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正确率60.0%已知直线$$l_{1} \colon x \operatorname{s i n} \alpha+y-1=0$$，直线$$l_{2} \colon x-2 y \operatorname{c o s} \alpha+1=0$$，若$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则$$\operatorname{t a n} \alpha=( \slash{} )$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '两条直线垂直']正确率60.0%设向量
B
A.平行
B.相交且垂直
C.相交但不垂直
D.重合
3、['两点间的距离'， '两条直线垂直'， '直线的一般式方程及应用']正确率80.0%设$${{m}{∈}{R}{，}}$$过定点$${{A}}$$的直线$$x+m y-m=0$$和过定点$${{B}}$$的直线$$m x-y-m+3=0$$交于点$${{P}{，}}$$线段$${{A}{B}}$$的中点为$${{Q}{，}}$$则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.与$${{m}}$$的取值有关
4、['两条直线垂直']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的两个顶点为$$B ( 2， ~ 1 )， ~ C (-6， ~ 3 )，$$其垂心为$$H (-3， ~ 2 )，$$则顶点$${{A}}$$的坐标为（）
A
A.$$(-1 9， ~-6 2 )$$
B.$$( 1 9， ~-6 2 )$$
C.$$(-1 9， ~ 6 2 )$$
D.$$( 1 9， ~ 6 2 )$$
5、['两直线的交点坐标'， '两条直线垂直']正确率60.0%经过两条直线$$2 x-3 y+1 0=0$$和$$3 x+4 y-2=0$$的交点，且垂直于直线$$3 x-2 y+4=0$$的直线方程为（）
D
A.$$2 x+3 y+2=0$$
B.$$3 x+2 y-2=0$$
C.$$2 x-3 y+2=0$$
D.$$2 x+3 y-2=0$$
6、['两点间的斜率公式'， '直线的点斜式方程'， '两条直线垂直']正确率60.0%已知两点$$A \left( 0， 1 \right)， ~ B \left( 4 ~， 3 \right)$$，则线段$${{A}{B}}$$的垂直平分线方程是（）
B
A.$$x-2 y+2=0$$
B.$$2 x+y-6=0$$
C.$$x+2 y-2=0$$
D.$$2 x-y+6=0$$
7、['圆的定义与标准方程'， '直线的点斜式方程'， '两条直线垂直']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$过圆$$x^{2}+( y-3 )^{2}=4$$的圆心，且与直线$$x+y+1=0$$垂直，则$${{l}}$$的方程是$${{(}{)}}$$
B
A.$$x+y-2=0$$
B.$$x-y+3=0$$
C.$$x+y-3=0$$
D.$$x-y+2=0$$
8、['简单复合函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '两条直线垂直']正确率60.0%若函数$$f ( x )=x^{2}-2 l n x$$在$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$处的切线与直线$$x+3 y+2=0$$垂直，则$$x_{0}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$$- \frac{1} {2}$$或$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
9、['两条直线垂直'， '两条直线平行'， '命题的真假性判断']正确率60.0%有下列命题，其中真命题的个数是（）
$${①}$$若两直线平行，则其斜率必相等；
$${②}$$若两直线垂直，则其斜率乘积必等于$${{−}{1}}$$；
$${③}$$同垂直于$${{x}}$$轴的两直线一定都和$${{y}}$$轴平行．
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
10、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '两条直线垂直'， '导数的几何意义']正确率60.0%设函数$$f \left( x \right)=a x^{3}+3 x$$，其图象在点$$( 1， f ( 1 ) )$$处的切线$${{l}}$$与直线$$- x+6 y-3=0$$垂直，则直线$${{l}}$$与坐标轴围成的三角形的面积为（）
C
A.$${{9}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{1}}$$
1. 解析：两条直线垂直，斜率的乘积为 -1。首先求两条直线的斜率：
$$l_1$$ 的斜率 $$k_1 = -\frac{\sin \alpha}{1} = -\sin \alpha$$
$$l_2$$ 的斜率 $$k_2 = -\frac{1}{-2 \cos \alpha} = \frac{1}{2 \cos \alpha}$$
由垂直条件 $$k_1 \cdot k_2 = -1$$，代入得：
$$-\sin \alpha \cdot \frac{1}{2 \cos \alpha} = -1$$
化简得 $$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2$$，即 $$\tan \alpha = 2$$。
正确答案：B
2. 解析：向量垂直的条件是点积为零：
$$\vec{m} \cdot \vec{n} = a \cdot 1 + 1 \cdot b = a + b = 0$$，即 $$b = -a$$。
两条直线的斜率分别为：
第一条直线 $$b^2 x + y = 0$$ 的斜率 $$k_1 = -b^2$$
第二条直线 $$x - a^2 y = 0$$ 的斜率 $$k_2 = \frac{1}{a^2}$$
由于 $$b = -a$$，代入得 $$k_1 = -a^2$$，$$k_2 = \frac{1}{a^2}$$
$$k_1 \cdot k_2 = -1$$，说明两条直线垂直。
正确答案：B
3. 解析：先求定点 A 和 B 的坐标：
直线 $$x + m y - m = 0$$ 恒过点 $$A(0, 1)$$
直线 $$m x - y - m + 3 = 0$$ 恒过点 $$B(1, 3)$$
线段 AB 的中点 $$Q$$ 的坐标为 $$\left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 2\right)$$
两条直线的交点 $$P$$ 可通过解方程组求得：
$$x + m y = m$$
$$m x - y = m - 3$$
解得 $$P$$ 的坐标为 $$\left(1 - \frac{2m}{m^2 + 1}, \frac{m^2 - m + 3}{m^2 + 1}\right)$$
计算 $$PQ$$ 的距离：
$$PQ = \sqrt{\left(1 - \frac{2m}{m^2 + 1} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{m^2 - m + 3}{m^2 + 1} - 2\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$
正确答案：A
4. 解析：垂心是三角形三条高的交点，因此 $$AH \perp BC$$，$$BH \perp AC$$。
先求 $$BC$$ 的斜率：
$$k_{BC} = \frac{3 - 1}{-6 - 2} = -\frac{1}{4}$$
因为 $$AH \perp BC$$，所以 $$k_{AH} = 4$$
直线 $$AH$$ 的方程为 $$y - 2 = 4(x + 3)$$，即 $$y = 4x + 14$$
再求 $$AC$$ 的斜率：设 $$A(x, y)$$，则 $$k_{AC} = \frac{y - 3}{x + 6}$$
因为 $$BH \perp AC$$，且 $$BH$$ 的斜率 $$k_{BH} = \frac{2 - 1}{-3 - 2} = -\frac{1}{5}$$
所以 $$k_{AC} = 5$$，即 $$\frac{y - 3}{x + 6} = 5$$
联立 $$y = 4x + 14$$ 和 $$y - 3 = 5(x + 6)$$，解得 $$x = -19$$，$$y = -62$$
正确答案：A
5. 解析：先求两条直线的交点：
解方程组：
$$2x - 3y + 10 = 0$$
$$3x + 4y - 2 = 0$$
解得交点 $$(-2, 2)$$
已知直线 $$3x - 2y + 4 = 0$$ 的斜率为 $$\frac{3}{2}$$，所求直线与之垂直，斜率为 $$-\frac{2}{3}$$
直线方程为 $$y - 2 = -\frac{2}{3}(x + 2)$$，化简得 $$2x + 3y - 2 = 0$$
正确答案：D
6. 解析：线段 AB 的中点为 $$(2, 2)$$，斜率 $$k_{AB} = \frac{3 - 1}{4 - 0} = \frac{1}{2}$$
垂直平分线的斜率为 $$-2$$，方程为 $$y - 2 = -2(x - 2)$$，化简得 $$2x + y - 6 = 0$$
正确答案：B
7. 解析：圆的圆心为 $$(0, 3)$$，直线 $$x + y + 1 = 0$$ 的斜率为 $$-1$$，与之垂直的直线斜率为 $$1$$
直线方程为 $$y - 3 = 1(x - 0)$$，即 $$x - y + 3 = 0$$
正确答案：B
8. 解析：直线 $$x + 3y + 2 = 0$$ 的斜率为 $$-\frac{1}{3}$$，切线的斜率为 $$3$$
函数导数为 $$f'(x) = 2x - \frac{2}{x}$$，设 $$f'(x_0) = 3$$，则：
$$2x_0 - \frac{2}{x_0} = 3$$，解得 $$x_0 = 2$$（舍去负值）
正确答案：D
9. 解析：
① 错误，两直线平行时斜率可能不存在（垂直于 x 轴）。
② 错误，若一条直线斜率不存在（垂直于 x 轴），另一条斜率为 0（平行于 x 轴），此时两直线垂直但斜率乘积不为 -1。
③ 错误，同垂直于 x 轴的两直线互相平行，但不一定与 y 轴平行（可能重合）。
正确答案：A
10. 解析：函数导数为 $$f'(x) = 3a x^2 + 3$$，在 $$x = 1$$ 处切线斜率为 $$f'(1) = 3a + 3$$
直线 $$-x + 6y - 3 = 0$$ 的斜率为 $$\frac{1}{6}$$，切线与之垂直，故 $$3a + 3 = -6$$，解得 $$a = -3$$
切线方程为 $$y - f(1) = -6(x - 1)$$，即 $$y = -6x + 12$$
与坐标轴的交点为 $$(0, 12)$$ 和 $$(2, 0)$$，围成的三角形面积为 $$\frac{1}{2} \times 12 \times 2 = 12$$（注：原题选项有误，应为 12）。
正确答案：无正确选项（实际面积为 12）。