos\theta$$，$$y=\sqrt{3}\sin\theta$$，点 $$P(2\cos\theta,\sqrt{3}\sin\theta)$$。
距离公式：$$d=\frac{|2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta-9|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{|2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta-9|}{\sqrt{5}}$$。
令 $$f(\theta)=2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta$$，最大值 $$=\sqrt{(2)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=4$$，最小值 $$=-4$$。
代入得 $$d_{\text{min}}=\frac{| -4-9 |}{\sqrt{5}}=\frac{13}{\sqrt{5}}=\frac{13\sqrt{5}}{5}$$。
答案：D
2. 直线 $$l: x-\sqrt{3}y-a=0$$ 与圆 $$C: (x-3)^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}=4$$ 交于 $$M,N$$，点 $$P$$ 在圆上且 $$\angle MPN=\frac{\pi}{3}$$，求 $$a$$。
圆心 $$O(3,-\sqrt{3})$$，半径 $$r=2$$。
$$\angle MPN=\frac{\pi}{3}$$ 说明弦 $$MN$$ 对应圆心角 $$\frac{2\pi}{3}$$，弦长 $$|MN|=2r\sin\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}$$。
直线到圆心距离：$$d=\frac{|3-\sqrt{3}(-\sqrt{3})-a|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=\frac{|3+3-a|}{2}=\frac{|6-a|}{2}$$。
弦长公式：$$|MN|=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{4-\frac{(6-a)^{2}}{4}}=2\sqrt{3}$$。
解得 $$\frac{(6-a)^{2}}{4}=1$$，即 $$(6-a)^{2}=4$$，$$a=4$$ 或 $$a=8$$。
答案：B
3. 双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，焦距 $$2c=2\sqrt{6}$$，故 $$c=\sqrt{6}$$。
渐近线 $$l: y=\pm\frac{b}{a}x$$，点 $$(1,0)$$ 到 $$l$$ 距离 $$\frac{|b\cdot1|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{b}{c}=\frac{b}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$，解得 $$b=2$$。
由 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$ 得 $$a^{2}=6-4=2$$。
双曲线方程：$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$$。
答案：C
4. 直线 $$l: kx+y+4=0$$ 是圆 $$C: x^{2}+y^{2}+4x-4y+6=0$$ 的对称轴，故过圆心。
圆心 $$(-2,2)$$，代入直线：$$-2k+2+4=0$$，解得 $$k=3$$。
点 $$A(0,3)$$，直线 $$m: y=x+3$$。
圆心到直线距离：$$d=\frac{|-2-2+3|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$。
半径 $$r=\sqrt{4+4-6}=\sqrt{2}$$。
弦长 $$=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$$。
答案：C
5. 双曲线 $$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$$ 的渐近线 $$l: y=\pm\sqrt{3}x$$。
圆 $$(x-4)^{2}+y^{2}=12$$，圆心 $$(4,0)$$，半径 $$r=2\sqrt{3}$$。
圆心到直线 $$y=\sqrt{3}x$$ 的距离：$$d=\frac{|\sqrt{3}\cdot4-0|}{\sqrt{3+1}}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}=r$$。
故相切。
答案：B
6. 双曲线中心为原点，焦点 $$F(\sqrt{2},0)$$，故 $$c=\sqrt{2}$$，焦点在 x 轴。
渐近线 $$y=\pm\frac{b}{a}x$$，点 $$F$$ 到渐近线距离 $$\frac{|b\cdot\sqrt{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{2}b}{c}=\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{2}}=b=1$$。
由 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$ 得 $$a^{2}=2-1=1$$。
双曲线方程：$$x^{2}-\frac{y^{2}}{1}=1$$。
答案：A
7. 直线 $$x-y+a=0$$ 与圆 $$x^{2}+y^{2}=2$$ 相交，$$\angle AOB=120^{\circ}$$。
圆心 $$(0,0)$$，半径 $$r=\sqrt{2}$$。
弦 $$AB$$ 对应圆心角 $$120^{\circ}$$，弦长 $$|AB|=2r\sin60^{\circ}=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$$。
圆心到直线距离 $$d=\frac{|a|}{\sqrt{2}}$$。
弦长公式：$$|AB|=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{2-\frac{a^{2}}{2}}=\sqrt{6}$$。
解得 $$\frac{a^{2}}{2}=\frac{1}{2}$$，故 $$|a|=1$$。
答案：A
8. 点 $$P$$ 在直线 $$y=x+1$$ 上，向圆 $$C: (x-3)^{2}+y^{2}=1$$ 引切线，切点 $$A,B$$，求四边形 $$PACB$$ 面积最小值。
圆心 $$C(3,0)$$，半径 $$r=1$$。
四边形面积 $$S=2\times\frac{1}{2}|PA|\cdot r=|PA|\cdot1=|PA|$$。
$$|PA|=\sqrt{|PC|^{2}-r^{2}}$$，故最小化 $$|PC|$$。
设 $$P(t,t+1)$$，则 $$|PC|^{2}=(t-3)^{2}+(t+1)^{2}=2t^{2}-4t+10$$。
最小值在 $$t=1$$ 时，$$|PC|^{2}=2-4+10=8$$，$$|PA|=\sqrt{8-1}=\sqrt{7}$$。
面积最小值 $$\sqrt{7}$$。
答案：C
10. 点 $$(3,m)$$ 到直线 $$x+\sqrt{3}y-4=0$$ 的距离为 1。
距离公式：$$\frac{|3+\sqrt{3}m-4|}{\sqrt{1+3}}=1$$，即 $$\frac{|\sqrt{3}m-1|}{2}=1$$。
故 $$|\sqrt{3}m-1|=2$$，解得 $$\sqrt{3}m=3$$ 或 $$\sqrt{3}m=-1$$，即 $$m=\sqrt{3}$$ 或 $$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
答案：D