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正确率19.999999999999996%过点$$M \left( \begin{matrix} {2，} & {-p} \\ \end{matrix} \right)$$作抛物线$$x^{2}=2 p y \ ( p > 0 )$$的两条切线，切点分别为$${{A}{，}{B}}$$，若线段$${{A}{B}}$$的中点的纵坐标为$${{5}}$$，则$${{p}}$$的值是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{1}}$$或$${{2}}$$
D.$${{1}}$$或$${{4}}$$
2、['平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '两条直线垂直']正确率60.0%数学家欧拉提出并证明了$${{“}}$$三角形的外心$${、}$$重心$${、}$$垂心共线$${{”}}$$.这条直线称为该三角形的欧拉线，已知非等边$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点$$A (-1，-1 )， \， \， \， B ( 2， 1 )$$，且$$C A=C B$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的欧拉线的方程为$${{(}{)}}$$
D
A.$$4 x-6 y-2=0$$
B.$$6 x-4 y-3=0$$
C.$$4 x+6 y-2=0$$
D.$$6 x+4 y-3=0$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$右焦点$${{F}}$$作渐近线的垂线．设垂足为$${{P}{（}{P}}$$为第一象限的点），延长$${{F}{P}}$$交抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$于点$${{Q}}$$，其中该抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，若$${{P}}$$为$${{F}{Q}}$$中点，则双曲线的离心率的平方为（）
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$$\sqrt{5}+1$$
D.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
4、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '两直线的交点坐标'， '直线的两点式方程'， '两条直线垂直'， '直线的一般式方程及应用']正确率40.0%已知直线$$\l_{1} \colon~ x-y-2=0$$与直线$${{l}_{2}}$$关于直线$$l \mathbf{，} ~ 2 x-y-4=0$$对称，则直线$${{l}_{2}}$$的方程为（）
B
A.$$7 x+y-1 4=0$$
B.$$7 x-y-1 4=0$$
C.$$3 x-2 y-6=0$$
D.$${{x}{=}{2}}$$
5、['平面上中点坐标公式'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率60.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {9} \!=\! 1$$的弦被点$$( 2， 2 )$$平分，则这条弦所在的直线的方程是（）
B
A.$$x \!+\! 4 y \!=\! 0$$
B.$$x \!+\! 4 y \!-\! 1 0 \!=\! 0$$
C.$$x+4 y-6=0$$
D.$$x-4 y+6=0$$
6、['平面上中点坐标公式'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%点$$P ( 4，-2 )$$与圆$$x^{2} \!+\! y^{2} \!=\! 4$$上任一点连线的中点轨迹方程是（）
A
A.$$( x-2 )^{2} \!+\! ( y+1 )^{2} \!=\! 1$$
B.$$( x-2 )^{2} \!+\! ( y+1 )^{2} \!=\! 4$$
C.$$( x+4 )^{2} \!+\! ( y \!-\! 2 )^{2} \!=\! 1$$
D.$$( x+2 )^{2} \!+\! ( y \!-\! 1 )^{2} \!=\! 1$$
7、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线方程为$$y^{2}=4 x$$，则过其顶点的弦中，其中点的轨迹方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$y^{2}=2 x \left( x \neq0 \right)$$
B.$$y^{2}=2 x$$
C.$$y^{2}=x \left( x \neq0 \right)$$
D.$${{y}^{2}{=}{x}}$$
8、['一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知双曲线$$m x^{2}-n y^{2}=1$$与直线$$y=1+2 x$$交于$${{M}{，}{N}}$$两点，过原点与线段$${{M}{N}}$$中点所在直线的斜率为$$\frac{\sqrt3} {2}$$，则$$\frac{m} {n}$$的值是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
9、['两点间的距离'， '平面上中点坐标公式']正确率80.0%点$$P ( 2，-3 )$$到其关于$$M ( 4， 1 )$$的对称点$$P^{'}$$的距离是（）
D
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{4}{0}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
10、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为$$x^{2}+y^{2} \leq3$$，若将军从点$$A \， ( 3， 1 )$$处出发，河岸线所在直线方程为$$x+y=5$$，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为$${{(}{)}{.}}$$
C
A.$$\sqrt{1 0}-\sqrt{3}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
1. 设抛物线的切线方程为 $$y = kx + c$$。由于切线过点 $$M(2, -p)$$，有 $$-p = 2k + c$$。将切线方程代入抛物线 $$x^2 = 2py$$，得到 $$x^2 = 2p(kx + c)$$，即 $$x^2 - 2pkx - 2pc = 0$$。因为相切，判别式为零：$$(2pk)^2 + 8pc = 0$$，化简得 $$4p^2k^2 + 8pc = 0$$，即 $$pk^2 + 2c = 0$$。结合 $$c = -p - 2k$$，代入得 $$pk^2 + 2(-p - 2k) = 0$$，即 $$pk^2 - 2p - 4k = 0$$。设切点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，由抛物线性质，切点坐标为 $$(pk, \frac{pk^2}{2})$$。因为 $$AB$$ 中点的纵坐标为 5，所以 $$\frac{y_1 + y_2}{2} = 5$$，即 $$\frac{pk_1^2 + pk_2^2}{4} = 5$$。由 $$pk^2 - 2p - 4k = 0$$ 的两个解 $$k_1$$ 和 $$k_2$$，根据韦达定理，$$k_1 + k_2 = \frac{4}{p}$$，$$k_1k_2 = -2$$。代入得 $$\frac{p(k_1^2 + k_2^2)}{4} = 5$$，即 $$\frac{p[(k_1 + k_2)^2 - 2k_1k_2]}{4} = 5$$，解得 $$p = 4$$。答案为 B。
3. 双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，右焦点 $$F(c, 0)$$。垂线方程为 $$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$，与渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$ 的交点 $$P$$ 为 $$(\frac{a^2c}{a^2 + b^2}, \frac{abc}{a^2 + b^2})$$。因为 $$P$$ 是 $$FQ$$ 的中点，$$Q$$ 的坐标为 $$(2x_P - c, 2y_P)$$。$$Q$$ 在抛物线 $$y^2 = 2px$$ 上，代入得 $$4y_P^2 = 2p(2x_P - c)$$。由抛物线焦点与双曲线右焦点重合，$$p = 2c$$。化简得 $$4(\frac{abc}{a^2 + b^2})^2 = 4c(\frac{2a^2c}{a^2 + b^2} - c)$$，解得 $$e^2 = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$。答案为 D。
5. 设弦两端点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点为 $$(2, 2)$$。由椭圆性质，$$\frac{x_1^2}{36} + \frac{y_1^2}{9} = 1$$ 和 $$\frac{x_2^2}{36} + \frac{y_2^2}{9} = 1$$，相减得 $$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{36} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{9} = 0$$。代入中点坐标，斜率为 $$-\frac{1}{4}$$，直线方程为 $$x + 4y - 10 = 0$$。答案为 B。
7. 设弦两端点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点为 $$(x, y)$$。由抛物线性质，$$y_1^2 = 4x_1$$ 和 $$y_2^2 = 4x_2$$，相减得 $$(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 4(x_1 - x_2)$$。因为 $$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$，斜率为 $$\frac{2}{y}$$，轨迹方程为 $$y^2 = 2x$$（除去顶点）。答案为 A。
9. 对称点 $$P'$$ 的坐标为 $$(6, 5)$$，距离为 $$\sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$。答案为 D。