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正确率19.999999999999996%已知三条直线$${{l}_{1}}$$：$${{m}{x}{+}{n}{y}{=}{0}{，}{{l}_{2}}}$$：$${{n}{x}{−}{m}{y}{+}{3}{m}{−}{n}{=}{0}{，}{{l}_{3}}}$$：$${{a}{x}{+}{b}{y}{+}{c}{=}{0}{，}}$$其中$${{m}{，}{n}{，}{a}{，}{b}{，}{c}}$$为实数，$${{m}{，}{n}}$$不同时为零$${，{a}{，}{b}{，}{c}}$$不同时为零，且$${{a}{+}{c}{=}{2}{b}}$$．设直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$交于点$${{P}{，}}$$则点$${{P}}$$到直线$${{l}_{3}}$$的距离的最大值是（）
D
A.$$\sqrt{1 0}+\frac{5 \sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}+\frac{\sqrt{5 8}} {2}$$
C.$$\sqrt{1 0}+\frac{\sqrt{5 8}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}+\frac{5 \sqrt2} {2}$$
2、['两直线的交点坐标'， '两条直线垂直']正确率60.0%过直线$${{x}{+}{y}{−}{3}{=}{0}{和}{2}{x}{−}{y}{=}{0}}$$的交点，且与直线$${{2}{x}{+}{y}{−}{5}{=}{0}}$$垂直的直线方程是（）
D
A.$${{4}{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$
B.$${{4}{x}{−}{2}{y}{+}{3}{=}{0}}$$
C.$${{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$
D.$${{x}{−}{2}{y}{+}{3}{=}{0}}$$
3、['交集'， '两直线的交点坐标']正确率60.0%已知集合$${{A}{=}{\{}{(}{x}{，}{y}{)}{|}{x}{+}{y}{+}{1}{=}{0}{\}}{，}{B}{=}{\{}{(}{x}{，}{y}{)}{|}{3}{x}{−}{4}{y}{−}{{1}{1}}{=}{0}{\}}}$$，则$${{A}{∩}{B}}$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${{\{}{(}{−}{1}{，}{2}{)}{\}}}$$
B.$${{\{}{1}{，}{−}{2}{)}}$$
C.$${{∅}}$$
D.$${{\{}{(}{1}{，}{−}{2}{)}{\}}}$$
4、['两直线的交点坐标']正确率60.0%若三条直线$${{l}_{1}{：}{a}{+}{2}{y}{+}{6}{=}{0}{，}{{l}_{2}}{:}{x}{+}{y}{−}{4}{=}{0}{;}{{l}_{3}}{:}{2}{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}}$$相交于同一点，则实数$${{a}{=}}$$
D
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{−}{{1}{0}}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{−}{{1}{2}}}$$
5、['两直线的交点坐标'， '列举法']正确率80.0%若集合$$D=\{( x， y ) | \left\{{2 x-y=1 \atop x+4 y=5} \right.， x \in\mathbf{R}， y \in\mathbf{R} \}$$，则集合$${{D}}$$用列举法表示为（）
B
A.$${{\{}{1}{，}{1}{\}}}$$
B.$${{\{}{(}{1}{，}{1}{)}{\}}}$$
C.$${{\{}{2}{，}{3}{\}}}$$
D.$${{\{}{(}{2}{，}{3}{)}{\}}}$$
6、['平面上中点坐标公式'， '两直线的交点坐标'， '反函数的性质']正确率60.0%已知$${{x}_{1}}$$是方程$${{l}{o}{g}_{a}{x}{+}{x}{=}{{2}{0}{1}{8}}{(}{a}{>}{0}{，}{a}{≠}{1}{)}}$$的根，$${{x}_{2}}$$是方程$${{a}^{x}{+}{x}{=}{{2}{0}{1}{8}}{(}{a}{>}{0}{，}{a}{≠}{1}{)}}$$的根，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的值为
C
A.$${{2}{0}{1}{6}}$$
B.$${{2}{0}{1}{7}}$$
C.$${{2}{0}{1}{8}}$$
D.$${{1}{0}{0}{9}}$$
7、['两直线的交点坐标']正确率80.0%直线$${{x}{−}{y}{+}{2}{=}{0}}$$与$${{x}{+}{y}{−}{2}{=}{0}}$$的交点坐标是（）
A
A.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{0}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
8、['两直线的交点坐标']正确率80.0%直线$${{k}{x}{−}{y}{−}{1}{=}{0}}$$与直线$${{x}{+}{2}{y}{−}{2}{=}{0}}$$的交点在第四象限，则实数$${{k}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} )$$
B.$$(-\frac{1} {2}， 0 )$$
C.$$( \frac{1} {2}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-\frac{1} {2} )$$
9、['两直线的交点坐标'， '直线的一般式方程及应用']正确率80.0%已知直线$${{l}}$$被两条直线$${{l}_{1}}$$：$${{4}{x}{+}{y}{+}{3}{=}{0}}$$和$${{l}_{2}}$$：$${{3}{x}{−}{5}{y}{−}{5}{=}{0}}$$截得的线段的中点为$${{P}{(}{−}{1}{，}{2}{)}}$$，则直线$${{l}}$$的一般式方程为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{x}{−}{y}{+}{5}{=}{0}}$$
B.$${{3}{x}{+}{y}{+}{1}{=}{0}}$$
C.$${{x}{−}{3}{y}{+}{7}{=}{0}}$$
D.$${{x}{+}{3}{y}{−}{5}{=}{0}}$$
10、['两直线的交点坐标']正确率40.0%方程$${{y}{=}{a}{|}{x}{|}}$$和$${{y}{=}{x}{+}{a}{(}{a}{>}{0}{)}}$$所确定的曲线有两个交点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{a}{>}{1}}$$
B.$${{0}{<}{a}{<}{1}}$$
C.$${{∅}}$$
D.$${{0}{<}{a}{<}{1}}$$或$${{a}{>}{1}}$$
1. 首先求直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 的交点 $$P$$。解方程组： $$mx + ny = 0$$ $$nx - my + 3m - n = 0$$ 解得 $$P$$ 的坐标为 $$(x, y) = \left(\frac{-3m^2 + mn}{m^2 + n^2}, \frac{3mn - n^2}{m^2 + n^2}\right)$$。
由条件 $$a + c = 2b$$，直线 $$l_3$$ 可表示为 $$ax + by + (2b - a) = 0$$。点 $$P$$ 到 $$l_3$$ 的距离为： $$d = \frac{|a x + b y + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|a x + b y + (2b - a)|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
将 $$P$$ 的坐标代入，化简后利用极值法或几何意义分析，可得最大距离为 $$\sqrt{10} + \frac{5\sqrt{2}}{2}$$。故选 A。
2. 先求直线 $$x + y - 3 = 0$$ 和 $$2x - y = 0$$ 的交点，解得 $$(1, 2)$$。与直线 $$2x + y - 5 = 0$$ 垂直的直线斜率为 $$\frac{1}{2}$$，其方程为 $$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$$，即 $$x - 2y + 3 = 0$$。故选 D。
3. 解方程组： $$x + y + 1 = 0$$ $$3x - 4y - 11 = 0$$ 解得唯一解 $$(1, -2)$$。因此 $$A \cap B = \{(1, -2)\}$$。故选 D。
4. 先求 $$l_2$$ 和 $$l_3$$ 的交点，解方程组： $$x + y - 4 = 0$$ $$2x - y + 1 = 0$$ 得交点 $$(1, 3)$$。将 $$(1, 3)$$ 代入 $$l_1$$ 的方程 $$a + 2 \times 3 + 6 = 0$$，解得 $$a = -12$$。故选 D。
5. 解方程组： $$2x - y = 1$$ $$x + 4y = 5$$ 得唯一解 $$(1, 1)$$。因此集合 $$D = \{(1, 1)\}$$。故选 B。
6. 设 $$x_1$$ 满足 $$\log_a x_1 + x_1 = 2018$$，即 $$x_1 = a^{2018 - x_1}$$。设 $$x_2$$ 满足 $$a^{x_2} + x_2 = 2018$$。观察可知 $$x_1$$ 和 $$2018 - x_2$$ 满足同一关系，故 $$x_1 + x_2 = 2018$$。故选 C。
7. 解方程组： $$x - y + 2 = 0$$ $$x + y - 2 = 0$$ 得交点 $$(0, 2)$$。故选 A。
8. 解方程组： $$kx - y - 1 = 0$$ $$x + 2y - 2 = 0$$ 得交点 $$\left(\frac{4}{2k + 1}, \frac{2k - 1}{2k + 1}\right)$$。要求在第四象限，即 $$\frac{4}{2k + 1} > 0$$ 且 $$\frac{2k - 1}{2k + 1} < 0$$，解得 $$k \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$。故选 A。
9. 设直线 $$l$$ 与 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 的交点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，由中点条件： $$\frac{x_1 + x_2}{2} = -1$$ $$\frac{y_1 + y_2}{2} = 2$$ 解得 $$x_2 = -2 - x_1$$，$$y_2 = 4 - y_1$$。将 $$(x_1, y_1)$$ 代入 $$l_1$$，$$(x_2, y_2)$$ 代入 $$l_2$$，联立解得 $$(x_1, y_1) = (-2, 5)$$。直线 $$l$$ 过 $$(-2, 5)$$ 和 $$(-1, 2)$$，其方程为 $$3x + y + 1 = 0$$。故选 B。
10. 曲线 $$y = a|x|$$ 和 $$y = x + a$$ 的交点需满足 $$a|x| = x + a$$。分情况讨论： - 当 $$x \geq 0$$ 时，$$(a - 1)x = a$$，要求 $$a \neq 1$$ 且 $$x = \frac{a}{a - 1} > 0$$，解得 $$a > 1$$。 - 当 $$x < 0$$ 时，$$(a + 1)x = -a$$，要求 $$a + 1 \neq 0$$ 且 $$x = \frac{-a}{a + 1} < 0$$，解得 $$a > 0$$ 且 $$a \neq -1$$。 综上，$$a > 1$$ 时有两个交点。故选 A。