直线中的对称问题-直线和圆方程的拓展与综合知识点专题基础自测题解析-云南省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['直线中的对称问题']

正确率80.0%已知点$${{M}{(}{1}{，}{−}{2}{)}}$$、$${{N}{(}{m}{，}{2}{)}}$$，若$${{M}}$$、$${{N}}$$关于直线$${{x}{+}{2}{y}{−}{2}{=}{0}}$$对称，则实数$${{m}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{7}}$$

2、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直']

正确率40.0%已知圆$${{C}{:}{{(}{x}{+}{2}{)}^{2}}{+}{{(}{y}{−}{6}{)}^{2}}{=}{1}}$$和直线$${{l}{:}{3}{x}{−}{4}{y}{+}{5}{=}{0}}$$，则圆$${{C}}$$关于直线$${{l}}$$对称的圆的方程是（）

A.$${{(}{x}{+}{4}{)}^{2}{+}{{(}{y}{+}{2}{)}^{2}}{=}{1}}$$

B.$${{(}{x}{−}{4}{)}^{2}{+}{{(}{y}{+}{2}{)}^{2}}{=}{1}}$$

C.$${{(}{x}{−}{2}{)}^{2}{+}{{(}{y}{+}{4}{)}^{2}}{=}{1}}$$

D.$${{(}{x}{−}{2}{)}^{2}{+}{{(}{y}{−}{4}{)}^{2}}{=}{1}}$$

3、['直线中的对称问题']

正确率60.0%点$${{A}{（}{2}{，}{−}{3}{）}}$$关于直线$${{y}{=}{−}{x}{+}{1}}$$的对称点为（）

A.$${{(}{3}{{，}{−}}{2}{)}}$$

B.$${{(}{4}{{，}{−}}{1}{)}}$$

C.$${{(}{5}{，}{0}{)}}$$

D.$${{(}{3}{，}{1}{)}}$$

4、['两点间的斜率公式'， '直线中的对称问题']

正确率40.0%已知$${{A}{（}{3}{，}{−}{1}{）}{，}{B}{（}{5}{，}{−}{2}{）}}$$，点$${{P}}$$在直线$${{x}{+}{y}{=}{0}}$$上，则$${{|}{P}{A}{|}{+}{|}{P}{B}{|}}$$取最小值是（）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{2 \sqrt{1 7}+\sqrt{1 5 3}} {5}$$

C.$${\sqrt {{1}{7}}}$$

D.$${{2}}$$

5、['直线中的对称问题'， '直线的两点式方程']

正确率60.0%光线通过点$${{A}{(}{2}{，}{3}{)}}$$，在直线$${{l}{：}{x}{+}{y}{+}{1}{=}{0}}$$上反射，反射光线经过点$${{B}{(}{1}{，}{1}{)}}$$，则反射光线所在直线方程为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}{x}{−}{5}{y}{+}{1}{=}{0}}$$

B.$${{4}{x}{+}{5}{y}{−}{1}{=}{0}}$$

C.$${{3}{x}{−}{4}{y}{+}{1}{=}{0}}$$

D.$${{3}{x}{−}{4}{y}{−}{1}{=}{0}}$$

6、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直']

正确率40.0%已知点$${{P}{(}{1}{，}{2}{)}}$$与直线$${{l}{：}{2}{x}{−}{y}{+}{5}{=}{0}}$$，则点$${{P}}$$关于直线$${{l}}$$的对称点坐标为$${{(}{)}}$$．

A.$${{(}{−}{3}{，}{3}{)}}$$

B.$${{(}{−}{3}{，}{4}{)}}$$

C.$${{(}{−}{2}{，}{4}{)}}$$

D.$${{(}{−}{2}{，}{3}{)}}$$

7、['直线中的对称问题'， '直线的方向向量与斜率的关系'， '直线的两点式方程'， '充分、必要条件的判定'， '两条直线平行']

正确率40.0%下列说法正确的是（）

A.$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{1}{)}}$$是直线$${{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$的一个方向向量

B.点$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$关于直线$${{y}{=}{x}{+}{1}}$$的对称点为$${{(}{1}{，}{1}{)}}$$

C.过$${{(}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{)}{，}{{(}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{)}}}$$两点的直线方程为$$\frac{y-y_{1}} {y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}} {x_{2}-x_{1}}$$

D.$${{“}{a}{b}{=}{4}{”}}$$是$${{“}}$$直线$${{2}{x}{+}{a}{y}{−}{1}{=}{0}}$$与直线$${{b}{x}{+}{2}{y}{−}{2}{=}{0}}$$平行$${{”}}$$的充要条件

9、['直线中的对称问题'， '直线系方程']

正确率60.0%若直线$${{l}_{1}{:}{y}{=}{k}{(}{x}{−}{4}{)}}$$与直线$${{l}_{2}}$$关于点$${{(}{2}{，}{1}{)}}$$对称，则直线$${{l}_{2}}$$恒过定点（）

A.$${{(}{0}{，}{4}{)}}$$

B.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$

C.$${{(}{−}{2}{，}{4}{)}}$$

D.$${{(}{4}{，}{−}{2}{)}}$$

10、['直线中的对称问题']

正确率80.0%直线$${{y}{=}{4}{x}{−}{5}}$$关于点$${{P}{(}{2}{，}{1}{)}}$$对称的直线方程是$${{(}{)}}$$

A.$${{y}{=}{4}{x}{+}{5}}$$

B.$${{y}{=}{4}{x}{−}{5}}$$

C.$${{y}{=}{4}{x}{−}{9}}$$

D.$${{y}{=}{4}{x}{+}{9}}$$

1、解析：

点$${{M}{(}{1}{,}{−}{2}{)}}$$和$${{N}{(}{m}{,}{2}{)}}$$关于直线$${{x}{+}{2}{y}{−}{2}{=}{0}}$$对称，步骤如下：

1. 中点$${{(}{\frac{1+m}{2}}{,}{\frac{-2+2}{2}}{)}}$$在直线上，代入得$$\frac{1+m}{2} + 2 \times 0 - 2 = 0$$，解得$$m = 3$$。

2. 验证斜率关系：直线$${{MN}}$$的斜率为$$\frac{2-(-2)}{m-1} = \frac{4}{2} = 2$$，与对称直线斜率$$-\frac{1}{2}$$乘积为$$-1$$，符合垂直条件。

因此，$$m = 3$$，选A。

2、解析：

圆$${{C}{:}{{(}{x}{+}{2}{)}^{2}}{+}{{(}{y}{−}{6}{)}^{2}}{=}{1}}$$关于直线$${{l}{:}{3}{x}{−}{4}{y}{+}{5}{=}{0}}$$对称的圆，步骤如下：

1. 圆心$$(-2,6)$$关于直线$$l$$的对称点$$(x',y')$$满足：

- 中点在直线上：$$3\left(\frac{-2+x'}{2}\right) -4\left(\frac{6+y'}{2}\right) +5=0$$

- 斜率垂直：$$\frac{y'-6}{x'+2} = -\frac{4}{3}$$

2. 解得对称圆心为$$(4,-2)$$，因此圆的方程为$${{(}{x}{−}{4}{)}^{2}{+}{{(}{y}{+}{2}{)}^{2}}{=}{1}}$$，选B。

3、解析：

点$${{A}{（}{2}{，}{−}{3}{）}}$$关于直线$${{y}{=}{−}{x}{+}{1}}$$的对称点，步骤如下：

1. 设对称点为$$(x',y')$$，中点在直线上：$$\frac{-3+y'}{2} = -\frac{2+x'}{2} +1$$

2. 斜率垂直：$$\frac{y'+3}{x'-2} = 1$$

3. 解得对称点为$$(4,-1)$$，选B。

4、解析：

点$${{P}}$$在直线$${{x}{+}{y}{=}{0}}$$上，求$${{|}{P}{A}{|}{+}{|}{P}{B}{|}}$$的最小值，步骤如下：

1. 作$$A(3,-1)$$关于直线$$x+y=0$$的对称点$$A'$$为$$(1,-3)$$。

2. 连接$$A'B$$，与直线$$x+y=0$$的交点即为所求$$P$$。

3. 计算$$A'B$$的距离为$$\sqrt{(5-1)^2 + (-2+3)^2} = \sqrt{17}$$，选C。

5、解析：

光线反射问题，步骤如下：

1. 作$$A(2,3)$$关于直线$$x+y+1=0$$的对称点$$A'$$为$$(-4,-3)$$。

2. 反射光线为$$A'B$$的直线，斜率为$$\frac{1-(-3)}{1-(-4)} = \frac{4}{5}$$。

3. 方程为$$y-1 = \frac{4}{5}(x-1)$$，化简为$$4x-5y+1=0$$，选A。

6、解析：

点$${{P}{(}{1}{,}{2}{)}}$$关于直线$${{l}{：}{2}{x}{−}{y}{+}{5}{=}{0}}$$的对称点，步骤如下：

1. 设对称点为$$(x',y')$$，中点在直线上：$$2\left(\frac{1+x'}{2}\right) - \left(\frac{2+y'}{2}\right) +5=0$$

2. 斜率垂直：$$\frac{y'-2}{x'-1} = -\frac{1}{2}$$

3. 解得对称点为$$(-3,4)$$，选B。

7、解析：

逐项分析：

A. 向量$$(2,1)$$与直线$$x+2y-3=0$$的法向量$$(1,2)$$点积为$$4 \neq 0$$，不是方向向量，错误。

B. 点$$(0,2)$$关于直线$$y=x+1$$的对称点为$$(1,1)$$，正确。

C. 两点式直线方程成立条件为$$x_1 \neq x_2$$且$$y_1 \neq y_2$$，未说明，不严谨。

D. 平行条件为$$ab=4$$且$$a \neq -4$$（否则重合），不充分，错误。

因此，选B。

9、解析：

直线$${{l}_{1}{:}{y}{=}{k}{(}{x}{−}{4}{)}}$$关于点$$(2,1)$$对称的直线$$l_2$$，步骤如下：

1. $$l_1$$过定点$$(4,0)$$，其关于$$(2,1)$$的对称点为$$(0,2)$$。

2. 因此$$l_2$$恒过定点$$(0,2)$$，选B。

10、解析：

直线$${{y}{=}{4}{x}{−}{5}}$$关于点$${{P}{(}{2}{,}{1}{)}}$$对称的直线，步骤如下：

1. 取直线上两点，如$$(0,-5)$$和$$(1,-1)$$，对称后为$$(4,7)$$和$$(3,3)$$。

2. 斜率为$$\frac{3-7}{3-4} = 4$$，方程为$$y-7=4(x-4)$$，化简为$$y=4x-9$$，选C。

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