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正确率40.0%已知$$a， b， \boldsymbol{e}$$是平面向量$${{，}{e}}$$是单位向量.若非零向量$${{a}}$$与$${{e}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$，向量$${{b}}$$满足$$\boldsymbol{b}^{2}-4 \boldsymbol{e} \cdot\boldsymbol{b}+3=0$$，则$$| a-b |$$的最小值是（）
A
A.$$\sqrt3-1$$
B.$$\sqrt3+1$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
2、['直线系方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%设$${{m}{∈}{R}{，}}$$过定点$${{A}}$$的动直线$$x+m y=0$$和过定点$${{B}}$$的动直线$$m x-y-m+3=0$$交于点$$P ( x， ~ y )$$(点$${{P}}$$与点$${{A}{，}{B}}$$不重合)，则$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积的最大值是（）
C
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{5}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
3、['直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']正确率60.0%在圆$$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y=0$$内，过点$$( 0， \ 1 )$$的最短弦所在直线的倾斜角是（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
4、['与圆有关的最值问题']正确率40.0%一条光线从点$$P (-1， ~ 2 )$$射出，经$${{x}}$$轴反射后与圆$${{C}}$$：$$( x-2 )^{2}+( y-3 )^{2}=1$$相切于点$${{Q}{，}}$$则光线从点$${{P}}$$到点$${{Q}}$$所经过的路程的长度为（）
B
A.$${\sqrt {{3}{4}}}$$
B.$${\sqrt {{3}{3}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$${{3}}$$
5、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%若点$${{P}}$$在曲线$$x^{2}+y^{2}=| x |+| y |$$上运动，则点$${{P}}$$到直线$$x+y+2=0$$的距离的最大值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{4}}$$
6、['函数奇偶性的应用'， '函数的对称性'， '函数单调性的判断'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$对任意$$x_{1}， ~ x_{2} ~ ( x_{1} \neq x_{2} )$$都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$函数$$f \ ( \ x-1 )$$的图象关于$$( {\bf1}， \enspace0 )$$成中心对称，如果实数$${{m}{，}{n}}$$满足不等式$$f ~ ( m^{2}-6 m+2 1 ) ~+f ~ ( n^{2}-8 n ) ~ < 0$$，那么$${{m}^{2}{+}{{n}^{2}}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 9， \ 4 9 )$$
B.$$( 1 3， \ 4 9 )$$
C.$$( 9， \ 2 5 )$$
D.$$( \ 3， \ 7 )$$
7、['点到直线的距离'， '直线和圆相切'， '圆中的对称问题'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，圆$${{C}}$$经过点$$( \mathbf{0}， \ \mathbf{1} ) \， \ \ ( \mathbf{0}， \ \mathbf{3} )$$，且与$${{x}}$$轴正半轴相切，若圆$${{C}}$$上存在点$${{M}}$$，使得直线$${{O}{M}}$$与直线$$y=k x ~ ( \ k > 0 )$$关于$${{y}}$$轴对称，则$${{k}}$$的最小值为
D
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
8、['直线和圆相切'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知平面上三点$$( 0， 4 )， ~ ( 4， 0 )， ~ ( 4， 4 )$$构成的三角形及其内部即为区域$${{D}}$$，过$${{D}}$$中的任意一点$${{M}}$$作圆$$x^{2}+y^{2}=1$$的两条切线，切点分别为$$A， ~ B， ~ O$$为坐标原点，则当$${{∠}{A}{O}{M}}$$最小时，$$| \overrightarrow{M O} |=\alpha$$）
B
A.$$\sqrt{2}-1$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
9、['两点间的距离'， '圆的一般方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知实数$${{x}{，}{y}}$$满足方程$$x^{2}+y^{2}-8 x+1 5=0$$，则$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}}$$最大值为（）
D
A.$${{3}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{2}{5}}$$
10、['直线与圆的方程的应用'， '直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']正确率60.0%已知圆$$C : x^{2}+y^{2}=4$$，直线$$l : y=k x+m$$，当$${{k}}$$变化时，$${{l}}$$截得圆$${{C}}$$弦长的最小值为$${{2}}$$，则$${{m}{=}}$$（）
C
A.$${{±}{2}}$$
B.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{±}{\sqrt {5}}}$$
1. 解析：
设向量 $$e$$ 沿 x 轴正方向，则 $$a$$ 与 $$e$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$，可表示为 $$a = |a|(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3})$$。由 $$b^2 - 4e \cdot b + 3 = 0$$，得 $$|b|^2 - 4b_x + 3 = 0$$。设 $$b = (x, y)$$，则 $$x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$$，即 $$(x-2)^2 + y^2 = 1$$，表示 $$b$$ 的终点在以 $$(2,0)$$ 为圆心、半径为 1 的圆上。
$$|a - b|$$ 的最小值为圆心 $$(2,0)$$ 到直线 $$a$$ 的距离减去半径。直线 $$a$$ 的斜率为 $$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$，方程为 $$y = \sqrt{3}x$$。圆心到直线的距离为 $$\frac{|\sqrt{3} \cdot 2 - 0|}{\sqrt{1 + 3}} = \sqrt{3}$$，减去半径 1 得 $$\sqrt{3} - 1$$。
答案：A
2. 解析：
直线 $$x + m y = 0$$ 过定点 $$A(0,0)$$。直线 $$m x - y - m + 3 = 0$$ 可改写为 $$m(x-1) - y + 3 = 0$$，过定点 $$B(1,3)$$。
两直线交点 $$P$$ 满足 $$x + m y = 0$$ 和 $$m x - y - m + 3 = 0$$。消去 $$m$$ 得 $$x^2 + (y-1.5)^2 = 2.25$$，即 $$P$$ 的轨迹是以 $$(0,1.5)$$ 为圆心、半径为 1.5 的圆。
$$△PAB$$ 的面积最大值为 $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$$，其中 $$AB = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$，$$r$$ 为 $$P$$ 到 $$AB$$ 的最大距离，即半径 1.5。但实际计算发现当 $$P$$ 与圆心连线垂直于 $$AB$$ 时，面积最大为 5。
答案：B
3. 解析：
圆方程为 $$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5$$，圆心 $$C(-1,2)$$。过点 $$(0,1)$$ 的最短弦垂直于 $$CP$$，其中 $$CP$$ 的斜率为 $$\frac{2-1}{-1-0} = -1$$，故弦的斜率为 1，倾斜角为 $$\frac{\pi}{4}$$。
答案：B
4. 解析：
点 $$P(-1,2)$$ 关于 x 轴的对称点为 $$P'(-1,-2)$$。光线反射后与圆 $$C$$ 相切，路径为 $$P'$$ 到圆的切线长。圆心 $$C(2,3)$$，半径 1。
$$P'C = \sqrt{(2+1)^2 + (3+2)^2} = \sqrt{34}$$，切线长为 $$\sqrt{34 - 1} = \sqrt{33}$$。
答案：B
5. 解析：
曲线 $$x^2 + y^2 = |x| + |y|$$ 关于坐标轴对称，考虑第一象限部分为 $$x^2 + y^2 = x + y$$，即 $$(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 0.5$$，半径为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
圆心 $$(0.5,0.5)$$ 到直线 $$x + y + 2 = 0$$ 的距离为 $$\frac{|0.5 + 0.5 + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$，加上半径得 $$\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$。
答案：A
6. 解析：
由条件知 $$f(x)$$ 为增函数，且 $$f(x-1)$$ 关于 $$(1,0)$$ 对称，故 $$f(x)$$ 关于 $$(0,0)$$ 对称，为奇函数。
不等式 $$f(m^2-6m+21) + f(n^2-8n) < 0$$ 即 $$f(m^2-6m+21) < -f(n^2-8n) = f(-n^2+8n)$$，由单调性得 $$m^2-6m+21 < -n^2+8n$$。
整理得 $$(m-3)^2 + (n-4)^2 < 4$$，表示以 $$(3,4)$$ 为圆心、半径为 2 的圆内点。$$m^2 + n^2$$ 表示点到原点的距离平方，范围为 $$(5, 49)$$，但结合 $$(m-3)^2 + (n-4)^2 < 4$$，实际范围为 $$(13, 49)$$。
答案：B
7. 解析：
圆 $$C$$ 经过 $$(0,1)$$ 和 $$(0,3)$$，且与 x 轴正半轴相切，设圆心 $$(a,2)$$，半径为 $$a$$。由距离条件得 $$\sqrt{a^2 + 1} = a$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$，但矛盾。重新推导得圆心 $$(2,2)$$，半径 2。
直线 $$OM$$ 与 $$y = kx$$ 关于 y 轴对称，故 $$OM$$ 的斜率为 $$-k$$。圆上存在点 $$M$$ 使 $$OM$$ 斜率为 $$-k$$，需 $$-k$$ 在切线斜率范围内。切线斜率为 $$\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故 $$k \geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
答案：A
8. 解析：
区域 $$D$$ 为以 $$(0,4)$$、$$(4,0)$$、$$(4,4)$$ 为顶点的三角形。当 $$M$$ 在 $$(4,0)$$ 时，$$|MO| = 4$$，但需最小化 $$∠AOM$$，即最大化 $$\cos∠AOM = \frac{1}{|MO|}$$，故 $$|MO|$$ 最小为 $$4\sqrt{2} - 1$$。
答案：D
9. 解析：
方程 $$x^2 + y^2 - 8x + 15 = 0$$ 可化为 $$(x-4)^2 + y^2 = 1$$，表示圆心 $$(4,0)$$、半径 1 的圆。
$$x^2 + y^2$$ 表示点到原点的距离平方，最大值为圆心到原点的距离加半径的平方：$$(4 + 1)^2 = 25$$。
答案：D
10. 解析：
圆 $$C$$ 的半径为 2，弦长最小值为 2 时，弦心距最大为 $$\sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$。直线 $$l: y = kx + m$$ 的弦心距为 $$\frac{|m|}{\sqrt{1 + k^2}}$$，其最大值为 $$\sqrt{3}$$，当 $$k = 0$$ 时 $$\frac{|m|}{1} = \sqrt{3}$$，故 $$m = \pm \sqrt{3}$$。
答案：C