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正确率40.0%已知$${{F}_{1}}$$是双曲线$$C \colon~ \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}} {=} 1 ( a {>} 0， b {>} 0 )$$的左焦点，点$${{B}}$$的坐标为$$( 0， b )$$，直线$${{F}_{1}{B}}$$与双曲线$${{C}}$$的两条渐近线分别交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，若$$\overrightarrow{Q P}=4 \overrightarrow{P F_{1}}，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$${{2}}$$
2、['两直线的交点坐标']正确率60.0%已知直线$$k x-y=k-1$$与直线$$k y-x=2 k$$的交点在第二象限，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left( 0， \ \frac{1} {2} \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {2}， \， 1 \right)$$
C.$$( 0， \ 1 )$$
D.$${{\{}{−}{1}{\}}}$$
3、['直线中的对称问题'， '两直线的交点坐标']正确率60.0%直线$$3 x-4 y+5=0$$关于直线$$x+y=0$$对称的直线方程为（）
D
A.$$4 x-3 y-5=0$$
B.$$4 x+3 y+5=0$$
C.$$4 x+3 y-5=0$$
D.$$4 x-3 y+5=0$$
4、['两直线的交点坐标'， '两条直线平行']正确率60.0%经过两直线$${{l}_{1}}$$：$$x-2 y+4=0$$和$${{l}_{2}}$$：$$x+y-2=0$$的交点$${{P}{，}}$$且与直线$${{l}_{3}}$$：$$3 x-4 y+5=0$$平行的直线$${{l}}$$的方程为（）
A
A.$$3 x-4 y+8=0$$
B.$$3 x-4 y+6=0$$
C.$$4 x+3 y-6=0$$
D.$$4 x+3 y+6=0$$
5、['直线系方程'， '两直线的交点坐标'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%过直线$${{l}_{1}}$$：$$x-3 y+4=0$$和$${{l}_{2}}$$：$$2 x+y+5=0$$的交点，且过原点的直线方程为（）
D
A.$$1 9 x-9 y=0$$
B.$$9 x+1 9 y=0$$
C.$$1 9 x-3 y=0$$
D.$$3 x+1 9 y=0$$
6、['两点间的距离'， '直线系方程'， '两直线的交点坐标']正确率40.0%过点$$P (-3， 0 )$$作直线$$2 a x+( a+b ) y+2 b=0 ( a， b )$$不同时为零)的垂线，垂足为$${{M}}$$，已知点$$N ( 2， 3 )$$，则当$${{a}{，}{b}}$$变化时，$${{|}{M}{N}{|}}$$的取值范围为（）
C
A.$$[ 5， 5+\sqrt{5} ]$$
B.$$[ 5-\sqrt{5}， 5 ]$$
C.$$[ 5-\sqrt{5}， 5+\sqrt{5} ]$$
D.$$[ 0， 5+\sqrt{5} ]$$
7、['双曲线的渐近线'， '圆的定义与标准方程'， '两直线的交点坐标'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知$${{O}}$$是坐标原点，$${{F}}$$是双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \， 3 a=4 b > 0 )$$的左焦点，过$${{F}}$$作斜率为$$\boldsymbol{k} \left( \boldsymbol{k} > 0 \right)$$的直线$${{l}}$$与双曲线渐近线相交于点$${{A}{，}{A}}$$在第一象限且$$| O A |=| O F |$$，则$${{k}}$$等于（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
8、['两直线的交点坐标'， '两条直线垂直']正确率60.0%已知点$$M ( 0，-1 )，$$点$${{N}}$$在直线$$x-y+1=0$$上，若直线$${{M}{N}}$$垂直于直线$$x+2 y-3=0，$$则点$${{N}}$$的坐标是 （）
B
A.$$(-2，-1 )$$
B.$$( 2， 3 )$$
C.$$( 2， 1 )$$
D.$$(-2， 1 )$$
9、['两直线的交点坐标'， '两条直线平行'， '直线方程的综合应用']正确率40.0%已知三条直线$$l_{1} : y=x+1$$，$$l_{2} : y=-2 x+4$$，$$l_{3} : m x+y+1=0$$不能围成三角形，则实数$${{m}}$$的取值集合为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\{1，-2 \}$$
B.$$\{1，-2， 3 \}$$
C.$$\{-1， 2，-3 \}$$
D.$$\{-1， 2 \}$$
10、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '平面上中点坐标公式'， '两直线的交点坐标']正确率0.0%若三角形的三边所在直线的方程分别为$$x-y=0$$，$$x-3 y=0$$，$$3 x-y-8=0$$，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( x-\frac{1} {2} )^{2}+( y-\frac{7} {2} )^{2}=\frac{2 5} {2}$$
B.$$( x-\frac{1} {2} )^{2}+( y-\frac{7} {2} )^{2}=2 5$$
C.$$( x-2 )^{2}+( y-2 )^{2}=8$$
D.$$( x-2 )^{2}+( y-2 )^{2}=3 2$$
1. 已知 $$F_1$$ 是双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)$$ 的左焦点，点 $$B$$ 的坐标为 $$(0, b)$$，直线 $$F_1B$$ 与双曲线 $$C$$ 的两条渐近线分别交于 $$P, Q$$ 两点，若 $$\overrightarrow{QP}=4 \overrightarrow{PF_1}$$，则双曲线 $$C$$ 的离心率为（ ）。
解：左焦点 $$F_1(-c, 0)$$，点 $$B(0, b)$$。渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a} x$$。
直线 $$F_1B$$ 的斜率为 $$k = \frac{b-0}{0-(-c)} = \frac{b}{c}$$，方程为 $$y = \frac{b}{c}(x + c)$$。
与渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$ 联立求交点 $$P$$：
$$\frac{b}{a}x = \frac{b}{c}(x + c)$$，约去 $$b$$ 得 $$\frac{x}{a} = \frac{x+c}{c}$$，解得 $$x_P = \frac{ac}{c-a}$$，则 $$y_P = \frac{b}{a} \cdot \frac{ac}{c-a} = \frac{bc}{c-a}$$。
与渐近线 $$y = -\frac{b}{a}x$$ 联立求交点 $$Q$$：
$$-\frac{b}{a}x = \frac{b}{c}(x + c)$$，约去 $$b$$ 得 $$-\frac{x}{a} = \frac{x+c}{c}$$，解得 $$x_Q = -\frac{ac}{c+a}$$，则 $$y_Q = -\frac{b}{a} \cdot (-\frac{ac}{c+a}) = \frac{bc}{c+a}$$。
由 $$\overrightarrow{QP} = 4 \overrightarrow{PF_1}$$，得 $$P$$ 是 $$F_1Q$$ 的五等分点，且靠近 $$F_1$$，即 $$P = \frac{1}{5}Q + \frac{4}{5}F_1$$。
考虑横坐标：$$x_P = \frac{1}{5}x_Q + \frac{4}{5}x_{F_1}$$，代入 $$x_P = \frac{ac}{c-a}$$，$$x_Q = -\frac{ac}{c+a}$$，$$x_{F_1} = -c$$：
$$\frac{ac}{c-a} = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{ac}{c+a}) + \frac{4}{5} \cdot (-c)$$
两边乘以 $$5(c-a)(c+a)$$ 得：
$$5ac(c+a) = -ac(c-a) - 4c(c-a)(c+a)$$
约去 $$c$$（$$c>0$$）：
$$5a(c+a) = -a(c-a) - 4(c-a)(c+a)$$
$$5ac + 5a^2 = -ac + a^2 - 4(c^2 - a^2)$$
$$5ac + 5a^2 = -ac + a^2 - 4c^2 + 4a^2$$
整理得：$$6ac + 5a^2 - a^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$$，即 $$6ac + 4c^2 = 0$$
此式明显错误（因各项为正），检查向量关系。$$\overrightarrow{QP} = 4 \overrightarrow{PF_1}$$ 意味着从 $$Q$$ 到 $$P$$ 的向量是 $$P$$ 到 $$F_1$$ 的向量的4倍，方向相同，故 $$P$$ 在线段 $$QF_1$$ 上，且 $$QP : PF_1 = 4 : 1$$，即 $$P$$ 分 $$QF_1$$ 的比为 $$\lambda = \frac{QP}{PF_1} = 4$$。
定比分点公式：若点 $$P$$ 分有向线段 $$QF_1$$ 的比为 $$\lambda$$，则 $$P = \frac{Q + \lambda F_1}{1+\lambda}$$。
这里 $$\lambda = 4$$，所以 $$P = \frac{Q + 4F_1}{5}$$。
横坐标：$$x_P = \frac{x_Q + 4x_{F_1}}{5} = \frac{-\frac{ac}{c+a} + 4(-c)}{5} = -\frac{\frac{ac}{c+a} + 4c}{5}$$
又 $$x_P = \frac{ac}{c-a}$$，所以：
$$\frac{ac}{c-a} = -\frac{\frac{ac}{c+a} + 4c}{5}$$
两边乘以 $$5$$：$$\frac{5ac}{c-a} = -\frac{ac}{c+a} - 4c$$
两边乘以 $$(c-a)(c+a)$$：$$5ac(c+a) = -ac(c-a) - 4c(c-a)(c+a)$$
约去 $$c$$：$$5a(c+a) = -a(c-a) - 4(c-a)(c+a)$$
$$5ac + 5a^2 = -ac + a^2 - 4(c^2 - a^2)$$
$$5ac + 5a^2 = -ac + a^2 - 4c^2 + 4a^2$$
移项：$$5ac + ac + 5a^2 - a^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$$
$$6ac + 4c^2 = 0$$？仍然不对。仔细检查：移项后应为：
$$5ac + 5a^2 + ac - a^2 + 4c^2 - 4a^2 = 0$$
$$6ac + (5a^2 - a^2 - 4a^2) + 4c^2 = 0$$
$$6ac + 0 \cdot a^2 + 4c^2 = 0$$
$$2c(3a + 2c) = 0$$，由于 $$c>0$$，所以 $$3a + 2c = 0$$，这不可能。
重新审视向量条件：$$\overrightarrow{QP} = 4 \overrightarrow{PF_1}$$。这意味着点 $$P$$ 的位置满足 $$Q \to P \to F_1$$ 且 $$QP = 4 PF_1$$。所以 $$P$$ 在 $$Q$$ 和 $$F_1$$ 之间吗？不一定。向量相等意味着方向相同，大小4倍。所以 $$P$$ 可以在 $$F_1Q$$ 的延长线上？画图分析：直线与两条渐近线交于 $$P, Q$$，且 $$F_1$$ 在中间？通常 $$Q$$ 在左上方，$$P$$ 在右下方，$$F_1$$ 在左边。所以顺序可能是 $$Q, F_1, P$$？那么向量 $$\overrightarrow{QP}$$ 和 $$\overrightarrow{PF_1}$$ 方向相反？但条件说它们相等，意味着方向相同。所以点顺序应为 $$F_1, P, Q$$？这样 $$\overrightarrow{QP}$$ 是从 $$Q$$ 到 $$P$$，$$\overrightarrow{PF_1}$$ 是从 $$P$$ 到 $$F_1$$，这两个向量方向相反！所以条件不可能成立？
除非解释为向量的倍数关系不考虑起点，即存在实数 $$k=4$$ 使得 $$\overrightarrow{QP} = k \overrightarrow{PF_1}$$。这要求点 $$P$$ 是 $$F_1Q$$ 的定比分点。设 $$P$$ 分 $$F_1Q$$ 的比为 $$\lambda$$，即 $$P = \frac{F_1 + \lambda Q}{1+\lambda}$$。则 $$\overrightarrow{PF_1} = F_1 - P$$，$$\overrightarrow{QP} = P - Q$$。
由 $$\overrightarrow{QP} = 4 \overrightarrow{PF_1}$$ 得：$$P - Q = 4(F_1 - P)$$，所以 $$P - Q = 4F_1 - 4P$$，即 $$5P = Q + 4F_1$$，所以 $$P = \frac{Q + 4F_1}{5}$$。这与之前一致，$$\lambda = 4$$，但 $$P$$ 分 $$F_1Q$$ 的比是 $$\frac{PF_1}{F_1Q}$$? 定比分点公式：若 $$P$$ 分有向线段 $$F_1Q$$ 的比为 $$\lambda$$，则 $$P = \frac{F_1 + \lambda Q}{1+\lambda}$$。比较 $$P = \frac{Q + 4F_1}{5} = \frac{4F_1 + Q}{5} = \frac{F_1 + \frac{1}{4}Q}{1+\frac{1}{4}} \times \frac{4}{4}$$? 不对。
直接解：由 $$P = \frac{Q + 4F_1}{5}$$，所以 $$5P = Q + 4F_1$$，即 $$5P - 4F_1 = Q$$。所以 $$P$$ 是 $$F_1$$ 和 $$Q$$ 的某种组合。设 $$P$$ 分 $$F_1Q$$ 的比为 $$\lambda$$，即 $$P = \frac{F_1 + \lambda Q}{1+\lambda}$$。则 $$F_1 + \lambda Q = P(1+\lambda)$$。与 $$5P = Q + 4F_1$$ 比较，不是直接对应。
由 $$5P = Q + 4F_1$$ 得 $$Q = 5P - 4F_1$$。所以 $$P$$ 分 $$F_1Q$$ 的比？向量 $$\overrightarrow{F_1P} = P - F_1$$，$$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (5P-4F_1) - P = 4P - 4F_1 = 4(P-F_1) = 4\overrightarrow{F_1P}$$。所以 $$\overrightarrow{PQ} = 4 \overrightarrow{F_1P}$$，即 $$\overrightarrow{QP} = -4 \overrightarrow{F_1P}$$。但条件是 $$\overrightarrow{QP} = 4 \overrightarrow{PF_1} = 4(F_1 - P) = -4(P-F_1) = -4\overrightarrow{F_1P}$$。所以一致。所以点顺序是 $$F_1, P, Q$$，且 $$F_1P : PQ = 1 : 4$$。
所以 $$P$$ 分 $$F_1Q$$ 的比为 $$\lambda = \frac{F_1P}{PQ} = \frac{1}{4}$$。定比分点公式：$$P = \frac{F_1 + \lambda Q}{1+\lambda} = \frac{F_1 + \frac{1}{4}Q}{1+\frac{1}{4}} = \frac{4F_1 + Q}{5}$$。与之前结果一致。
现在用横坐标建立方程：
$$x_P = \frac{4x_{F_1} + x_Q}{5} = \frac{4(-c) + (-\frac{ac}{c+a})}{5} = -\frac{4c + \frac{ac}{c+a}}{5}$$
又 $$x_P = \frac{ac}{c-a}$$，所以：
$$\frac{ac}{c-a} = -\frac{4c + \frac{ac}{c+a}}{5}$$
两边乘以 $$5$$：$$\frac{5ac}{c-a} = -4c - \frac{ac}{c+a}$$
两边乘以 $$(c-a)(c+a)$$：$$5ac(c+a) = -4c(c-a)(c+a) - ac(c-a)$$
约去 $$c$$：$$5a(c+a) = -4(c-a)(c+a) - a(c-a)$$
$$5ac + 5a^2 = -4(c^2 - a^2) - ac + a^2$$
$$5ac + 5a^2 = -4c^2 + 4a^2 - ac + a^2$$
移项：$$5ac + ac + 5a^2 - 4a^2 - a^2 + 4c^2 = 0$$
$$6ac + 0 \cdot a^2 + 4c^2 = 0$$
$$2c(3a + 2c) = 0$$，仍得 $$3a+2c=0$$，不可能。
检查符号：$$x_P$$ 与 $$x_Q$$ 的符号。$$c>a>0$$，所以 $$c-a>0$$，$$c+a>0$$。$$x_P = \frac{ac}{c-a} > 0$$。$$x_Q = -\frac{ac}{c+a} < 0$$。$$x_{F_1} = -c < 0$$。所以点横坐标：$$x_Q < x_{F_1} < 0 < x_P$$。所以点顺序是 $$Q, F_1, P$$。那么向量 $$\overrightarrow{QP} = P - Q$$（向右），$$\overrightarrow{PF_1} = F_1 - P$$（向左），方向相反。所以条件 $$\overrightarrow{QP} = 4 \overrightarrow{PF_1}$$ 意味着 $$P-Q = 4(F_1 - P)$$，即 $$P-Q = 4F_1 - 4P$$，$$5P = Q + 4F_1$$，$$P = \frac{Q+4F_1}{5}$$。现在横坐标：
$$x_P = \frac{x_Q + 4x_{F_1}}{5} = \frac{-\frac{ac}{c+a} + 4(-c)}{5} = -\frac{\frac{ac}{c+a} + 4c}{5}$$
这个值是负的，但之前 $$x_P$$ 是正的，矛盾！说明点顺序不是 $$Q, F_1, P$$，而是 $$P, F_1, Q$$？试试：若顺序是 $$P, F_1, Q$$，则 $$x_P > 0 > x_{F_1} > x_Q$$。那么 $$\overrightarrow{QP} = P - Q$$（向右），$$\overrightarrow{PF_1} = F_1 - P$$（向左），还是相反。要使它们同向，只能是 $$P$$ 在 $$F_1$$ 和 $$Q$$ 之外？设顺序为 $$F_1, Q, P$$？则 $$x_{F_1} < x_Q < 0 < x_P$$？但 $$x_Q<0$$, $$x_P>0$$，所以可能。那么 $$\overrightarrow{QP} = P - Q$$（向右），$$\overrightarrow{PF_1} = F_1 - P$$（向左），还是反。顺序 $$Q, P, F_1$$？则 $$x_Q < x_{F_1} < 0$$，但 $$x_P>0$$，不可能。
所以唯一可能是点 $$P$$ 和 $$Q$$ 在 $$F_1$$ 的同侧？但 $$F_1$$ 在左，$$P$$ 在右，$$Q$$ 在左，所以 $$F_1$$ 和 $$Q$$ 在同侧（左），$$P$$ 在右侧。所以向量 $$\overrightarrow{QP}$$ 是从左下的 $$Q$$ 到右上的 $$P$$，方向右上。$$\overrightarrow{PF_1}$$ 是从右上的 $$P$$ 到左下的 $$F_1$$，方向左下。所以它们方向相反。因此条件 $$\overrightarrow{QP} = 4 \overrightarrow{PF_1}$$ 实际上要求 $$P-Q = 4(F_1 - P)$$，即 $$P-Q = 4F_1 - 4P$$，$$5P = Q + 4F_1$$。但这样求出的 $$x_P$$ 为负，与 $$P$$ 在右侧矛盾。所以题目可能有误，或者我对交点的判断有误？
重新求交点：直线 $$y=\frac{b}{c}(x+c)$$ 与 $$y=\frac{b}{a}x$$ 的交点 $$P$$：$$\frac{b}{a}x = \frac{b}{c}(x+c)$$，$$x(\frac{1}{a} - \frac{1}{c}) = 1$$，$$x(\frac{c-a}{ac}) = 1$$，$$x = \frac{ac}{c-a}$$。由于 $$c>a$$，所以 $$x>0$$。正确。
与 $$y=-\frac{b}{a}x$$ 的交点 $$Q$$：$$-\frac{b}{a}x = \frac{b}{c}(x+c)$$，$$-x(\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) = 1$$，$$-x(\frac{c+a}{ac}) = 1$$，$$x = -\frac{ac}{c+a} < 0$$。正确。
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