与圆有关的轨迹问题-直线和圆方程的拓展与综合知识点教师选题进阶选择题自测题解析-重庆市等高一数学选择必修,平均正确率46.0%

正确率40.0%设点$${{A}}$$，$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$的坐标分别为$$(-1， 1 )$$，$$(-1， 0 )$$，$$( 1， 0 )$$，动点$$P ( x， y )$$满足：$$\sqrt{\left( x+1 \right)^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left( x-1 \right)^{2}+y^{2}}=4$$，给出下列四个结论：
①点$${{P}}$$的轨迹方程为$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$；
②$$| P A |+| P F_{2} | < 5$$；
③存在$${{4}}$$个点$${{P}}$$，使得$${{△}{P}{A}{{F}_{1}}}$$的面积为$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$；
④$$| P A |+| P F_{1} | > 1.$$
则正确结论的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%已知平面内两个定点$${{A}}$$，$${{B}}$$及动点$${{P}}$$，若$${\frac{| P B |} {| P A |}}=\lambda( \lambda> 0$$且$${{λ}{≠}{1}{)}}$$，则点$${{P}}$$的轨迹是圆$${{.}}$$后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆$${{.}}$$已知$$O ( 0， 0 )$$，$$Q ( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，直线$${{l}_{1}}$$：$$k x-y+2 k+3=0$$，直线$${{l}_{2}}$$：$$x+k y+3 k+2=0$$，若$${{P}}$$为$${{l}_{1}}$$，$${{l}_{2}}$$的交点，则$$3 | P O |+2 | P Q |$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{6}{−}{3}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{9}{−}{3}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{3}{+}{\sqrt {6}}}$$

正确率40.0%已知圆$$x^{2}+y^{2}=1$$，点$$A ~ ( 1， ~ 0 ) ~， ~ \triangle A B C$$内接于圆，且$$\angle B A C=6 0^{\circ}，$$当$${{B}{、}{C}}$$在圆上运动时，$${{B}{C}}$$中点的轨迹方程是（）

D

A.$$x^{2}+y^{2}=\frac{1} {2}$$

B.$$x^{2}+y^{2}=\frac{1} {4}$$

C.$$x^{2}+y^{2}=\frac{1} {2} \ ( \ x < \frac{1} {2} )$$

D.$$x^{2}+y^{2}=\frac{1} {4} \， \， ( \， x < \frac{1} {4} \， )$$

正确率60.0%已知圆$$A \colon\ ( \ x+2 )^{\ 2}+y^{2}=r^{2}$$和点$$B ~ ( \mathrm{\bf~ 2， ~ 0 ~} ) ~， ~ P$$是圆$${{A}}$$上任意一点，线段$${{B}{P}}$$的垂直平分线交$${{A}{P}}$$于点$$M， \; r > 4$$，则点$${{M}}$$的轨迹为（）

A

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

正确率40.0%$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$的两焦点，$${{Q}}$$是椭圆上任一点，过一焦点引$${{∠}{{F}_{1}}{Q}{{F}_{2}}}$$的外角平分线的垂线，则垂足$${{M}}$$的轨迹为（）

A

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

正确率40.0%已知动圆$${{P}}$$过定点$$A ~ ( \mathrm{\ensuremath{-3}}， \mathrm{\ensuremath{0}} )$$，并且与定圆$$B_{\colon} ~ ~ ( \ x-3 ) ~^{2}+y^{2}=6 4$$内切，则动圆的圆心$${{P}}$$的轨迹是（）

D

A.线段

B.直线

C.圆

D.椭圆

正确率40.0%已知$${{l}_{1}}$$和$${{l}_{2}}$$是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是$${{A}}$$，动点$${{B}{，}{C}}$$分别在$${{l}_{1}}$$和$${{l}_{2}}$$上，且$$B C=2 \sqrt{2}$$，过$$A， B， C$$三点的动圆所形成的区域的面积为（）

D

A.$${{π}}$$

B.$${{2}{π}}$$

C.$${{4}{π}}$$

D.$${{8}{π}}$$

正确率40.0%阿波罗尼斯$${{(}}$$约公元前$$2 6 2-1 9 0$$年$${{)}}$$证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数$$k ( k > 0$$且$${{k}{≠}{1}{)}}$$的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点$${{A}}$$，$${{B}}$$间的距离为$${{2}}$$，动点$${{P}}$$与$${{A}}$$，$${{B}}$$距离之比为$${\sqrt {2}}$$，当$${{P}}$$，$${{A}}$$，$${{B}}$$不共线时，$${{Δ}{P}{A}{B}}$$面积的最大值是$${{(}{)}}$$

A

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt2} 3$$

正确率40.0%动圆$${{M}}$$与圆$$C_{1} : ( x+4 )^{2}+y^{2}=1$$，圆$$C_{2} : x^{2}+y^{2}-8 x+7=0$$都外切，则动圆圆心$${{M}}$$的轨迹方程为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{x^{2}} {1 5}+y^{2}=1$$

B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {1 5}=1$$

C.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {1 5}=1 ( x \ge1 )$$

D.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {1 5}=1 ( x \leqslant-1 )$$

正确率80.0%动点$${{A}}$$在圆$$x^{2}+y^{2}=1$$上移动时，它与定点$$B ( 3， 0 )$$连线的中点的轨迹方程是$${{(}{)}}$$

A.$$( x+3 )^{2}+y^{2}=4$$

B.$$( x-3 )^{2}+y^{2}=1$$

C.$$( x+\frac{3} {2} )^{2}+y^{2}=1$$

D.$$( 2 x-3 )^{2}+4 y^{2}=1$$

动点 $$P(x, y)$$ 满足 $$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} + \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 4$$，这是椭圆的定义，其中 $$F_1(-1, 0)$$ 和 $$F_2(1, 0)$$ 为焦点，$$2a = 4$$，故 $$a = 2$$，焦距 $$c = 1$$，半短轴 $$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{3}$$。因此，椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，结论①正确。

对于结论②，$$|PA| + |PF_2|$$ 可以表示为 $$|PA| + (4 - |PF_1|) = 4 + (|PA| - |PF_1|)$$。由于 $$A(-1, 1)$$ 和 $$F_1(-1, 0)$$ 在同一垂直线上，$$|PA| - |PF_1| \leq |AF_1| = 1$$，因此 $$|PA| + |PF_2| \leq 5$$。但等号仅在 $$P$$ 位于椭圆顶点时成立，故 $$|PA| + |PF_2| < 5$$ 恒成立，结论②正确。

对于结论③，计算 $$\triangle PAF_1$$ 的面积。$$AF_1$$ 的长度为 $$1$$，$$P$$ 到 $$AF_1$$ 的距离为 $$|x + 1|$$。面积为 $$\frac{1}{2} \times 1 \times |x + 1| = \frac{3}{2}$$，解得 $$|x + 1| = 3$$，即 $$x = 2$$ 或 $$x = -4$$。代入椭圆方程，$$x = 2$$ 对应 $$y = 0$$（唯一解），$$x = -4$$ 无解（因为椭圆范围为 $$x \in [-2, 2]$$）。因此只有 $$1$$ 个点满足条件，结论③错误。

对于结论④，$$|PA| + |PF_1| \geq |AF_1| = 1$$，且等号仅在 $$P$$ 位于 $$AF_1$$ 上时成立。由于 $$P$$ 在椭圆上，不重合于 $$A$$ 或 $$F_1$$，故 $$|PA| + |PF_1| > 1$$ 恒成立，结论④正确。

综上，正确结论为①②④，共 $$3$$ 个，故选 C。

由题意，$$P$$ 是直线 $$l_1: kx - y + 2k + 3 = 0$$ 和 $$l_2: x + ky + 3k + 2 = 0$$ 的交点。解联立方程，将 $$l_1$$ 表示为 $$y = kx + 2k + 3$$，代入 $$l_2$$ 得 $$x + k(kx + 2k + 3) + 3k + 2 = 0$$，整理得 $$(1 + k^2)x + 2k^2 + 6k + 2 = 0$$，解得 $$x = -\frac{2k^2 + 6k + 2}{1 + k^2}$$。

将 $$x$$ 代入 $$y$$ 表达式，得 $$y = kx + 2k + 3 = \frac{-2k^3 - 6k^2 - 2k + 2k + 3 + 3k^2}{1 + k^2} = \frac{-2k^3 - 3k^2 + 3}{1 + k^2}$$。

因此，$$P$$ 的坐标为 $$\left(-\frac{2k^2 + 6k + 2}{1 + k^2}, \frac{-2k^3 - 3k^2 + 3}{1 + k^2}\right)$$。

计算 $$3|PO| + 2|PQ|$$，其中 $$O(0, 0)$$，$$Q(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$$。利用阿波罗尼斯圆的性质，设 $$\lambda = \frac{3}{2}$$，则轨迹为圆，最小值为 $$3 \times \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$，但需重新推导。

通过参数化计算，发现最小值为 $$9 - 3\sqrt{2}$$，对应选项 C。

圆 $$x^2 + y^2 = 1$$，点 $$A(1, 0)$$，$$\angle BAC = 60^\circ$$。设 $$BC$$ 中点为 $$M(x, y)$$，则 $$BM = CM$$，且 $$\angle BAM = 30^\circ$$。由几何性质，$$M$$ 的轨迹为以 $$OA$$ 为直径的圆内部分，半径为 $$\frac{1}{2}$$，方程为 $$x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$$，且 $$x < \frac{1}{2}$$。

故选 D。

圆 $$A: (x+2)^2 + y^2 = r^2$$，点 $$B(2, 0)$$，$$r > 4$$。$$BP$$ 的垂直平分线交 $$AP$$ 于 $$M$$，由定义 $$|MA| + |MB| = |MA| + |MP| = |AP| = r$$，故 $$M$$ 的轨迹为椭圆，选 A。

设 $$M$$ 为垂足，由椭圆性质及角平分线定理，$$M$$ 的轨迹为圆，选 A。

动圆 $$P$$ 与定圆 $$B$$ 内切，且过定点 $$A(-3, 0)$$。由定义 $$|PB| = 8 - |PA|$$，即 $$|PA| + |PB| = 8$$，且 $$AB = 6 < 8$$，故 $$P$$ 的轨迹为椭圆，选 D。

设 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 为坐标轴，$$A(0, 0)$$，$$B(a, 0)$$，$$C(0, b)$$，且 $$BC = \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{2}$$。过 $$A, B, C$$ 的圆的面积为 $$\pi \left(\frac{a^2 + b^2}{4}\right) = 2\pi$$，选 B。

设 $$A(-1, 0)$$，$$B(1, 0)$$，动点 $$P$$ 满足 $$\frac{|PA|}{|PB|} = \sqrt{2}$$，轨迹为阿波罗尼斯圆，半径 $$R = \frac{2\sqrt{2}}{1 - 2} = 2\sqrt{2}$$。面积最大值为 $$\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$，选 A。

圆 $$C_1: (x+4)^2 + y^2 = 1$$，圆 $$C_2: (x-4)^2 + y^2 = 9$$。动圆 $$M$$ 与两圆外切，故 $$|MC_1| - |MC_2| = 2$$，为双曲线，选 B。

设 $$A(\cos \theta, \sin \theta)$$，中点 $$M\left(\frac{3 + \cos \theta}{2}, \frac{\sin \theta}{2}\right)$$。消去参数得 $$(2x - 3)^2 + 4y^2 = 1$$，选 D。