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正确率19.999999999999996%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足：$$| \overrightarrow{a} |=2， \; \; < \overrightarrow{a}， \; \; \overrightarrow{b} >=6 0^{\circ}$$，且$$\overrightarrow{c}=-\frac{1} {2} \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} ( t \in R ) \; \;，$$则$$| \overrightarrow{c} |+| \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} |$$的最小值为（）
A
A.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{9 \sqrt{3}} {4}$$
2、['直线中的对称问题']正确率40.0%将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点$$A ( 0， \ 2 )$$与点$$B ( 4， \ 0 )$$重合，若此时点$$C ( 7， \ 3 )$$与点$$D ( m， \， n )$$也重合，则$${{m}{+}{n}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{3 4} {5}$$
B.$$\frac{3 3} {5}$$
C.$$\frac{3 2} {5}$$
D.$$\frac{3 1} {5}$$
3、['直线中的对称问题']正确率80.0%已知点$$M ( 1，-2 )$$、$$N ( m， 2 )$$，若$${{M}}$$、$${{N}}$$关于直线$$x+2 y-2=0$$对称，则实数$${{m}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{7}}$$
4、['直线中的对称问题'， '截距的定义']正确率60.0%点$$A ~ ( 1， ~ 3 )$$关于直线$$y=k x+b$$对称的点是$$B ~ ( ~-2， ~ 1 )$$，则直线$$y=k x+b$$在$${{x}}$$轴上的截距是（）
D
A.$$- \frac{3} {2}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$- \frac{6} {5}$$
D.$$\frac{5} {6}$$
6、['直线中的对称问题'， '两点间的距离']正确率40.0%设点$${{P}}$$为直线$${{l}}$$：$$x+y-4=0$$上的动点，点$$A (-2， ~ 0 )， ~ B ( 2， ~ 0 )，$$则$$| P A |+| P B |$$的最小值为（）
A
A.$${{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
B.$${\sqrt {{2}{6}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
7、['直线中的对称问题'， '两直线的交点坐标'， '两条直线相交']正确率60.0%直线$$3 x-4 y+5=0$$关于直线$$x+y=0$$对称的直线方程为（）
A
A.$$4 x-3 y+5=0$$
B.$$4 x-3 y-5=0$$
C.$$3 x+4 y-5=0$$
D.$$3 x+4 y+5=0$$
8、['直线中的对称问题']正确率60.0%点$$P ( a， \ b )$$关于直线$$\l\colon~ x+y+1=0$$对称的点仍在$${{l}}$$上，则$${{a}{+}{b}}$$等于（）
A
A.$${－{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{0}}$$
9、['直线中的对称问题']正确率40.0%唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为$$x^{2}+y^{2} \leqslant1$$，若将军从点$$A ( 4，-3 )$$处出发，河岸线所在直线方程为$$x+y=4$$，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{8}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
10、['直线中的对称问题']正确率80.0%点$$\left( 1， 1 \right)$$关于直线$${{l}}$$：$$x+y+2=0$$对称的点的坐标为$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-1，-1 )$$
B.$$(-2，-2 )$$
C.$$( 0， 0 )$$
D.$$(-3，-3 )$$
1. 已知向量$$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$满足：$$|\overrightarrow{a}|=2$$，$$\langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \rangle=60^\circ$$，且$$\overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} (t \in R)$$，则$$|\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$$的最小值为（ ）。
设$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$夹角为60°，且$$|\overrightarrow{a}|=2$$，但$$|\overrightarrow{b}|$$未知。令$$|\overrightarrow{b}|=b$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2 \cdot b \cdot \cos 60^\circ = b$$。
$$\overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$。
计算模平方：
$$|\overrightarrow{c}|^2 = \left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\right)^2 = \frac{1}{4}|\overrightarrow{a}|^2 - t \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + t^2 |\overrightarrow{b}|^2 = 1 - t b + t^2 b^2$$
$$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|^2 = \left(-\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\right)^2 = \frac{9}{4}|\overrightarrow{a}|^2 - 3t \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + t^2 |\overrightarrow{b}|^2 = 9 - 3t b + t^2 b^2$$
令$$f(t)=|\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=\sqrt{1 - t b + t^2 b^2} + \sqrt{9 - 3t b + t^2 b^2}$$
注意到两项根号内二次项相同，可视为点$$(t b, t^2 b^2)$$到定点距离和，但更优方法是几何解释：$$\overrightarrow{c}$$在$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$张成平面中运动，$$|\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$$表示动点C到原点O和点A的距离和，最小值即OA长度（当C在线段OA上时），但此处C受限于线性组合。实际上，当$$\overrightarrow{c}$$与$$\overrightarrow{a}$$共线时可能取极值。
尝试对t求导找最小值，但解析复杂。观察选项，猜测$$|\overrightarrow{b}|$$可能为1（题未给出，但可能隐含），则$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=1$$。
则$$|\overrightarrow{c}|^2=1 - t + t^2$$，$$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|^2=9 - 3t + t^2$$。
$$f(t)=\sqrt{t^2 - t + 1} + \sqrt{t^2 - 3t + 9}$$
求导：$$f'(t)=\frac{2t-1}{2\sqrt{t^2-t+1}} + \frac{2t-3}{2\sqrt{t^2-3t+9}}$$
令f'(t)=0，解得t=1时，$$f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{-1}{2\sqrt{7}} \neq 0$$；t=2时，$$f'(2)=\frac{3}{2\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{7}} >0$$。实际上最小值在t使两项导数相反时。
更聪明方法：考虑$$|\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}| \geq |\overrightarrow{a}|=2$$，但2小于选项，故需更大。实际上，当$$\overrightarrow{c}$$与$$\overrightarrow{a}$$垂直时可能最小？但计算繁琐。
重新审视：题中未指定$$|\overrightarrow{b}|$$，可能其值不影响最小值？实际上，通过缩放，可设$$|\overrightarrow{b}|=1$$（因为t可调），则$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=1$$。
则$$f(t)=\sqrt{t^2 - t + 1} + \sqrt{t^2 - 3t + 9}$$
求最小值：令导数=0，数值解得t≈1.5时，f≈√1.75 + √5.25≈1.32+2.29=3.61；t=2时，f=√3+√7≈1.73+2.65=4.38；t=1时，f=√1+√7≈1+2.65=3.65。最小值约3.61，但选项无。
可能我误解：题中“<60°”是夹角，但$$|\overrightarrow{b}|$$未给出，或许需用几何意义：$$\overrightarrow{c}$$是过点$$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$$沿$$\overrightarrow{b}$$方向的直线，$$|\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$$是点C到O和A的距离和，最小值即A到直线距离？但O和A在直线同侧？
实际上，O(0,0), A(2,0)（设$$\overrightarrow{a}$$沿x轴），$$\overrightarrow{b}$$与x轴60°，$$|\overrightarrow{b}|$$未知。点C：$$(-\frac{1}{2}\cdot2,0)+t(b\cos60^\circ, b\sin60^\circ)=(-1,0)+t(\frac{b}{2}, \frac{b\sqrt{3}}{2})$$。
则$$|\overrightarrow{c}|$$是C到O距离，$$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$$是C到A(2,0)距离。
$$f(t)=|CO|+|CA|$$，最小值即当C在线段OA上时，为OA=2，但C在直线上，该直线不一定过线段OA。
直线参数方程：x=-1 + \frac{b}{2} t, y=0 + \frac{b\sqrt{3}}{2} t。
点O(0,0), A(2,0)。
求f(t)最小，即直线上点到两定点距离和最小，作O关于直线对称点O'，则最小值=|O'A|。
但计算复杂，且b未定。
或许题中隐含$$|\overrightarrow{b}|=1$$，则直线：x=-1+\frac{1}{2}t, y=\frac{\sqrt{3}}{2}t。
O(0,0), A(2,0)。
求O关于直线对称点O'：直线斜率k=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}，过点(-1,0)。
方程：y-0=\sqrt{3}(x+1)，即y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}。
O到直线距离d=\frac{|0-0+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}。
O'坐标：过O垂线: y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x，与直线交点P：解-\frac{1}{\sqrt{3}}x=\sqrt{3}x+\sqrt{3}，得x=-\frac{3}{4}, y=\frac{\sqrt{3}}{4}。
则O'=2P-O=(-1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})。
则|O'A|=\sqrt{(2+1.5)^2+(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3.5^2+0.866^2}=\sqrt{12.25+0.75}=\sqrt{13}。
故最小值$$\sqrt{13}$$，选A。
因此，答案为A。
2. 将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合，若此时点C(7,3)与点D(m,n)也重合，则m+n的值为（ ）。
折叠即反射变换，反射轴为AB的中垂线。
AB中点M(2,1)，AB斜率k_{AB}=\frac{0-2}{4-0}=-\frac{1}{2}，故中垂线斜率k=2（负倒数）。
中垂线方程：过M(2,1)，y-1=2(x-2)，即y=2x-3。
点C(7,3)关于直线y=2x-3的对称点即为D(m,n)。
求对称点：设D(m,n)，则CD中点在直线上，且CD与直线垂直。
中点坐标(\frac{7+m}{2}, \frac{3+n}{2})在y=2x-3上：\frac{3+n}{2}=2\cdot\frac{7+m}{2}-3，即3+n=2(7+m)-6，n=14+2m-6-3=2m+5。
CD斜率k_{CD}=\frac{n-3}{m-7}，与直线斜率2垂直，故\frac{n-3}{m-7}=-\frac{1}{2}。
代入n=2m+5：\frac{2m+5-3}{m-7}=-\frac{1}{2}，即\frac{2m+2}{m-7}=-\frac{1}{2}。
交叉相乘：2(2m+2)=-(m-7)，4m+4=-m+7，5m=3，m=3/5。
则n=2*(3/5)+5=6/5+25/5=31/5。
故m+n=3/5+31/5=34/5，选A。
3. 已知点M(1,-2)、N(m,2)，若M、N关于直线x+2y-2=0对称，则实数m的值是（ ）。
对称即MN中点在直线上，且MN与直线垂直。
中点坐标(\frac{1+m}{2}, \frac{-2+2}{2})=(\frac{1+m}{2}, 0)。
代入直线：\frac{1+m}{2}+2*0-2=0，即\frac{1+m}{2}=2，1+m=4，m=3。
验证垂直：直线斜率k=-1/2，MN斜率k_{MN}=\frac{2-(-2)}{m-1}=\frac{4}{3-1}=2，而2*(-1/2)=-1，确垂直。
故m=3，选A。
4. 点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1)，则直线y=kx+b在x轴上的截距是（ ）。
对称轴为AB的中垂线。
AB中点M(\frac{1-2}{2}, \frac{3+1}{2})=(-0.5, 2)。
AB斜率k_{AB}=\frac{1-3}{-2-1}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}，故对称轴斜率k=-3/2（负倒数）。
故直线为y-2=-\frac{3}{2}(x+0.5)，即y-2=-\frac{3}{2}x -0.75，y=-\frac{3}{2}x+1.25。
在x轴上截距：令y=0，0=-\frac{3}{2}x+1.25，\frac{3}{2}x=1.25，x=1.25*\frac{2}{3}=\frac{2.5}{3}=\frac{5}{6}。
故截距为5/6，选D。
6. 设点P为直线l：x+y-4=0上的动点，点A(-2,0)、B(2,0)，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）。
即求直线l上点P，使到A、B距离和最小。
作A关于直线l的对称点A'，则最小值=|A'B|。
直线l：x+y-4=0。
A(-2,0)，求其对称点A'(a,b)：AA'中点在l上，且AA'与l垂直。
l斜率k=-1，故AA'斜率=1（负倒数）。
AA'方程：过A，y-0=1*(x+2)，即y=x+2。
与l交点：解x+y-4=0代入y=x+2：x+x+2-4=0，2x-2=0，x=1，y=3。
故中点M(1,3)，则A'=2M-A=(2-(-2),6-0)=(4,6)。
则|A'B|=\sqrt{(4-2)^2+(6-0)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}。
故最小值2√10，选A。
7. 直线3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线方程为（ ）。
关于x+y=0对称，即互换x,y并取反。
将原方程中x换为-y，y换为-x：3(-y)-4(-x)+5=0，即-3y+4x+5=0，整理得4x-3y+5=0。
故答案为A。
8. 点P(a,b)关于直线l: x+y+1=0对称的点仍在l上，则a+b等于（ ）。
对称点Q在l上，且P也在l上（因为对称点仍在l上，则P必在l上）。
故P(a,b)满足l方程：a+b+1=0，即a+b=-1。
选A。
9. 军营区域x^2+y^2≤1，将军从A(4,-3)出发，河岸线x+y=4，到达军营区域即可，求最短总路程。
先求A关于河岸线的对称点A'，则将军从A到河岸线再到军营的最短路径=从A'到军营的最短路径。
河岸线x+y=4。
A(4,-3)，求对称点A'(a,b)：AA'中点在线上，且垂直。
线斜率k=-1，故AA'斜率=1。
AA'方程：y+3=1*(x-4)，即y=x-7。
与河岸线交点：解x+y=4代入y=x-7：x+x-7=4，2x=11，x=5.5，y=-1.5。
中点M(5.5,-1.5)，则A'=2M-A=(11-4, -3+3)=(7,0)。
则最短路径=从A'到军营区域的最短距离-1（因为区域内部，到达边界即可）。
A'(7,0)到圆心O(0,0)距离=7，军营半径1，故最短距离=7-1=6。
故最短总路程6，选C。
10. 点(1,1)关于直线l：x+y+2=0对称的点的坐标为（ ）。
设对称点(a,b)，则中点在l上，且连线垂直l。
中点(\frac{1+a}{2}, \frac{1+b}{2})在l上：\frac{1+a}{2}+\frac{1+b}{2}+2=0，即1+a+1+b+4=0，a+b=-6。
连线斜率k=\frac{b-1}{a-1}，l斜率k=-1，故垂直：\frac{b-1}{a-1}=1（负倒数），即b-1=a-1，a=b。
代入a+b=-6：2a=-6，a=-3，b=-3。
故对称点(-3,-3)，选D。