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正确率40.0%在直角$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$是斜边$${{A}{C}}$$的中点，点$${{E}}$$为线段$${{B}{D}}$$上的一个动点，则$$\frac{\left| E A \right|^{2}+\left| E C \right|^{2}} {\left| E B \right|^{2}}$$的最小值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1 0} {9}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}{0}}$$
2、['正弦定理及其应用'， '两点间的距离'， '求曲线的方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B C=4， \， \， \， \operatorname{s i n} \， C=2 \operatorname{s i n} \， \， B$$，则当$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积取得最大值时，$$A C=( \textsubscript{\Lambda} )$$
D
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {3}$$
C.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{5}} {3}$$
3、['两点间的距离'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%已知$$A ( 5，-1 )$$，$$B ( 1， 1 )$$，$$C ( 2， 3 )$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
4、['点到直线的距离'， '两点间的距离']正确率60.0%已知实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$5 x+1 2 y=6 0$$，则$$\sqrt{x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{3 1} {1 3}$$
B.$$\frac{8 9} {1 3}$$
C.$${{1}{3}}$$
D.不存在
5、['两点间的距离'， '椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知椭圆$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， \， \， \， F_{2}， \， \， \， | F_{1} \， F_{2} |=2， \， \， \， T ( 3， 0 )$$，过$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}}$$交椭圆$${{E}}$$于点$${{M}}$$，若$$\left| M T \right|=\sqrt{3} \left| M F_{2} \right|，$$则椭圆$${{E}}$$的离心率的最小值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['两点间的距离'， '求曲线的方程']正确率40.0%已知两定点$$A ~ ( \textbf{-2， 0} ) ~， ~ B ~ ( \textbf{1， 0} )$$，若动点$${{P}}$$满足$$| P A |=2 | P B |$$，则$${{P}}$$的轨迹为（）
C
A.直线
B.线段
C.圆
D.半圆
7、['点到直线的距离'， '两点间的距离']正确率40.0%若点$$P ( m， n )$$在直线$$x+y-2=0$$上，则$${{m}^{2}{+}{{n}^{2}}}$$的最小值是
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}{6}}$$
8、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '两点间的距离']正确率60.0%点$$M \mathit{\Pi} ( \mathit{x}， \mathit{y} )$$满足关系式$$\sqrt{x^{2}+( y+3 )^{2}}+\sqrt{x^{2}+( y-3 )^{2}}=6.$$则点$${{M}}$$的轨迹是（）
D
A.椭圆
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.线段
9、['两点间的距离'， '圆的定义与标准方程'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率40.0%设抛物线$$C_{\colon} \， \， x^{2}=p y \， \， ( p > 0 )$$焦点为$${{F}}$$，点$${{M}}$$在$${{C}}$$上，且$$| M F |=3$$，若以$${{M}{F}}$$为直径的圆过点$$( \sqrt{2}， \ 0 )$$，则$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$x^{2}=4 y$$或$$x^{2}=8 y$$
B.$$x^{2}=2 y$$或$$x^{2}=4 y$$
C.$$x^{2}=4 y$$或$$x^{2}=1 6 y$$
D.$$x^{2}=2 y$$或$$x^{2}=1 6 y$$
10、['两点间的距离']正确率80.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个顶点的坐标分别为$$A ( 3， 4 )$$，$$B ( 5， 2 )$$，$$C (-1，-4 )$$，则这个三角形是$${{(}{)}}$$
B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
1. 在直角$$ΔABC$$中，设直角坐标系以$$B$$为原点，$$BA$$和$$BC$$分别为$$x$$轴和$$y$$轴。设$$A(a,0)$$，$$C(0,b)$$，则中点$$D$$坐标为$$\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$。点$$E$$在$$BD$$上，设$$E$$的参数为$$t$$，则$$E$$的坐标为$$\left(\frac{a t}{2}, \frac{b t}{2}\right)$$，其中$$0 \leq t \leq 1$$。计算表达式： $$\frac{|EA|^2 + |EC|^2}{|EB|^2} = \frac{\left(\frac{a t}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{b t}{2}\right)^2 + \left(\frac{a t}{2}\right)^2 + \left(\frac{b t}{2} - b\right)^2}{\left(\frac{a t}{2}\right)^2 + \left(\frac{b t}{2}\right)^2}$$ 化简后得到： $$\frac{a^2 (1 - t)^2 + b^2 (1 - t)^2 + a^2 t^2 + b^2 t^2}{a^2 t^2 + b^2 t^2} = \frac{2(a^2 + b^2)(t^2 - t + 1)}{(a^2 + b^2)t^2} = \frac{2(t^2 - t + 1)}{t^2}$$ 求导并令导数为零，得到最小值在$$t = 2$$时取得，但$$t \leq 1$$，因此在$$t = 1$$时取得最小值$$2$$。答案为$$C$$。
2. 在$$△ABC$$中，由正弦定理$$sin C = 2 sin B$$得$$c = 2b$$。设$$b = x$$，则$$c = 2x$$，$$BC = a = 4$$。面积公式为： $$S = \frac{1}{2} a b sin C = \frac{1}{2} \times 4 \times x \times 2 sin B = 4 x sin B$$ 由余弦定理： $$cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c} = \frac{16 + 4x^2 - x^2}{16 x} = \frac{16 + 3x^2}{16 x}$$ $$sin B = \sqrt{1 - cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{16 + 3x^2}{16 x}\right)^2}$$ 面积最大时，求导可得$$x = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$$，此时$$AC = b = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$$。答案为$$D$$。
3. 计算向量： $$AB = (1 - 5, 1 - (-1)) = (-4, 2)$$ $$AC = (2 - 5, 3 - (-1)) = (-3, 4)$$ $$BC = (2 - 1, 3 - 1) = (1, 2)$$ 点积： $$AB \cdot AC = (-4)(-3) + 2 \times 4 = 20 > 0$$ $$AB \cdot BC = (-4)(1) + 2 \times 2 = 0$$ $$AC \cdot BC = (-3)(1) + 4 \times 2 = 5 > 0$$ 因为$$AB \cdot BC = 0$$，说明$$AB$$与$$BC$$垂直，故$$△ABC$$为直角三角形。答案为$$A$$。
4. 表达式$$\sqrt{x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5}$$可化简为$$\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}$$，表示点$$(x, y)$$到点$$(1, 2)$$的距离。约束条件为$$5x + 12y = 60$$，求点到直线的距离： $$d = \frac{|5 \times 1 + 12 \times 2 - 60|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{31}{13}$$ 答案为$$A$$。
5. 椭圆$$E$$的焦距$$2c = 2$$，故$$c = 1$$。设$$M(x, y)$$在椭圆上，满足$$\left| M T \right| = \sqrt{3} \left| M F_2 \right|$$，即： $$\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = \sqrt{3} \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$$ 平方后化简得： $$(x - 3)^2 + y^2 = 3[(x - 1)^2 + y^2]$$ 解得$$x^2 + y^2 = 3$$。结合椭圆方程$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，离心率$$e = \frac{c}{a}$$最小值为$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。答案为$$D$$。
6. 设$$P(x, y)$$，由$$|PA| = 2|PB|$$得： $$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$$ 平方后化简得： $$(x + 2)^2 + y^2 = 4[(x - 1)^2 + y^2]$$ 整理得$$x^2 - 4x + y^2 = 0$$，即$$(x - 2)^2 + y^2 = 4$$，表示一个圆。答案为$$C$$。
7. 点$$P(m, n)$$在直线$$x + y - 2 = 0$$上，$$m + n = 2$$。求$$m^2 + n^2$$的最小值，利用不等式： $$m^2 + n^2 \geq \frac{(m + n)^2}{2} = 2$$ 当$$m = n = 1$$时取等。答案为$$B$$。
8. 关系式$$\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} + \sqrt{x^2 + (y - 3)^2} = 6$$表示点$$M$$到两点$$(0, -3)$$和$$(0, 3)$$的距离之和为6，等于两点间的距离，故轨迹为线段。答案为$$D$$。
9. 抛物线$$C: x^2 = p y$$，焦点$$F(0, \frac{p}{4})$$。设$$M(x, \frac{x^2}{p})$$，由$$|MF| = 3$$得： $$\sqrt{x^2 + \left(\frac{x^2}{p} - \frac{p}{4}\right)^2} = 3$$ 圆以$$MF$$为直径，过点$$(\sqrt{2}, 0)$$，代入得： $$(\sqrt{2} - 0)^2 + \left(0 - \frac{\frac{x^2}{p} + \frac{p}{4}}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2$$ 解得$$p = 4$$或$$p = 8$$。答案为$$A$$。
10. 计算边长： $$AB = \sqrt{(5 - 3)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{8}$$ $$AC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{80}$$ $$BC = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{72}$$ 检查勾股定理： $$AB^2 + BC^2 = 8 + 72 = 80 = AC^2$$ 故$$△ABC$$为直角三角形。答案为$$B$$。