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正确率40.0%已知直线$${{k}{x}{−}{3}{−}{y}{=}{0}}$$与圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{=}{3}}$$的一个交点为$${{P}}$$，圆$${{C}}$$与$${{x}}$$轴交于$${{A}{、}{B}}$$两点，则当$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积最大时，$${{k}}$$的值是（）
A
A.$${{1}}$$和$${{5}}$$
B.$${{1}}$$和$${{−}{3}}$$
C.$$\frac{-3-2 \sqrt6} {3}$$和$${{−}{3}}$$
D.$$\frac{-3-2 \sqrt6} {3}$$和$$\frac{-3+2 \sqrt6} {3}$$
2、['圆的一般方程'， '与圆有关的最值问题']正确率80.0%设圆$${{C}_{1}}$$：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{{1}{0}}{x}{+}{4}{y}{+}{{2}{5}}{=}{0}}$$与圆$${{C}_{2}}$$：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{{1}{4}}{x}{+}{2}{y}{+}{{2}{5}}{=}{0}}$$，点$${{A}}$$，$${{B}}$$分别是$${{C}_{1}}$$，$${{C}_{2}}$$上的动点，$${{M}}$$为直线$${{y}{=}{x}}$$上的动点，则$${{|}{M}{A}{|}{+}{|}{M}{B}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{3}{\sqrt {{1}{5}}}{−}{7}}$$
B.$${{3}{\sqrt {{1}{3}}}{−}{7}}$$
C.$${{5}{\sqrt {2}}{−}{4}}$$
D.$${{5}{\sqrt {3}}{−}{4}}$$
3、['直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']正确率60.0%若直线$${{l}{：}{a}{x}{+}{b}{y}{+}{1}{=}{0}}$$始终平分圆$${{M}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{+}{4}{x}{+}{2}{y}{+}{1}{=}{0}}$$的周长，则$${\sqrt {{(}{a}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{b}{−}{2}{{)}^{2}}}}$$的最小值为（）
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{1}{0}}$$
4、['直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知圆$${{C}{：}{（}{x}{−}{1}{）^{2}}{+}{（}{y}{−}{2}{）^{2}}{=}{{2}{5}}}$$及直线$${{l}{：}{（}{2}{m}{+}{1}{）}{x}{+}{（}{m}{+}{1}{）}{y}{=}{7}{m}{+}{4}{（}{m}{∈}{R}{）}}$$，则直线$${{l}}$$过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（）
A
A.$${（{3}{，}{1}{）}{，}{4}{\sqrt {5}}}$$
B.$${（{2}{，}{1}{）}{，}{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${（{−}{3}{，}{1}{）}{，}{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${（{2}{，}{−}{1}{）}{，}{3}{\sqrt {3}}}$$
5、['两点间的斜率公式'， '直线和圆相切'， '与圆有关的最值问题'， '直线的倾斜角']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=b x-b^{2}-\frac1 4 ( b > 0， x \in R )$$，若$${{(}{m}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{n}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{2}}$$，则$$\frac{f ( n )} {f ( m )}$$的取值范围是（）
D
A.$${{[}{−}{\sqrt {3}}{，}{2}{]}}$$
B.$${{[}{\sqrt {3}}{，}{2}{+}{\sqrt {3}}{]}}$$
C.$${{[}{2}{−}{\sqrt {3}}{，}{\sqrt {3}}{]}}$$
D.$${{[}{2}{−}{\sqrt {3}}{，}{2}{+}{\sqrt {3}}{]}}$$
6、['两点间的斜率公式'， '点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '直线系方程'， '圆的一般方程'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知直线$${{l}{:}{2}{m}{x}{−}{y}{−}{8}{m}{−}{3}{=}{0}}$$和圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{6}{x}{+}{{1}{2}}{y}{+}{{2}{0}}{=}{0}}$$，则直线$${{l}}$$被圆$${{C}}$$截得的弦长的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{2}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线和圆相切'， '与圆有关的最值问题']正确率19.999999999999996%设函数$$f ( x )=\frac{a^{2}-a \operatorname{s i n} x+1} {a^{2}-a \operatorname{c o s} x+1} ( a \neq0 )$$的最大值为$${{M}{（}{a}{）}}$$，最小值为$${{m}{（}{a}{）}}$$，则（）
A
A.存在实数$${{a}}$$，使$${{M}{（}{a}{）}{+}{m}{（}{a}{）}{=}{{2}{.}{5}}}$$
B.存在实数$${{a}}$$，使$${{M}{（}{a}{）}{+}{m}{（}{a}{）}{=}{−}{{2}{.}{5}}}$$
C.对任意实数$${{a}}$$，有$${{M}{（}{a}{）}{+}{m}{（}{a}{）}{⩾}{3}}$$
D.对任意实数$${{a}}$$，有$${{M}{（}{a}{）}{+}{m}{（}{a}{）}{=}{2}}$$
8、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '与圆有关的最值问题']正确率60.0%已知点$${{A}{(}{−}{1}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{0}{，}{2}{)}}$$，点$${{P}}$$是圆$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$上任意一点，则$${{△}{P}{A}{B}}$$面积的最大值是（）
D
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$1+\frac{\sqrt{5}} {2}$$
D.$$2+\frac{\sqrt{5}} {2}$$
9、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知$${{P}{(}{a}{，}{b}{)}}$$为圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{−}{4}{y}{+}{4}{=}{0}}$$上任意一点，则$$\frac{b-1} {a+1}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$${{0}}$$
10、['圆的定义与标准方程'， '与圆有关的最值问题'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%阿波罗尼斯$${{(}}$$约公元前$${{2}{6}{2}{−}{{1}{9}{0}}}$$年$${{)}}$$证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数$${{k}{(}{k}{>}{0}}$$且$${{k}{≠}{1}{)}}$$的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点$${{A}}$$，$${{B}}$$间的距离为$${{2}}$$，动点$${{P}}$$与$${{A}}$$，$${{B}}$$距离之比为$${\sqrt {2}}$$，当$${{P}}$$，$${{A}}$$，$${{B}}$$不共线时，$${{△}{P}{A}{B}}$$面积的最大值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
1. 首先将圆的方程化为标准形式：$$x^2 + y^2 - 2x = 3$$ 可以表示为 $$(x-1)^2 + y^2 = 4$$，圆心为 $$(1, 0)$$，半径为 $$2$$。圆与 $$x$$ 轴的交点为 $$A(-1, 0)$$ 和 $$B(3, 0)$$，故 $$AB = 4$$。
要使三角形 $$PAB$$ 的面积最大，需使点 $$P$$ 到 $$AB$$ 的距离最大。由于 $$AB$$ 在 $$x$$ 轴上，$$P$$ 的纵坐标绝对值最大时面积最大，即 $$P$$ 为圆的最高点或最低点 $$(1, 2)$$ 或 $$(1, -2)$$。
将 $$P(1, 2)$$ 和 $$P(1, -2)$$ 代入直线方程 $$kx - 3 - y = 0$$，解得 $$k = 5$$ 或 $$k = 1$$。因此，选项 A 正确。
2. 将圆 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 化为标准形式：
$$C_1: (x-5)^2 + (y+2)^2 = 4$$，圆心 $$O_1(5, -2)$$，半径 $$r_1 = 2$$；
$$C_2: (x-7)^2 + (y+1)^2 = 25$$，圆心 $$O_2(7, -1)$$，半径 $$r_2 = 5$$。
点 $$M$$ 在直线 $$y = x$$ 上，设 $$M(t, t)$$。$$|MA| + |MB|$$ 的最小值可以转化为求 $$|MO_1| - r_1 + |MO_2| - r_2$$ 的最小值。
计算 $$O_1$$ 关于直线 $$y = x$$ 的对称点 $$O_1'(-2, 5)$$，则 $$|MO_1| = |MO_1'|$$。连接 $$O_1'O_2$$，其距离为 $$\sqrt{(7+2)^2 + (-1-5)^2} = 3\sqrt{13}$$。
因此，$$|MA| + |MB|$$ 的最小值为 $$3\sqrt{13} - 7$$，选项 B 正确。
3. 圆 $$M$$ 的方程为 $$(x+2)^2 + (y+1)^2 = 4$$，圆心为 $$(-2, -1)$$。直线 $$l$$ 始终平分圆的周长，说明直线过圆心，代入得 $$-2a - b + 1 = 0$$，即 $$2a + b = 1$$。
要求 $$\sqrt{(a-2)^2 + (b-2)^2}$$ 的最小值，即求点 $$(2, 2)$$ 到直线 $$2a + b = 1$$ 的距离：
$$\frac{|2 \times 2 + 2 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$，选项 A 正确。
4. 直线 $$l$$ 的方程可以整理为 $$(2x + y - 7)m + (x + y - 4) = 0$$，令系数为零，解得定点为 $$(3, 1)$$。
圆的圆心为 $$(1, 2)$$，半径为 $$5$$。定点 $$(3, 1)$$ 到圆心的距离为 $$\sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{5}$$。
最短弦长为 $$2\sqrt{5^2 - (\sqrt{5})^2} = 4\sqrt{5}$$，选项 A 正确。
5. 函数 $$f(x) = bx - b^2 - \frac{1}{4}$$ 表示斜率为 $$b$$ 的直线。条件 $$(m+1)^2 + (n+1)^2 = 2$$ 表示点 $$(m, n)$$ 在以 $$(-1, -1)$$ 为圆心、半径为 $$\sqrt{2}$$ 的圆上。
$$\frac{f(n)}{f(m)} = \frac{bn - b^2 - \frac{1}{4}}{bm - b^2 - \frac{1}{4}}$$。通过几何分析或参数化，可得其取值范围为 $$[2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$$，选项 D 正确。
6. 直线 $$l$$ 可整理为 $$2m(x - 4) - (y + 3) = 0$$，说明直线恒过定点 $$(4, -3)$$。
圆的方程为 $$(x-3)^2 + (y+6)^2 = 25$$，圆心为 $$(3, -6)$$，半径为 $$5$$。定点 $$(4, -3)$$ 到圆心的距离为 $$\sqrt{(4-3)^2 + (-3+6)^2} = \sqrt{10}$$。
最短弦长为 $$2\sqrt{5^2 - (\sqrt{10})^2} = 2\sqrt{15}$$，选项 C 正确。
7. 函数 $$f(x) = \frac{a^2 - a \sin x + 1}{a^2 - a \cos x + 1}$$。通过分析，可以发现 $$f(x)$$ 的极值点满足 $$\sin x = \cos x$$，此时 $$f(x) = 1$$。
进一步分析可得 $$M(a) + m(a) = 2$$ 对所有实数 $$a$$ 成立，选项 D 正确。
8. 点 $$A(-1, 0)$$ 和 $$B(0, 2)$$ 确定的直线方程为 $$2x - y + 2 = 0$$。圆的圆心为 $$(1, 0)$$，半径为 $$1$$。
点 $$P$$ 到直线 $$AB$$ 的最大距离为圆心到直线的距离加上半径：$$\frac{|2 \times 1 - 0 + 2|}{\sqrt{5}} + 1 = \frac{4}{\sqrt{5}} + 1$$。
三角形面积的最大值为 $$\frac{1}{2} \times AB \times \text{距离} = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \left(\frac{4}{\sqrt{5}} + 1\right) = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$，选项 C 正确。
9. 圆 $$C$$ 的方程为 $$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1$$，圆心为 $$(1, 2)$$，半径为 $$1$$。
$$\frac{b-1}{a+1}$$ 表示点 $$(a, b)$$ 与点 $$(-1, 1)$$ 的斜率。最大斜率为圆心到 $$(-1, 1)$$ 的距离加上半径的切线斜率。
计算得斜率为 $$\frac{4}{3}$$，选项 C 正确。
10. 设 $$A(-1, 0)$$ 和 $$B(1, 0)$$，动点 $$P$$ 满足 $$\frac{PA}{PB} = \sqrt{2}$$。由阿波罗尼斯圆的性质，圆的方程为 $$(x-3)^2 + y^2 = 8$$，圆心为 $$(3, 0)$$，半径为 $$2\sqrt{2}$$。
三角形 $$PAB$$ 的面积最大时，$$P$$ 为圆的最高点或最低点 $$(3, 2\sqrt{2})$$ 或 $$(3, -2\sqrt{2})$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$，选项 A 正确。