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正确率60.0%若直线$$y=\frac{1} {2} x+3$$的倾斜角为$${{α}{，}}$$直线$$y=k x-5$$的倾斜角为$${{3}{α}{，}}$$则$${{k}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$${{5}}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$$\frac{1 1} {2}$$
2、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率60.0%已知直线$$2 x-y+3=0$$的倾斜角为$${{α}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha-\operatorname{c o s}^{2} \alpha=$$
A
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
3、['直线的一般式方程及应用'， '直线的斜率']正确率80.0%直线$$y=2 x-1$$的斜率为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
4、['直线与椭圆的综合应用'， '直线的斜率']正确率60.0%椭圆$$a x^{2}+b y^{2}=1 ( a > 0， b > 0 )$$与直线$$y=1-x$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，过原点与线段$${{A}{B}}$$中点的直线的斜率为$$\frac{\sqrt3} {2}，$$则$$\frac{b} {a}$$的值为 （）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{9 \sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {2 7}$$
5、['直线与抛物线的综合应用'， '直线的斜率']正确率40.0%已知抛物线$$C : y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$交抛物线于$${{M}{，}{N}}$$两点，且$$\left\vert\mathrm{M} F \right\vert=2 \left\vert\mathrm{N} F \right\vert，$$则直线$${{l}}$$的斜率为（）
B
A.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{±}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {2}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {4}$$
6、['直线的点斜式方程'， '直线的一般式方程与其他形式方程的互化'， '直线的斜率']正确率60.0%直线$${{l}}$$经过点$$P ( 1， 0 )$$，其倾斜角$${{α}}$$满足$$\operatorname{t a n} \， \alpha=-\frac{2} {3}，$$则直线$${{l}}$$的方程是（）
B
A.$$2 x-3 y-2=0$$
B.$$2 x+3 y-2=0$$
C.$$3 x \!-\! 2 y \!-\! 3 \!=\! 0$$
D.$$3 x+2 y-3=0$$
7、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '一次函数的图象与直线的方程'， '直线的斜率']正确率40.0%$${{m}{∈}{R}{，}}$$动直线$$\mathbf{l_{1} \! : \， x+m y \!-\! 1 \!=\! 0}$$过定点$${{A}{，}}$$动直线$$\mathbf{l}_{2} \! : \ \mathbf{m} \mathbf{x} \!-\! \mathbf{y} \!-\! \mathbf{2 m}+\mathbf{3} \!=\! \mathbf{0}$$过定点$${{B}{，}}$$若$${{l}_{1}}$$与$${{l}_{2}}$$交于点$${{P}{(}}$$异于点$${\bf A}， ~ {\bf B} )，$$则$$| \mathbf{P A} |+| \mathbf{P B} |$$的最大值为（）
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
8、['直线的点斜式方程'， '导数的几何意义'， '直线的斜率']正确率60.0%曲线$$y=x e^{x}+1$$在点$$A ( 0， 1 )$$处的切线方程是$${{(}{)}}$$
A
A.$$x-y+1=0$$
B.$$2 x-y+1=0$$
C.$$x-y-1=0$$
D.$$x-2 y+2=0$$
9、['利用基本不等式求最值'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率40.0%直线$$2 a x-( a^{2}+1 ) y+1=0 ( a > 0 )$$的倾斜角的取值范围是
A
A.$$( 0， \frac{\pi} {4} ]$$
B.$$[ \frac{3 \pi} {4}， \pi)$$
C.$$\left( 0， \frac{\pi} {4} \right] \bigcup\left( \frac{\pi} {2} \pi\right)$$
D.$$\left[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right] \bigcup\left( \frac{3 \pi} {4}， \pi\right)$$
10、['直线的一般式方程及应用'， '直线的斜率']正确率60.0%如果$$\mathbf{A} \mathbf{B} > 0， \， \， \mathbf{B} \mathbf{C} > 0$$，那么直线$$\mathbf{A x-B y-C=0}$$经过的象限是
C
A.第一$${、}$$二$${、}$$三象限
B.第二$${、}$$三$${、}$$四象限
C.第一$${、}$$三$${、}$$四象限
D.第一$${、}$$二$${、}$$四象限
1. 直线 $$y=\frac{1}{2}x+3$$ 的斜率 $$k_1 = \frac{1}{2}$$，其倾斜角 $$\alpha$$ 满足 $$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$。直线 $$y=kx-5$$ 的倾斜角为 $$3\alpha$$，则其斜率 $$k = \tan 3\alpha$$。利用三倍角公式：
$$\tan 3\alpha = \frac{3\tan \alpha - \tan^3 \alpha}{1 - 3\tan^2 \alpha} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^3}{1 - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{8}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{11}{2}$$
因此，$$k = \frac{11}{2}$$，答案为 D。
2. 直线 $$2x - y + 3 = 0$$ 的斜率 $$k = 2$$，其倾斜角 $$\alpha$$ 满足 $$\tan \alpha = 2$$。利用三角恒等式：
$$\sin 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{4}{5}$$
$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{5}$$
因此，$$\sin 2\alpha - \cos^2 \alpha = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$，答案为 A。
3. 直线 $$y = 2x - 1$$ 的斜率为 $$2$$，答案为 A。
4. 将直线 $$y = 1 - x$$ 代入椭圆方程 $$ax^2 + b(1 - x)^2 = 1$$，整理得：
$$(a + b)x^2 - 2b x + b - 1 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 为交点，中点坐标为 $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。由韦达定理，$$x_1 + x_2 = \frac{2b}{a + b}$$，$$y_1 + y_2 = 2 - (x_1 + x_2) = \frac{2a}{a + b}$$。
原点与中点连线的斜率为 $$\frac{\frac{a}{a + b}}{\frac{b}{a + b}} = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此 $$\frac{b}{a} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，答案为 B。
5. 抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x$$
整理得 $$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。设 $$M(x_1, y_1)$$ 和 $$N(x_2, y_2)$$，由抛物线的性质，$$\left\vert MF \right\vert = x_1 + 1$$，$$\left\vert NF \right\vert = x_2 + 1$$。根据题意，$$x_1 + 1 = 2(x_2 + 1)$$，即 $$x_1 = 2x_2 + 1$$。
由韦达定理，$$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。代入 $$x_1 = 2x_2 + 1$$ 解得 $$x_2 = \frac{1}{2}$$ 或 $$x_2 = -1$$（舍去）。进一步解得 $$k^2 = 8$$，即 $$k = \pm 2\sqrt{2}$$，答案为 B。
6. 直线 $$l$$ 的斜率 $$k = \tan \alpha = -\frac{2}{3}$$，过点 $$P(1, 0)$$，其方程为：
$$y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 1)$$
整理得 $$2x + 3y - 2 = 0$$，答案为 B。
7. 直线 $$l_1: x + my - 1 = 0$$ 过定点 $$A(1, 0)$$；直线 $$l_2: mx - y - 2m + 3 = 0$$ 过定点 $$B(2, 3)$$。两直线垂直时，$$1 \cdot m + m \cdot (-1) = 0$$ 恒成立，因此 $$P$$ 的轨迹是以 $$AB$$ 为直径的圆，其方程为 $$(x - 1.5)^2 + (y - 1.5)^2 = 2.5$$。
$$|PA| + |PB|$$ 的最大值为直径 $$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{10}$$，答案为 C。
8. 曲线 $$y = xe^x + 1$$ 的导数为 $$y' = e^x + xe^x$$。在点 $$A(0, 1)$$ 处的斜率为 $$y'(0) = 1$$，切线方程为：
$$y - 1 = 1(x - 0)$$
整理得 $$x - y + 1 = 0$$，答案为 A。
9. 直线 $$2ax - (a^2 + 1)y + 1 = 0$$ 的斜率 $$k = \frac{2a}{a^2 + 1}$$。由于 $$a > 0$$，$$k \leq \frac{2a}{2a} = 1$$（当 $$a = 1$$ 时取等）。因此，倾斜角 $$\theta$$ 满足 $$0 < \theta \leq \frac{\pi}{4}$$ 或 $$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$$，答案为 C。
10. 直线 $$Ax - By - C = 0$$ 可改写为 $$y = \frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$$。由题意 $$AB > 0$$ 且 $$BC > 0$$，故 $$\frac{A}{B} > 0$$ 且 $$\frac{C}{B} > 0$$。因此，斜率为正，截距为负，直线经过第一、三、四象限，答案为 C。