直线中的对称问题-直线和圆方程的拓展与综合知识点月考基础自测题解析-宁夏回族自治区等高一数学选择必修,平均正确率100.0%

首先分析题目给出的条件，设函数 $$f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x$$。

我们需要证明 $$f(x)$$ 在定义域内是单调递减的。

步骤1：求导数

对 $$f(x)$$ 求导，得到： $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 1$$

步骤2：分析导数的符号

化简 $$f'(x)$$： $$f'(x) = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

由于分母 $$\sqrt{x^2 + 1} > 0$$，我们只需分析分子 $$x - \sqrt{x^2 + 1}$$ 的符号。

步骤3：比较 $$x$$ 和 $$\sqrt{x^2 + 1}$$

对于任意实数 $$x$$，有： $$\sqrt{x^2 + 1} > \sqrt{x^2} = |x| \geq x$$

因此，$$x - \sqrt{x^2 + 1} < 0$$，即 $$f'(x) < 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。

结论

由于导数 $$f'(x)$$ 始终为负，函数 $$f(x)$$ 在其定义域内单调递减。