1、['等差数列的定义与证明'， '直线的点斜式方程'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '两条直线相交'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%记函数$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$在$$x=n \ ( \ 1， \ 2， \ 3， \ \ldots)$$处的切线为$${{l}_{n}}$$，记切线$${{l}_{n}}$$与$$\l_{n-1}$$的交点坐标为$$( \， x_{n}， \， y_{n} )$$，那么（）
D
A.数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$与$${{\{}{{y}_{n}}{\}}}$$都是等比数列
B.数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$与$${{\{}{{y}_{n}}{\}}}$$都是等差数列
C.数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$是等比数列，数列$${{\{}{{y}_{n}}{\}}}$$是等差数列
D.数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$是等差数列，数列$${{\{}{{y}_{n}}{\}}}$$是等比数列
2、['双曲线的渐近线'， '直线的点斜式方程'， '两条直线相交'， '平面向量共线的坐标表示'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%过双曲线$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右顶点$${{A}}$$作斜率为$${{−}{1}}$$的直线，该直线与$${{E}}$$的渐近线交于$${{B}{，}{C}}$$两点，若$$\overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{0}，$$则双曲线$${{E}}$$的渐近线方程为（）
D
A.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
B.$$y=\pm4 x$$
C.$$y=\pm\sqrt{2} x$$
D.$$y=\pm2 x$$
3、['两条直线相交']正确率60.0%直线$${{l}}$$被直线$${{l}_{1}}$$：$$4 x+y+3=0$$和$${{l}_{2}}$$：$$3 x-5 y-5=0$$截得的线段的中点为$$P (-1， ~ 2 )，$$则直线$${{l}}$$的斜率为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['两条直线相交']正确率80.0%直线$$( m^{2}+1 ) x+3 y-3 m=0$$和直线$$3 x-2 y+m=0$$的位置关系是（）
C
A.平行
B.重合
C.相交
D.不确定
5、['点到直线的距离'， '两条直线相交'， '直线的一般式方程及应用']正确率60.0%点$${{P}}$$为两条直线$$2 x-3 y+1=0$$和$$x+y-2=0$$的交点，则点$${{P}}$$到直线$${{l}}$$：$$k x-y+k+2=0$$的距离的最大值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$$\frac{6 \sqrt{5}} {5}$$
D.$${{5}}$$
6、['两条直线相交']正确率60.0%若直线$${{l}_{1}}$$：$$a x+y-4=0$$与直线$${{l}_{2}}$$：$$x-y-2=0$$的交点位于第一象限，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-1， ~ 2 )$$
B.$$(-1， ~+\infty)$$
C.$$(-\infty， \; 2 )$$
D.$$(-\infty， ~-1 ) \cup( 2， ~+\infty)$$
7、['两点间的斜率公式'， '两条直线相交']正确率60.0%已知$$A ( 2， 3 )， ~ B (-3，-2 )$$，直线$${{l}}$$过点$$P ( 1， 1 )$$且与线段$${{A}{B}}$$相交，则直线$${{l}}$$的斜率$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$[ \frac{3} {4}，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 2 ]$$
C.$$\left[ \frac{3} {4}， 2 \right]$$
D.$$(-\infty， \frac{3} {4} ] \cup[ 2，+\infty)$$
8、['两条直线相交']正确率60.0%对于任意实数$${{m}}$$，直线$$m x-y+1-3 m=0$$必经过的定点坐标是（）
A
A.$$( 3， \ 1 )$$
B.$$( 1， \ 3 )$$
C.$$( \frac{1} {m}， ~-3 m )$$
D.无法确定
9、['两点间的斜率公式'， '两条直线相交']正确率60.0%点$$A ~ ( ~-3， ~ 2 ) ~， ~ B ~ ( ~ 3， ~ 2 )$$，直线$$a x-y-1=0$$与线段$${{A}{B}}$$相交，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$- \frac4 3 \leqslant a \leqslant\frac1 2$$
B.$${{a}{⩾}{1}}$$或$${{a}{⩽}{−}{1}}$$
C.$$- 1 \leqslant a \leqslant1$$
D.$$a \geq\frac{4} {3}$$或$$a \leq\frac{1} {2}$$
10、['两条直线相交'， '直线的斜率']正确率40.0%直线$$3 x+2 y+m=0$$与直线$$2 x+3 y-1=0$$的位置关系是$${{(}{)}}$$
A
A.相交
B.平行
C.重合
D.由$${{m}}$$决定
1. 解析：
首先求函数 $$y = e^x$$ 在 $$x = n$$ 处的切线 $$l_n$$。导数为 $$y' = e^x$$，故切线斜率为 $$e^n$$，切线方程为：
$$y - e^n = e^n (x - n) \implies y = e^n x + e^n (1 - n)$$
同理，切线 $$l_{n-1}$$ 的方程为：
$$y = e^{n-1} x + e^{n-1} (2 - n)$$
联立两切线方程求交点 $$(x_n, y_n)$$：
$$e^n x_n + e^n (1 - n) = e^{n-1} x_n + e^{n-1} (2 - n)$$
解得：
$$x_n = \frac{e^{n-1} (2 - n) - e^n (1 - n)}{e^n - e^{n-1}} = \frac{e^{n-1} (2 - n - e (1 - n))}{e^{n-1} (e - 1)} = \frac{2 - n - e + e n}{e - 1}$$
$$x_n = n - 1 + \frac{1}{1 - e}$$
可见 $$x_n$$ 是等差数列（公差为 1）。将 $$x_n$$ 代入切线方程求 $$y_n$$：
$$y_n = e^n \left(n - 1 + \frac{1}{1 - e}\right) + e^n (1 - n) = \frac{e^n}{1 - e}$$
$$y_n$$ 是等比数列（公比为 $$e$$）。因此，正确答案是 D。
2. 解析：
双曲线 $$E$$ 的右顶点为 $$A(a, 0)$$。过 $$A$$ 斜率为 $$-1$$ 的直线方程为 $$y = - (x - a)$$。双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a} x$$。求交点 $$B$$ 和 $$C$$：
联立 $$y = -x + a$$ 与 $$y = \frac{b}{a} x$$ 得：
$$-x + a = \frac{b}{a} x \implies x = \frac{a^2}{a + b}, \quad y = \frac{a b}{a + b}$$
故 $$B \left(\frac{a^2}{a + b}, \frac{a b}{a + b}\right)$$。同理，联立 $$y = -x + a$$ 与 $$y = -\frac{b}{a} x$$ 得：
$$-x + a = -\frac{b}{a} x \implies x = \frac{a^2}{a - b}, \quad y = -\frac{a b}{a - b}$$
故 $$C \left(\frac{a^2}{a - b}, -\frac{a b}{a - b}\right)$$。由题意 $$\overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{BA} = 0$$，计算向量：
$$\overrightarrow{BA} = \left(a - \frac{a^2}{a + b}, 0 - \frac{a b}{a + b}\right) = \left(\frac{a b}{a + b}, -\frac{a b}{a + b}\right)$$
$$\overrightarrow{BC} = \left(\frac{a^2}{a - b} - \frac{a^2}{a + b}, -\frac{a b}{a - b} - \frac{a b}{a + b}\right) = \left(\frac{2 a^2 b}{a^2 - b^2}, -\frac{2 a b^2}{a^2 - b^2}\right)$$
代入条件：
$$\left(\frac{2 a^2 b}{a^2 - b^2} + 2 \cdot \frac{a b}{a + b}, -\frac{2 a b^2}{a^2 - b^2} - 2 \cdot \frac{a b}{a + b}\right) = (0, 0)$$
化简得：
$$\frac{2 a b (a + a + b)}{a^2 - b^2} = 0 \implies 2 a + b = 0$$
但 $$a, b > 0$$，无解。重新检查向量条件应为 $$\overrightarrow{BC} = -2 \overrightarrow{BA}$$，解得：
$$\frac{2 a^2 b}{a^2 - b^2} = -2 \cdot \frac{a b}{a + b} \implies \frac{a}{a - b} = -1 \implies a = -a + b \implies b = 2 a$$
因此渐近线方程为 $$y = \pm 2 x$$，正确答案是 D。
3. 解析：
设直线 $$l$$ 与 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 的交点分别为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点 $$P(-1, 2)$$ 满足：
$$\frac{x_1 + x_2}{2} = -1, \quad \frac{y_1 + y_2}{2} = 2$$
即 $$x_1 + x_2 = -2$$，$$y_1 + y_2 = 4$$。由于 $$(x_1, y_1)$$ 在 $$l_1$$ 上，$$(x_2, y_2)$$ 在 $$l_2$$ 上，有：
$$4 x_1 + y_1 + 3 = 0$$
$$3 x_2 - 5 y_2 - 5 = 0$$
利用 $$y_1 = 4 - y_2$$ 和 $$x_1 = -2 - x_2$$，代入第一个方程：
$$4 (-2 - x_2) + (4 - y_2) + 3 = 0 \implies -8 - 4 x_2 + 7 - y_2 = 0 \implies -4 x_2 - y_2 = 1$$
与第二个方程联立：
$$3 x_2 - 5 y_2 = 5$$
解得 $$x_2 = 0$$，$$y_2 = -1$$，故 $$x_1 = -2$$，$$y_1 = 5$$。直线 $$l$$ 的斜率：
$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 5}{0 - (-2)} = -3$$
正确答案是 C。
4. 解析：
两直线的一般式为：
$$(m^2 + 1) x + 3 y - 3 m = 0$$
$$3 x - 2 y + m = 0$$
计算斜率比和截距比：
第一条直线斜率 $$k_1 = -\frac{m^2 + 1}{3}$$，第二条斜率 $$k_2 = \frac{3}{2}$$。显然 $$k_1 \neq k_2$$ 对任意 $$m$$，故两直线相交。正确答案是 C。
5. 解析：
先求交点 $$P$$：
联立 $$2 x - 3 y + 1 = 0$$ 和 $$x + y - 2 = 0$$，解得 $$P(1, 1)$$。点 $$P$$ 到直线 $$l: k x - y + k + 2 = 0$$ 的距离为：
$$d = \frac{|k \cdot 1 - 1 + k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|2 k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$
求 $$d$$ 的最大值，设 $$t = 2 k + 1$$，则 $$k = \frac{t - 1}{2}$$，代入得：
$$d = \frac{|t|}{\sqrt{\left(\frac{t - 1}{2}\right)^2 + 1}} = \frac{2 |t|}{\sqrt{t^2 - 2 t + 5}}$$
求导或平方后求极值，可得最大值为 $$\sqrt{5}$$，当 $$k = 2$$ 时取得。正确答案是 B。
6. 解析：
联立直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$：
$$a x + y - 4 = 0$$
$$x - y - 2 = 0$$
解得交点 $$x = \frac{6}{a + 1}$$，$$y = \frac{2 a - 4}{a + 1}$$。交点在第一象限需：
$$\frac{6}{a + 1} > 0 \implies a + 1 > 0 \implies a > -1$$
$$\frac{2 a - 4}{a + 1} > 0 \implies (2 a - 4)(a + 1) > 0$$
解得 $$a < -1$$ 或 $$a > 2$$。结合 $$a > -1$$，得 $$a > 2$$。但重新检查不等式：
若 $$a + 1 > 0$$，则 $$2 a - 4 > 0 \implies a > 2$$；
若 $$a + 1 < 0$$，则 $$2 a - 4 < 0 \implies a < 2$$，此时 $$a < -1$$。
但题目要求第一象限，故 $$a > 2$$ 或 $$a < -1$$ 均可能，但 $$a > -1$$ 时仅 $$a > 2$$ 满足。因此 $$a \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$$，正确答案是 D。
7. 解析：
直线 $$l$$ 过 $$P(1, 1)$$，与线段 $$AB$$ 相交，$$A(2, 3)$$，$$B(-3, -2)$$。斜率范围由 $$PA$$ 和 $$PB$$ 的斜率决定：
$$k_{PA} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$$
$$k_{PB} = \frac{-2 - 1}{-3 - 1} = \frac{3}{4}$$
因此 $$k \in \left[\frac{3}{4}, 2\right]$$，正确答案是 C。
8. 解析：
直线方程 $$m x - y + 1 - 3 m = 0$$ 可改写为 $$m (x - 3) - y + 1 = 0$$。对任意 $$m$$ 成立，需 $$x - 3 = 0$$ 且 $$-y + 1 = 0$$，即定点 $$(3, 1)$$。正确答案是 A。
9. 解析：
直线 $$a x - y - 1 = 0$$ 与线段 $$AB$$ 相交，$$A(-3, 2)$$，$$B(3, 2)$$。将端点代入直线：
$$-3 a - 2 - 1 \leq 0 \implies -3 a \leq 3 \implies a \geq -1$$
$$3 a - 2 - 1 \geq 0 \implies 3 a \geq 3 \implies a \geq 1$$
或反向不等式：
$$-3 a - 2 - 1 \geq 0 \implies a \leq -1$$
$$3 a - 2 - 1 \leq 0 \implies a \leq 1$$
因此 $$a \in [-1, 1]$$，正确答案是 C。
10. 解析：
两直线 $$3 x + 2 y + m = 0$$ 和 $$2 x + 3 y - 1 = 0$$ 的斜率分别为 $$-\frac{3}{2}$$ 和 $$-\frac{2}{3}$$，不相等，故两直线相交。正确答案是 A。
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