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正确率60.0%已知经过$$A \left( 1， \sqrt{3} \right)， \， \， \， B \left( 4， 0 \right)$$两点的直线$${{A}{B}}$$与直线$${{l}}$$垂直，则直线$${{l}}$$的倾斜角是
A
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
2、['两点间的斜率公式'， '直线的点斜式方程'， '两直线的交点坐标'， '直线和圆的数学文化问题'， '两条直线垂直']正确率40.0%数学家欧拉$${{1}{7}{6}{5}}$$年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线$${{.}}$$已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点分别为$$A ( 1， 3 )$$，$$B ( 2， 4 )$$，$$C ( 3， 2 )$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的欧拉线方程为（）
A
A.$$x+y-5=0$$
B.$$x+y+5=0$$
C.$$x-y+1=0$$
D.$$2 x+y-7=0$$
3、['两点间的斜率公式'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率60.0%已知点$$A ~ ( \mathrm{\bf~ 2， ~-3 ~} ) ~ ~， ~ ~ B ~ ( \mathrm{\bf~-2， ~-2 ~} )$$，直线$$l \colon m x+y-m-1=0$$与线段$${{A}{B}}$$相交，则直线$${{l}}$$的斜率$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{k}{⩾}{1}}$$或$${{k}{⩽}{−}{4}}$$
B.$$- 4 \leqslant k \leqslant1$$
C.$${{k}{<}{−}{1}}$$
D.$$- 1 \leqslant k \leqslant4$$
4、['两点间的斜率公式'， '直线的点斜式方程'， '直线与圆相交']正确率60.0%若点$$P ( 4， 2 )$$为圆$$x^{2}+y^{2}-6 x=0$$的弦$${{M}{N}}$$的中点，则弦$${{M}{N}}$$所在直线方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$$2 x+y-1 0=0$$
B.$$x-2 y=0$$
C.$$x+2 y-8=0$$
D.$$2 x-y-6=0$$
5、['两点间的斜率公式'， '直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1，$$直线$${{y}{=}{x}}$$与椭圆交于$${{A}{、}{B}}$$两点，$${{P}}$$是椭圆上异于$${{A}{、}{B}}$$的点，且直线$$P A， ~ P B$$的斜率存在，则$$k_{P A} \cdot k_{P B}=$$（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
6、['两点间的斜率公式'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=x \mathrm{l n} x$$，若直线$${{l}}$$过点$${{(}{{0}{，}{−}{e}}{)}{，}}$$且与曲线$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$相切，则直线$${{l}}$$的斜率为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{e}}$$
D.$${{e}}$$
7、['两点间的斜率公式'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知函数$$h ( x )=a l n x+( a-1 ) x^{2}+1 ( a < 0 )$$，在函数$${{h}{(}{x}{)}}$$图象上任取两点$${{A}{，}{B}}$$，若直线$${{A}{B}}$$的斜率的绝对值都不小于$${{5}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是
B
A.$$(-\infty， 0 )$$
B.$$(-\infty， \frac{2-3 \sqrt{6}} {4} ]$$
C.$$(-\infty，-\frac{2+3 \sqrt{6}} {4} ]$$
D.$$( \frac{2-3 \sqrt{6}} {4}， 0 )$$
8、['两点间的斜率公式'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知斜率为$${{2}}$$的直线$${{l}}$$过抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$，且与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$中点$${{M}}$$的横坐标为$${{3}}$$，则$${{p}{=}}$$（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
9、['两点间的斜率公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率40.0%从抛物线$$y^{2}=4 x$$在第一象限内的一点$${{P}}$$引抛物线准线的垂线，垂足为$${{M}}$$，从且$$| P M |=4$$，设抛物线的焦点为$${{F}}$$，则直线$${{P}{F}}$$的斜率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
10、['两点间的斜率公式']正确率60.0%三点$$A ( 3， 1 )， \， \， B (-2， k )， \， \， C ( 8， 1 1 )$$在一条直线上，则$${{k}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{8}}$$
B.$${{−}{9}}$$
C.$${{−}{6}}$$
D.$${{−}{7}}$$
1. 已知点 $$A(1, \sqrt{3})$$ 和 $$B(4, 0)$$，直线 $$AB$$ 的斜率：$$k_{AB} = \frac{{0 - \sqrt{3}}}{{4 - 1}} = -\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$$
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k_l$$，由于垂直，有 $$k_{AB} \cdot k_l = -1$$，即 $$-\frac{{\sqrt{3}}}{{3}} \cdot k_l = -1$$，解得 $$k_l = \sqrt{3}$$
倾斜角 $$\theta$$ 满足 $$\tan \theta = \sqrt{3}$$，故 $$\theta = 60^\circ$$，选 B
2. 计算三角形 $$ABC$$ 的欧拉线，先求重心 $$G$$：$$G = \left( \frac{{1+2+3}}{{3}}, \frac{{3+4+2}}{{3}} \right) = (2, 3)$$
再求外心 $$O$$：设外心坐标 $$(x, y)$$，由 $$OA = OB$$ 和 $$OA = OC$$ 得：
$$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x-2)^2 + (y-4)^2$$ 化简得 $$x + y = 5$$
$$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2$$ 化简得 $$x - y = 1$$
解得 $$x = 3, y = 2$$，即 $$O(3, 2)$$
欧拉线过 $$G$$ 和 $$O$$，斜率 $$k = \frac{{2-3}}{{3-2}} = -1$$，方程为 $$y - 3 = -1(x - 2)$$，即 $$x + y - 5 = 0$$，选 A
3. 直线 $$l: mx + y - m - 1 = 0$$ 可化为 $$y = -mx + m + 1$$，斜率 $$k = -m$$
点 $$A(2, -3)$$ 和 $$B(-2, -2)$$，线段 $$AB$$ 的斜率 $$k_{AB} = \frac{{-2 - (-3)}}{{-2 - 2}} = \frac{{1}}{{-4}} = -\frac{{1}}{{4}}$$
直线 $$l$$ 与线段 $$AB$$ 相交，需满足 $$k \leq -\frac{{1}}{{4}}$$ 或 $$k \geq k_{AB}$$？实际考虑端点代入：
将 $$A$$ 代入直线：$$2m -3 - m -1 = m -4 \leq 0$$？更准确用参数法：
直线 $$l$$ 恒过定点 $$C(1, 1)$$，由 $$A$$ 和 $$B$$ 坐标，斜率 $$k$$ 需满足 $$k \leq k_{CA}$$ 或 $$k \geq k_{CB}$$
$$k_{CA} = \frac{{-3-1}}{{2-1}} = -4$$，$$k_{CB} = \frac{{-2-1}}{{-2-1}} = \frac{{-3}}{{-3}} = 1$$
故 $$k \leq -4$$ 或 $$k \geq 1$$，即 $$k \geq 1$$ 或 $$k \leq -4$$，选 A
4. 圆方程：$$x^2 + y^2 - 6x = 0$$，即 $$(x-3)^2 + y^2 = 9$$，圆心 $$C(3, 0)$$
点 $$P(4, 2)$$ 为弦 $$MN$$ 中点，则 $$CP \perp MN$$，$$k_{CP} = \frac{{2-0}}{{4-3}} = 2$$
故 $$MN$$ 斜率 $$k = -\frac{{1}}{{2}}$$，方程为 $$y - 2 = -\frac{{1}}{{2}}(x - 4)$$，即 $$x + 2y - 8 = 0$$，选 C
5. 椭圆 $$\frac{{x^2}}{{4}} + \frac{{y^2}}{{2}} = 1$$，与 $$y = x$$ 联立得交点：代入得 $$\frac{{x^2}}{{4}} + \frac{{x^2}}{{2}} = 1$$，即 $$\frac{{3x^2}}{{4}} = 1$$，$$x = \pm \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}$$
设 $$A\left( \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}, \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} \right)$$，$$B\left( -\frac{{2}}{{\sqrt{3}}}, -\frac{{2}}{{\sqrt{3}}} \right)$$，$$P(x_0, y_0)$$ 在椭圆上，即 $$\frac{{x_0^2}}{{4}} + \frac{{y_0^2}}{{2}} = 1$$
$$k_{PA} = \frac{{y_0 - \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}}}{{x_0 - \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}}}$$，$$k_{PB} = \frac{{y_0 + \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}}}{{x_0 + \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}}}$$
乘积 $$k_{PA} \cdot k_{PB} = \frac{{y_0^2 - \frac{{4}}{{3}}}}{{x_0^2 - \frac{{4}}{{3}}}}$$，由椭圆方程 $$y_0^2 = 2\left(1 - \frac{{x_0^2}}{{4}}\right) = 2 - \frac{{x_0^2}}{{2}}$$
代入得分子：$$2 - \frac{{x_0^2}}{{2}} - \frac{{4}}{{3}} = \frac{{6 - 3x_0^2 - 8}}{{6}} = \frac{{-3x_0^2 - 2}}{{6}}$$，分母：$$x_0^2 - \frac{{4}}{{3}} = \frac{{3x_0^2 - 4}}{{3}}$$
故乘积为 $$\frac{{-3x_0^2 - 2}}{{6}} \cdot \frac{{3}}{{3x_0^2 - 4}} = \frac{{-3x_0^2 - 2}}{{2(3x_0^2 - 4)}} = -\frac{{1}}{{2}}$$，选 C
6. 函数 $$f(x) = x \ln x$$，导数 $$f'(x) = \ln x + 1$$
设切点 $$(x_0, x_0 \ln x_0)$$，切线斜率 $$k = \ln x_0 + 1$$，切线方程：$$y - x_0 \ln x_0 = (\ln x_0 + 1)(x - x_0)$$
过点 $$(0, -e)$$，代入得 $$-e - x_0 \ln x_0 = (\ln x_0 + 1)(-x_0)$$，即 $$-e - x_0 \ln x_0 = -x_0 \ln x_0 - x_0$$
化简得 $$-e = -x_0$$，故 $$x_0 = e$$，斜率 $$k = \ln e + 1 = 1 + 1 = 2$$，选 B
7. 函数 $$h(x) = a \ln x + (a-1)x^2 + 1$$，$$a < 0$$，任取两点 $$A(x_1, h(x_1))$$，$$B(x_2, h(x_2))$$，斜率绝对值 $$\left| \frac{{h(x_2) - h(x_1)}}{{x_2 - x_1}} \right| \geq 5$$
由拉格朗日中值定理，存在 $$\xi \in (x_1, x_2)$$ 使得 $$h'(\xi) = \frac{{h(x_2) - h(x_1)}}{{x_2 - x_1}}$$，故需 $$|h'(x)| \geq 5$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立
$$h'(x) = \frac{{a}}{{x}} + 2(a-1)x$$，即 $$\left| \frac{{a}}{{x}} + 2(a-1)x \right| \geq 5$$
由于 $$a < 0$$，$$a-1 < 0$$，故 $$h'(x) < 0$$，即 $$-\left( \frac{{a}}{{x}} + 2(a-1)x \right) \geq 5$$，或 $$\frac{{a}}{{x}} + 2(a-1)x \leq -5$$
令 $$t = x > 0$$，不等式为 $$\frac{{a}}{{t}} + 2(a-1)t \leq -5$$，即 $$2(a-1)t + \frac{{a}}{{t}} + 5 \leq 0$$
左边函数在 $$t > 0$$ 的最小值需 $$\leq 0$$，由均值不等式，最小值在 $$t = \sqrt{ \frac{{a}}{{2(a-1)}} }$$ 时取得，代入求解 $$a$$ 的范围，经计算得 $$a \leq \frac{{2 - 3\sqrt{6}}}{{4}}$$，选 B
8. 抛物线 $$y^2 = 2px$$，焦点 $$F\left( \frac{{p}}{{2}}, 0 \right)$$，直线 $$l$$ 斜率为 2，过 $$F$$，方程为 $$y = 2\left(x - \frac{{p}}{{2}}\right)$$
与抛物线联立：$$[2(x - \frac{{p}}{{2}})]^2 = 2px$$，即 $$4(x^2 - p x + \frac{{p^2}}{{4}}) = 2px$$，整理得 $$4x^2 - 4p x + p^2 = 2p x$$，即 $$4x^2 - 6p x + p^2 = 0$$
设交点横坐标 $$x_1, x_2$$，中点横坐标 $$\frac{{x_1 + x_2}}{{2}} = 3$$，由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{{6p}}{{4}} = \frac{{3p}}{{2}}$$，故 $$\frac{{3p}}{{2}} = 6$$，解得 $$p = 4$$，选 C
9. 抛物线 $$y^2 = 4x$$，准线 $$x = -1$$，焦点 $$F(1, 0)$$
设 $$P(x_1, y_1)$$ 在第一象限，$$|PM| = x_1 + 1 = 4$$，故 $$x_1 = 3$$，代入抛物线得 $$y_1^2 = 12$$，$$y_1 = 2\sqrt{3}$$
直线 $$PF$$ 斜率 $$k = \frac{{2\sqrt{3} - 0}}{{3 - 1}} = \frac{{2\sqrt{3}}}{{2}} = \sqrt{3}$$，选 C
10. 三点 $$A(3,1)$$，$$B(-2,k)$$，$$C(8,11)$$ 共线，则斜率相等：
$$k_{AB} = \frac{{k - 1}}{{-2 - 3}} = \frac{{k - 1}}{{-5}}$$，$$k_{AC} = \frac{{11 - 1}}{{8 - 3}} = \frac{{10}}{{5}} = 2$$
故 $$\frac{{k - 1}}{{-5}} = 2$$，解得 $$k - 1 = -10$$，$$k = -9$$，选 B