直线中的对称问题-直线和圆方程的拓展与综合知识点月考基础选择题自测题答案-北京市等高一数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['直线中的对称问题']

正确率80.0%一条光线从点$$A ( 2， 4 )$$射出，倾斜角为$${{6}{0}{°}}$$角，遇$${{x}}$$轴后反射，则反射光线的直线方程为$${{(}{)}}$$

A.$$\sqrt{3} x-y+4-2 \sqrt{3}=0$$

B.$$x-\sqrt{3} y-2-4 \sqrt{3}=0$$

C.$$\sqrt{3} x+y+4-2 \sqrt{3}=0$$

D.$$x+\sqrt{3} y-2-4 \sqrt{3}=0$$

2、['直线中的对称问题'， '直线的一般式方程及应用']

正确率60.0%光线从点$$P ( 5， 3 )$$射出，与$${{x}}$$轴交于点$$Q ( 2， 0 )$$，经$${{x}}$$轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A.$$3 x+7 y-6=0$$

B.$$3 x-8 y-6=0$$

C.$$x+y-2=0$$

D.$$2 x-y-2=0$$

3、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '直线的两点式方程']

正确率60.0%直线$$l_{1} : 2 x-y+3=0$$关于直线$$l : x-y+2=0$$对称的直线$${{l}_{2}}$$的方程是（）

A.$$x-2 y+3=0$$

B.$$x-2 y-3=0$$

C.$$x+2 y+1=0$$

D.$$x+2 y-1=0$$

4、['直线中的对称问题']

正确率80.0%直线$$y=2 x+1$$关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称的直线方程为$${{(}{)}}$$

A.$$x-3 y+1=0$$

B.$$x-3 y-1=0$$

C.$$x-2 y-1=0$$

D.$$x-2 y+1=0$$

5、['直线中的对称问题']

正确率40.0%唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为$$B (-1， 0 )$$，若将军从山脚下的点$$A ( 1， 0 )$$处出发，河岸线所在直线方程为$$x+2 y=4$$，则“将军饮马”的最短总路程为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 3 5}} {5}$$

D.$$\frac{1 6} {5}$$

7、['直线中的对称问题'， '圆的定义与标准方程'， '圆中的对称问题']

正确率40.0%已知圆$$C_{:} \ x^{2}+y^{2}=4$$，则圆$${{C}}$$关于直线$$l \colon~ x-y-3=0$$对称的圆的方程为（）

A.$$x^{2}+y^{2}-6 x+6 y+1 4=0$$

B.$$x^{2}+y^{2}+6 x-6 y+1 4=0$$

C.$$x^{2}+y^{2}-4 x+4 y+4=0$$

D.$$x^{2}+y^{2}+4 x-4 y+4=0$$

8、['直线中的对称问题'， '点到直线的距离'， '直线和圆相切']

正确率40.0%一束光线从点$$(-\frac{6} {5}， \frac{1 7} {5} )$$射出，经直线$$y=\frac{1} {2} x$$反射后与圆$$x^{2}+y^{2}+6 x-4 y+1 2=0$$相切，则反射光线所在直线的斜率为$${{(}{)}}$$．

A.$$- \frac{4} {3}$$或$$- \frac{3} {4}$$

B.$$- \frac{3} {2}$$或$$- \frac{2} {3}$$

C.$$- \frac{5} {4}$$或$$- \frac{4} {5}$$

D.$$- \frac{5} {3}$$或$$- \frac{3} {5}$$

10、['直线中的对称问题'， '两点间的距离'， '与圆有关的最值问题']

正确率40.0%唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河$${{.}}$$”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为$$x^{2}+y^{2} \leqslant1$$，若将军从点$$A ( 2， 0 )$$处出发，河岸线所在直线方程为$$x+y=4$$，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为$${{(}{)}}$$

A.$$\sqrt{1 0}-1$$

B.$${{2}{\sqrt {5}}{−}{1}}$$

C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$

D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

1. **解析**：

光线从点$$A(2,4)$$射出，倾斜角为$$60°$$，斜率为$$\tan60° = \sqrt{3}$$，故入射光线方程为：$$y - 4 = \sqrt{3}(x - 2)$$，即$$\sqrt{3}x - y + 4 - 2\sqrt{3} = 0$$。与$$x$$轴交点为反射点，设反射点为$$(x_0, 0)$$，代入得$$x_0 = 2 - \frac{4}{\sqrt{3}}$$。反射光线关于$$x$$轴对称，斜率变为$$-\sqrt{3}$$，方程为：$$y = -\sqrt{3}(x - x_0)$$，化简后为$$\sqrt{3}x + y + 4 - 2\sqrt{3} = 0$$。答案为 **C**。

2. **解析**：

入射光线从$$P(5,3)$$到$$Q(2,0)$$，斜率为$$\frac{3-0}{5-2} = 1$$，方程为$$y = x - 2$$。反射光线关于$$x$$轴对称，斜率变为$$-1$$，方程为$$y = -x + 2$$，即$$x + y - 2 = 0$$。答案为 **C**。

3. **解析**：

求直线$$l_1: 2x - y + 3 = 0$$关于$$l: x - y + 2 = 0$$的对称直线。先求$$l_1$$与$$l$$的交点$$(-1,1)$$。任取$$l_1$$上一点$$(0,3)$$，求其关于$$l$$的对称点$$(1,2)$$。对称直线$$l_2$$过$$(-1,1)$$和$$(1,2)$$，斜率为$$\frac{1}{2}$$，方程为$$x - 2y + 3 = 0$$。答案为 **A**。

4. **解析**：

直线$$y = 2x + 1$$关于$$y = x$$对称，交换$$x$$和$$y$$得$$x = 2y + 1$$，即$$y = \frac{x - 1}{2}$$，整理为$$x - 2y - 1 = 0$$。答案为 **C**。

5. **解析**：

军营$$B(-1,0)$$关于河岸线$$x + 2y = 4$$的对称点为$$B'$$，计算得$$B'(3,4)$$。最短总路程为$$A(1,0)$$到$$B'$$的距离：$$\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$。但需减去军营区域半径$$1$$，故最短总路程为$$2\sqrt{5} - 1$$。答案为 **B**。

7. **解析**：

圆$$C: x^2 + y^2 = 4$$关于直线$$l: x - y - 3 = 0$$对称的圆，圆心对称点为$$(3,-3)$$，半径不变。圆的方程为$$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 4$$，展开得$$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 14 = 0$$。答案为 **A**。

8. **解析**：

入射点为$$(-\frac{6}{5}, \frac{17}{5})$$，反射直线为$$y = \frac{1}{2}x$$。求入射光线关于$$y = \frac{1}{2}x$$的对称光线，斜率为$$k$$，利用反射条件解得$$k = -\frac{4}{3}$$或$$-\frac{3}{4}$$。答案为 **A**。

10. **解析**：

军营区域为$$x^2 + y^2 \leq 1$$，点$$A(2,0)$$关于河岸线$$x + y = 4$$的对称点为$$A'(4,2)$$。最短总路程为$$A'$$到军营区域的最小距离减半径：$$\sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} - 1 = \sqrt{20} - 1 = 2\sqrt{5} - 1$$。答案为 **B**。

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