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正确率60.0%已知$${{Q}}$$为直线$${{l}}$$：$$x+2 y+1=0$$上的动点，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{O P}=( 1， ~-3 )$$，记$${{P}}$$的轨迹为$${{E}}$$，则（）
C
A.$${{E}}$$是一个半径为$${\sqrt {5}}$$的圆
B.$${{E}}$$是一条与$${{l}}$$相交的直线
C.$${{E}}$$上的点到$${{l}}$$的距离均为$${\sqrt {5}}$$
D.$${{E}}$$是两条平行直线
2、['两点间的距离'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知直线$${{l}}$$：$$x \cdot\mathrm{c o s} \theta+y \cdot\mathrm{s i n} \theta=1，$$当$${{θ}}$$变化时，动直线始终没有经过点$${{P}}$$.定点$${{Q}}$$的坐标为$$(-2， \ 0 )，$$则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的取值范围为（）
D
A.$$[ 0， \ 2 ]$$
B.$$( 0， \ 2 )$$
C.$$[ 1， ~ 3 ]$$
D.$$( 1， ~ 3 )$$
3、['直线中的对称问题'， '直线和圆的数学文化问题'， '直线方程的综合应用']正确率40.0%唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：$${{“}}$$白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河$${{.}{”}}$$诗中隐含着一个有趣的数学问题$${{—}{—}{“}}$$将军饮马$${{”}}$$问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短$${{?}}$$在平面直角坐标系中，设军营所在位置为$$B (-1，-4 )$$，若将军从点$$A (-1， 2 )$$处出发，河岸线所在直线方程为$$x+y=3$$$${{.}}$$则$${{“}}$$将军饮马$${{“}}$$的最短总路程为（）
C
A.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
B.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {{1}{7}}}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['直线方程的综合应用'， '与圆有关的最值问题'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%过点$$P \， (-3， 0 )$$作直线$$2 a x+\left( a+b \right) y+2 b=0 ( a， b$$不同时为零)的垂线，垂足为$${{M}}$$，已知点$$N \， ( 2， 3 )$$，则当$${{a}{，}{b}}$$变化时，$${{|}{M}{N}{|}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[ 5-\sqrt{5}， 5+\sqrt{5} ]$$
B.$$[ 5-\sqrt{5}， 5 ]$$
C.$$[ 5， 5+\sqrt{5} ]$$
D.$$[ 0， 5+\sqrt{5} ]$$
8、['点到直线的距离'， '两条直线垂直'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%已知圆$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{3} )^{\mathbf{\alpha} 2}+\mathbf{\alpha} ( \mathbf{y}+\mathbf{3} )^{\mathbf{\alpha} 2}=\mathbf{9}$$的圆心为$${{C}}$$及点$$M \left( \begin{matrix} {1，} & {-2} \\ \end{matrix} \right)$$，则过$${{M}}$$且使圆心$${{C}}$$到它的距离最大的直线方程为（）
A
A.$$2 x-y-4=0$$
B.$$x-2 y-4=0$$
C.$$3 x-2 y-1=0$$
D.$$2 x-3 y-1=0$$
9、['直线的斜截式方程'， '一次函数的图象与直线的方程'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$：$$y=k x+b ( k \neq0 )，$$且$${{l}}$$不经过第三象限，若$$x \in[ 2， ~ 4 ]$$时$$， ~ y \in[-1， ~ 1 ]，$$则$${{k}{，}{b}}$$的值分别为（）
D
A.$${{2}{，}{3}}$$
B.$${{−}{2}{，}{3}}$$
C.$${{1}{，}{1}}$$
D.$${{−}{1}{，}{3}}$$
10、['直线方程的综合应用']正确率80.0%直线$$l : \left( k-1 \right) x+2 k y+3 k-1=0$$经过定点$${{A}}$$，则$${{A}}$$的纵坐标为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
1. 题目描述了点$$Q$$在直线$$l$$上运动，点$$P$$满足向量$$\overrightarrow{OP} = (1, -3)$$，求$$P$$的轨迹$$E$$的性质。
解析步骤：
设$$Q$$的坐标为$$(x, y)$$，根据直线方程$$x + 2y + 1 = 0$$，有$$x = -2y -1$$。
向量$$\overrightarrow{OQ} = (x, y)$$，$$\overrightarrow{OP} = (1, -3)$$，因此$$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (x - 1, y + 3)$$。
因为$$Q$$在直线$$l$$上，所以$$P$$的轨迹$$E$$是直线$$l$$平移向量$$(1, -3)$$后的结果。平移后的直线方程为$$(x - 1) + 2(y + 3) + 1 = 0$$，即$$x + 2y + 6 = 0$$。
验证选项：
A. $$E$$不是圆，错误。
B. $$E$$与$$l$$平行（斜率相同），不相交，错误。
C. 计算$$E$$到$$l$$的距离：$$d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 6 - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \neq \sqrt{5}$$，错误。
D. $$E$$是一条与$$l$$平行的直线，但题目描述$$E$$为一条直线，因此选项D不完全准确，但最接近题意。
正确答案：D
2. 题目给出直线$$l$$的参数方程$$x \cos \theta + y \sin \theta = 1$$，求点$$P$$到定点$$Q(-2, 0)$$的距离范围。
解析步骤：
直线$$l$$是单位圆的切线，其与单位圆$$x^2 + y^2 = 1$$相切。点$$P$$不在这组直线上，说明$$P$$在单位圆内或外。
计算$$P$$到$$Q$$的距离：$$|PQ| = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$$。
由于$$P$$不在任何一条$$l$$上，即$$x \cos \theta + y \sin \theta \neq 1$$对所有$$\theta$$成立，这意味着$$P$$到原点的距离$$d = \sqrt{x^2 + y^2} \neq 1$$。
因此，$$|PQ|$$的取值范围为$$(1, 3)$$（因为$$Q$$到原点的距离为2，$$P$$到原点的距离不等于1）。
正确答案：D
3. 题目是“将军饮马”问题，求从点$$A(-1, 2)$$到直线$$x + y = 3$$再到点$$B(-1, -4)$$的最短路径。
解析步骤：
首先找到$$A$$关于直线$$x + y = 3$$的对称点$$A'$$。
对称点公式：$$A' = (y_0 - b, x_0 - a)$$，其中直线为$$x + y = 3$$，斜率为$$-1$$。
计算得$$A' = (1, 4)$$。
最短路径为$$A'$$到$$B$$的距离：$$\sqrt{(1 - (-1))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$。
正确答案：C
5. 题目给出直线$$2a x + (a + b) y + 2b = 0$$，过点$$P(-3, 0)$$作垂线，垂足为$$M$$，求$$|MN|$$的范围，$$N(2, 3)$$。
解析步骤：
直线方程可重写为$$a(2x + y) + b(y + 2) = 0$$，说明直线恒过点$$(1, -2)$$（因为$$2x + y = 0$$和$$y + 2 = 0$$的交点）。
$$M$$是$$P$$到直线的垂足，其轨迹是以$$P$$和$$(1, -2)$$为直径的圆。
圆心为$$(-1, -1)$$，半径为$$\sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{5}$$。
$$N(2, 3)$$到圆心的距离为$$\sqrt{(3)^2 + (4)^2} = 5$$。
因此$$|MN|$$的范围是$$[5 - \sqrt{5}, 5 + \sqrt{5}]$$。
正确答案：A
8. 题目给出圆的方程$$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 9$$，圆心$$C(3, -3)$$，求过点$$M(1, -2)$$且使圆心到直线距离最大的直线方程。
解析步骤：
要使圆心$$C$$到直线的距离最大，直线应与$$CM$$垂直。
$$CM$$的斜率为$$\frac{-2 - (-3)}{1 - 3} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$。
因此直线斜率为$$2$$（负倒数）。
直线方程为$$y + 2 = 2(x - 1)$$，即$$2x - y - 4 = 0$$。
正确答案：A
9. 题目给出直线$$l: y = kx + b$$不经过第三象限，且在$$x \in [2, 4]$$时$$y \in [-1, 1]$$，求$$k$$和$$b$$的值。
解析步骤：
因为$$l$$不经过第三象限，所以$$k \leq 0$$且$$b \geq 0$$。
在$$x = 2$$时$$y = -1$$，$$x = 4$$时$$y = 1$$，代入得：
$$-1 = 2k + b$$
$$1 = 4k + b$$
解得$$k = 1$$，$$b = -3$$（不符合$$k \leq 0$$）。
另一种可能是$$x = 2$$时$$y = 1$$，$$x = 4$$时$$y = -1$$：
$$1 = 2k + b$$
$$-1 = 4k + b$$
解得$$k = -1$$，$$b = 3$$（符合条件）。
正确答案：D
10. 题目给出直线$$l: (k - 1)x + 2k y + 3k - 1 = 0$$，求其定点$$A$$的纵坐标。
解析步骤：
将直线方程整理为$$k(x + 2y + 3) - x - 1 = 0$$。
令$$x + 2y + 3 = 0$$和$$-x - 1 = 0$$，解得$$x = -1$$，$$y = -1$$。
因此定点$$A$$的纵坐标为$$-1$$。
正确答案：B