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正确率19.999999999999996%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的离心率为$$2， \ A， \ B$$分别是渐近线上第一$${、}$$四象限的点，$${{C}}$$是线段$${{A}{B}}$$中点，$${{O}}$$是坐标原点，直线$$A B， \ O C$$的斜率分别是$$k_{1}， \， \， k_{2}， \， \， | O A |+2 | O B |=k_{1} \， k_{2}$$，则$${{△}{O}{A}{B}}$$的面积的最大值是
A
A.$$\frac{9 \sqrt3} {3 2}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {8}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{9} {3 2}$$
2、['两点间的斜率公式'， '双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '向量坐标与向量的数量积'， '直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$且与$${{x}}$$轴垂直的直线与双曲线$${{C}}$$的一条渐近线交于点$${{A}}$$（点$${{A}}$$在第一象限），点$${{B}}$$在双曲线$${{C}}$$的渐近线上，且$$B F / / O A$$，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{O B}=0$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
3、['两点间的斜率公式'， '直线的点斜式方程']正确率60.0%已知$$A ( 2， ~ 5 )， ~ B ( 4， ~ 1 )$$．若点$$P ( x， ~ y )$$在线段$${{A}{B}}$$上，则$${{2}{x}{−}{y}}$$的最大值为（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
4、['两点间的斜率公式'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%直线$${{l}}$$交双曲线$$x^{2}-y^{2}=a \ ( \ a > 0 )$$的右支于$${{A}{，}{B}}$$两点，设$${{A}{B}}$$的中点为$${{C}{，}{O}}$$为坐标原点，直线$$A B， \ O C$$的斜率存在，分别为$$k_{A B}， \ k_{O C}$$，则$$k_{A B} \cdot k_{O C}=\alpha$$）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
5、['两点间的斜率公式'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右顶点分别为$$A， B， P$$为双曲线上除$${{A}{，}{B}}$$外任意一点，且点$${{P}}$$与点$${{A}{，}{B}}$$连线的斜率分别为$${{k}_{1}{，}{{k}_{2}}}$$，若$$k_{1} k_{2}=3$$，则双曲线的渐近线方程为（）
C
A.$${{y}{=}{±}{x}}$$
B.$$y=\pm\sqrt{2} x$$
C.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
D.$$y=\pm2 x$$
7、['两点间的斜率公式'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，左$${、}$$右顶点为$${{M}{，}{N}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}}$$交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点(异于$$M. \， \， N )， \， \， \triangle A F_{1} B$$的周长为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，且直线$${{A}{M}}$$与$${{A}{N}}$$的斜率之积为$$- \frac2 3$$，则$${{C}}$$的方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3}+y^{2}=1$$
9、['两点间的斜率公式'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线的倾斜角']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$平分圆$$C \colon~ x^{2}+y^{2}-6 x+6 y+2=0$$的周长，且直线$${{l}}$$不经过第三象限，则直线$${{l}}$$的倾斜角$${{θ}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ 9 0^{\circ}， 1 3 5^{\circ} ]$$
B.$$[ 9 0^{\circ}， 1 2 0^{\circ} ]$$
C.$$[ 6 0^{\circ}， 1 3 5^{\circ} ]$$
D.$$[ 9 0^{\circ}， 1 5 0^{\circ} ]$$
10、['两点间的斜率公式'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知点$${{A}{，}{B}}$$是双曲线$$C : x^{2}-2 y^{2}=1$$的两个顶点，$${{P}}$$是双曲线$${{C}}$$上异于$${{A}{，}{B}}$$的任意一点，则$$k_{P A} \cdot k_{P B}=~ ($$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
1. 解析：
双曲线的离心率 $$e = \frac{c}{a} = 2$$，可得 $$c = 2a$$，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，得到 $$b = \sqrt{3}a$$。双曲线的渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \sqrt{3}x$$。
设点 $$A$$ 在第一象限，坐标为 $$(x_1, \sqrt{3}x_1)$$，点 $$B$$ 在第四象限，坐标为 $$(x_2, -\sqrt{3}x_2)$$，其中 $$x_1, x_2 > 0$$。
中点 $$C$$ 的坐标为 $$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{\sqrt{3}(x_1 - x_2)}{2} \right)$$。
直线 $$AB$$ 的斜率 $$k_1 = \frac{-\sqrt{3}x_2 - \sqrt{3}x_1}{x_2 - x_1} = \frac{-\sqrt{3}(x_1 + x_2)}{x_2 - x_1}$$。
直线 $$OC$$ 的斜率 $$k_2 = \frac{\sqrt{3}(x_1 - x_2)}{x_1 + x_2}$$。
根据题意 $$|OA| + 2|OB| = k_1 k_2$$，计算得 $$2x_1 + 4x_2 = 3$$。
三角形 $$OAB$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| \cdot \sin \theta$$，其中 $$\theta$$ 为夹角，通过优化可得最大面积为 $$\frac{3\sqrt{3}}{8}$$。
正确答案为 B。
2. 解析：
双曲线的右焦点 $$F(c, 0)$$，渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。过 $$F$$ 的垂直线 $$x = c$$ 与渐近线交于点 $$A(c, \frac{b c}{a})$$。
设点 $$B$$ 在渐近线 $$y = -\frac{b}{a}x$$ 上，由 $$BF \parallel OA$$，斜率相同，解得 $$B\left( \frac{c}{2}, -\frac{b c}{2a} \right)$$。
由 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$$，代入坐标得到 $$b^2 = 2a^2$$，离心率 $$e = \sqrt{3}$$。
正确答案为 C。
3. 解析：
线段 $$AB$$ 的方程为 $$y - 5 = \frac{1 - 5}{4 - 2}(x - 2)$$，即 $$y = -2x + 9$$。
点 $$P(x, y)$$ 在线段上，满足 $$y = -2x + 9$$ 且 $$2 \leq x \leq 4$$。
表达式 $$2x - y = 2x - (-2x + 9) = 4x - 9$$，在 $$x = 4$$ 时取得最大值 $$7$$。
正确答案为 C。
4. 解析：
双曲线方程为 $$x^2 - y^2 = a$$，设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点 $$C\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$。
由双曲线性质，$$k_{AB} \cdot k_{OC} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \cdot \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = \frac{y_1^2 - y_2^2}{x_1^2 - x_2^2} = \frac{(x_1^2 - a) - (x_2^2 - a)}{x_1^2 - x_2^2} = 1$$。
正确答案为 C。
5. 解析：
双曲线的顶点为 $$A(-a, 0)$$ 和 $$B(a, 0)$$，点 $$P(x, y)$$ 在双曲线上，满足 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$。
斜率 $$k_1 = \frac{y}{x + a}$$，$$k_2 = \frac{y}{x - a}$$，由 $$k_1 k_2 = 3$$ 得 $$\frac{y^2}{x^2 - a^2} = 3$$。
结合双曲线方程，解得 $$b^2 = 3a^2$$，渐近线为 $$y = \pm \sqrt{3}x$$。
正确答案为 C。
7. 解析：
椭圆的性质：$$\triangle AF_1B$$ 的周长为 $$4a = 4\sqrt{3}$$，故 $$a = \sqrt{3}$$。
设 $$A(x, y)$$ 在椭圆上，直线 $$AM$$ 和 $$AN$$ 的斜率乘积为 $$\frac{y}{x + \sqrt{3}} \cdot \frac{y}{x - \sqrt{3}} = -\frac{2}{3}$$。
结合椭圆方程 $$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，解得 $$b^2 = 2$$，椭圆方程为 $$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$$。
正确答案为 C。
9. 解析：
圆 $$C$$ 的方程为 $$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 16$$，圆心为 $$(3, -3)$$。
直线 $$l$$ 平分圆的周长，故过圆心，方程为 $$y + 3 = k(x - 3)$$。
直线不经过第三象限，需满足 $$k \leq 0$$ 或 $$k \geq 1$$，但结合倾斜角范围 $$\theta \in [90^\circ, 150^\circ]$$。
正确答案为 D。
10. 解析：
双曲线 $$x^2 - 2y^2 = 1$$ 的顶点为 $$A(1, 0)$$ 和 $$B(-1, 0)$$。
设点 $$P(x, y)$$ 在双曲线上，斜率 $$k_{PA} = \frac{y}{x - 1}$$，$$k_{PB} = \frac{y}{x + 1}$$。
乘积 $$k_{PA} \cdot k_{PB} = \frac{y^2}{x^2 - 1}$$，由双曲线方程 $$x^2 - 1 = 2y^2$$，故结果为 $$\frac{1}{2}$$。
正确答案为 C。