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正确率19.999999999999996%已知向量$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}， \ | \boldsymbol{a} |=| \boldsymbol{b} |=2，$$若向量$${{c}}$$满足$$| c-a | \leq1，$$则$${{b}{⋅}{c}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[-4， 4 ]$$
B.$$[-2 \sqrt{3}， 2 \sqrt{3} ]$$
C.$$[ 0， 2 \sqrt{3} ]$$
D.$$[ 0， 4 ]$$
2、['两点间的距离'， '三角形的面积（公式）'， '直线和圆的数学文化问题'， '与圆有关的最值问题'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数$$k ( k > 0， k \neq1 )$$的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点$${{A}{，}{B}}$$间的距离为$${{2}{，}}$$动点$${{P}}$$与$${{A}{，}{B}}$$的距离之比为$$\frac{\sqrt{2}} {2}，$$当$$P， A， B$$不共线时$$. \， \triangle P A B$$的面积的最大值是（）
A
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
3、['立体几何中的轨迹问题'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%在四棱锥$$P-A B C D$$中，$${{A}{D}{⊥}}$$平面$$P A B. ~ B C \perp$$平面$${{P}{A}{B}}$$，底面$${{A}{B}{C}{D}}$$为梯形，$$A D=4， \， \， \， B C=8， \， \， \， A B=6$$，且$$\angle A P D=\angle B P C.$$则满足上述条件中的四棱锥的顶点轨迹是$${{(}{)}}$$
B
A.椭圆的一部分
B.圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
4、['与圆有关的轨迹问题']正确率60.0%已知半径为$${{1}}$$的动圆与圆$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=1 6$$相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）
D
A.$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=2 5$$
B.$$( x-5 )^{2}+( y-7 )^{2}=1 7$$或$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=1 5$$
C.$$( x-5 )^{2}+( y-7 )^{2}=9$$
D.$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=2 5$$或$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=9$$
5、['圆与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%若圆$$x^{2}+( y-a )^{2}=4$$上总存在两个点到坐标原点的距离为$${{1}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 1， ~ 3 )$$
B.$$[ 1， ~ 3 ]$$
C.$$(-3， ~-1 ) \cup( 1， ~ 3 )$$
D.$$[-3， ~-1 ] \cup[ 1， ~ 3 ]$$
6、['与圆有关的轨迹问题']正确率60.0%已知半径为$${{1}}$$的动圆与圆$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=1 6$$相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）
D
A.$$( x-5 )^{2}+( y-7 )^{2}=2 5$$
B.$$( x-5 )^{2}+( y-7 )^{2}=1 7$$或$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=1 5$$
C.$$( x-5 )^{2}+( y-7 )^{2}=9$$
D.$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=2 5$$或$$( x-5 )^{2}+( y+7 )^{2}=9$$
7、['与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%动点$${{A}}$$在圆$$x^{2}+y^{2}=1$$上移动时，它与定点$$B ( 3， 0 )$$连线的中点的轨迹方程是（）
B
A.$$x^{2}+y^{2}+3 x+2=0$$
B.$$x^{2}+y^{2}-3 x+2=0$$
C.$$x^{2}+y^{2}+3 y+2=0$$
D.$$x^{2}+y^{2}-3 y+2=0$$
8、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%已知$$A (-\frac{1} {2}， 0 )， B$$是圆$$F : ( x-\frac{1} {2} )^{2}+y^{2}=4 ( F$$为圆心)上一动点，线段$${{A}{B}}$$的垂直平分线交$${{B}{F}}$$于$${{P}}$$，则动点$${{P}}$$的轨迹方程为（）
A
A.$$x^{2}+\frac{4} {3} y^{2}=1$$
B.$$\frac{3} {4} x^{2}+y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{4} {3} y^{2}=1$$
D.$$x^{2}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
10、['双曲线的标准方程'， '与圆有关的轨迹问题'， '双曲线的定义']正确率40.0%设$${{M}}$$是圆$$P \! : \quad( \mathbf{\alpha}-4 )^{\mathbf{\alpha}^{2}}+y^{2}=3 6$$上一动点，点$${{Q}}$$的坐标为$$( \mathbf{\tau}-4， \mathbf{\tau} 0 )$$，若线段$${{M}{Q}}$$的垂直平分线交直线$${{P}{M}}$$于点$${{N}}$$，则点$${{N}}$$的轨迹方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {7}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {7}=1$$
1. 解析：
已知向量 $$a$$ 和 $$b$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$，且 $$|a| = |b| = 2$$。设 $$c$$ 满足 $$|c - a| \leq 1$$，即 $$c$$ 在以 $$a$$ 为中心、半径为 1 的圆内或圆上。
要求 $$b \cdot c$$ 的取值范围。我们可以将 $$c$$ 表示为 $$c = a + d$$，其中 $$|d| \leq 1$$。因此：
$$b \cdot c = b \cdot (a + d) = b \cdot a + b \cdot d$$
计算 $$b \cdot a = |a||b|\cos\frac{\pi}{3} = 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2$$。
$$b \cdot d$$ 的取值范围为 $$[-|b||d|, |b||d|] = [-2 \times 1, 2 \times 1] = [-2, 2]$$。
因此，$$b \cdot c$$ 的取值范围为 $$[2 - 2, 2 + 2] = [0, 4]$$。
正确答案：D
2. 解析：
根据阿波罗尼斯圆的定义，动点 $$P$$ 满足 $$\frac{PA}{PB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。设 $$A(-1, 0)$$ 和 $$B(1, 0)$$，则轨迹方程为：
$$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$$
平方后化简得：
$$(x+1)^2 + y^2 = \frac{1}{2}[(x-1)^2 + y^2]$$
进一步化简得到圆的方程：
$$x^2 + y^2 + 6x + 1 = 0$$
圆的半径为 $$2\sqrt{2}$$，圆心为 $$(-3, 0)$$。
$$\triangle PAB$$ 的面积最大时，$$P$$ 到 $$AB$$ 的距离最大，即 $$P$$ 在圆的最高点或最低点。此时面积为：
$$\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$
正确答案：A
3. 解析：
设 $$P$$ 在平面 $$PAB$$ 中的坐标为 $$(x, y, z)$$，由于 $$AD \perp PAB$$ 和 $$BC \perp PAB$$，$$AD$$ 和 $$BC$$ 均垂直于 $$PAB$$ 平面。
由 $$\angle APD = \angle BPC$$，可得 $$\tan \angle APD = \tan \angle BPC$$，即：
$$\frac{AD}{AP} = \frac{BC}{BP}$$
代入 $$AD = 4$$，$$BC = 8$$，得：
$$\frac{4}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{8}{\sqrt{(x-6)^2 + y^2 + z^2}}$$
化简得：
$$\sqrt{(x-6)^2 + y^2 + z^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
平方后整理为：
$$3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 12x - 36 = 0$$
即：
$$x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 12 = 0$$
这是一个球面方程，但在平面 $$PAB$$ 中 $$z = 0$$，因此轨迹是圆的一部分。
正确答案：B
4. 解析：
已知圆 $$(x-5)^2 + (y+7)^2 = 16$$ 的半径为 4，圆心为 $$(5, -7)$$。动圆半径为 1，与已知圆相切。
若动圆外切，则圆心距为 $$4 + 1 = 5$$，轨迹方程为：
$$(x-5)^2 + (y+7)^2 = 25$$
若动圆内切，则圆心距为 $$4 - 1 = 3$$，轨迹方程为：
$$(x-5)^2 + (y+7)^2 = 9$$
正确答案：D
5. 解析：
圆 $$x^2 + (y-a)^2 = 4$$ 的半径为 2，圆心为 $$(0, a)$$。坐标原点 $$(0, 0)$$ 到圆心的距离为 $$|a|$$。
要圆上总存在两个点到原点的距离为 1，需满足：
$$2 - 1 < |a| < 2 + 1$$
即 $$1 < |a| < 3$$，因此 $$a \in (-3, -1) \cup (1, 3)$$。
正确答案：C
7. 解析：
设动点 $$A$$ 在圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 上，坐标为 $$(\cos \theta, \sin \theta)$$。定点 $$B(3, 0)$$，中点 $$M$$ 的坐标为：
$$M\left(\frac{\cos \theta + 3}{2}, \frac{\sin \theta}{2}\right)$$
设 $$M(x, y)$$，则：
$$\cos \theta = 2x - 3$$，$$\sin \theta = 2y$$
代入圆的方程：
$$(2x - 3)^2 + (2y)^2 = 1$$
化简得：
$$4x^2 - 12x + 9 + 4y^2 = 1$$
即：
$$x^2 + y^2 - 3x + 2 = 0$$
正确答案：B
8. 解析：
圆心 $$F\left(\frac{1}{2}, 0\right)$$，半径 2。点 $$A\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$$。设 $$P$$ 为 $$AB$$ 垂直平分线与 $$BF$$ 的交点。
由垂直平分线性质，$$PA = PB$$。又 $$PB + PF = BF = 2$$，因此 $$PA + PF = 2$$。
即 $$P$$ 的轨迹是以 $$A$$ 和 $$F$$ 为焦点，长轴长为 2 的椭圆。焦距 $$c = \frac{1}{2}$$，半长轴 $$a = 1$$，半短轴 $$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
椭圆方程为：
$$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{\frac{3}{4}} = 1$$
即：
$$x^2 + \frac{4}{3}y^2 = 1$$
正确答案：A
10. 解析：
圆 $$P$$ 的方程为 $$(x-4)^2 + y^2 = 36$$，圆心 $$P(4, 0)$$，半径 6。点 $$Q(-4, 0)$$。
设 $$M$$ 在圆上，$$N$$ 为 $$MQ$$ 的垂直平分线与 $$PM$$ 的交点。由垂直平分线性质，$$NQ = NM$$，因此 $$PN + NQ = PN + NM = PM = 6$$。
即 $$N$$ 的轨迹是以 $$P$$ 和 $$Q$$ 为焦点，长轴长为 6 的椭圆。焦距 $$c = 4$$，半长轴 $$a = 3$$，半短轴 $$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{9 - 16}$$ 不成立，因此题目可能有误。
重新推导：若 $$N$$ 满足 $$PN - QN = PM - QM$$，可能为双曲线。但根据题目描述，更可能是椭圆，因此选择 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$$ 不匹配选项。
可能正确答案为 $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$$。
正确答案：D