圆中的对称问题-直线和圆方程的拓展与综合知识点教师选题进阶选择题自测题解析-吉林省等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

1. 已知直线 $$2x-y+r=0$$ 与圆 $$(x+1)^2+(y-3)^2=r^2$$ 交于 $$A,B$$ 两点，且线段 $$AB$$ 关于圆心对称，则 $$r=$$

圆心为 $$C(-1,3)$$，半径 $$r>0$$。线段 $$AB$$ 关于圆心对称，说明圆心是弦 $$AB$$ 的中点，因此直线必过圆心。

将圆心坐标代入直线方程：$$2\times(-1)-3+r=0$$，得 $$-2-3+r=0$$，即 $$r=5$$。

答案：D. $$5$$

2. 已知圆关于 $$x$$ 轴对称，经过点 $$(0,1)$$，且被 $$y$$ 轴分成两段弧，弧长之比为 $$2:1$$，则圆的方程为

设圆心为 $$(0,b)$$（因圆关于 $$x$$ 轴对称且被 $$y$$ 轴分割，圆心在 $$y$$ 轴上）。

圆过点 $$(0,1)$$，则半径 $$R=|b-1|$$。

被 $$y$$ 轴分成两段弧，弧长比为 $$2:1$$，说明圆心角分别为 $$240^\circ$$ 和 $$120^\circ$$，即 $$y$$ 轴截圆所得弦对应的圆心角为 $$120^\circ$$。

弦长为 $$2R\sin(60^\circ)=2R\times\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$$。

$$y$$ 轴与圆相交时，令 $$x=0$$，代入圆方程：$$(0-0)^2+(y-b)^2=R^2$$，得 $$(y-b)^2=R^2$$，交点纵坐标 $$y=b\pm R$$，弦长 $$|(b+R)-(b-R)|=2R$$。

因此 $$2R=R\sqrt{3}$$，得 $$R=0$$（舍）或 $$\sqrt{3}=2$$ 矛盾。检查：弦长应为 $$2R\sin(\theta/2)$$，其中 $$\theta=120^\circ$$，所以弦长 $$=2R\sin 60^\circ=2R\times\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$$。

但 $$y$$ 轴与圆交点：$$x=0$$，圆方程 $$x^2+(y-b)^2=R^2$$ 得 $$(y-b)^2=R^2$$，交点 $$(0,b\pm R)$$，弦长 $$=2R$$。

所以 $$2R=R\sqrt{3}$$ ⇒ $$R=0$$ 或 $$\sqrt{3}=2$$ 矛盾。说明圆心不在 $$y$$ 轴上？题说“关于 $$x$$ 轴对称”且“被 $$y$$ 轴分成两段弧”，则圆心在 $$x$$ 轴上？设圆心 $$(a,0)$$。

圆过 $$(0,1)$$：$$a^2+1^2=R^2$$。

被 $$y$$ 轴分成两段弧长比 $$2:1$$，即 $$y$$ 轴截圆所对圆心角为 $$120^\circ$$。

圆心到 $$y$$ 轴距离 $$|a|$$，弦长 $$=2\sqrt{R^2-a^2}$$。

弦对应圆心角 $$120^\circ$$，弦长 $$=2R\sin(120^\circ/2)=2R\sin 60^\circ=R\sqrt{3}$$。

所以 $$R\sqrt{3}=2\sqrt{R^2-a^2}$$，平方得 $$3R^2=4(R^2-a^2)$$ ⇒ $$3R^2=4R^2-4a^2$$ ⇒ $$4a^2=R^2$$ ⇒ $$a^2=R^2/4$$。

又 $$a^2+1=R^2$$，代入得 $$R^2/4+1=R^2$$ ⇒ $$1=3R^2/4$$ ⇒ $$R^2=4/3$$，$$a^2=1/3$$，$$a=\pm\sqrt{3}/3$$。

圆心 $$(\pm\sqrt{3}/3,0)$$，半径 $$\sqrt{4/3}$$，方程 $$(x\mp\sqrt{3}/3)^2+y^2=4/3$$。

选项 C 符合：$$\left(x\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+y^2=\frac{4}{3}$$。

答案：C

3. 圆 $$C:(x-2)^2+(y-1)^2=2$$，直线 $$l:a^2x+b^2y-1=0$$，若圆上任一点关于直线 $$l$$ 的对称点仍在圆上，则点 $$(a,b)$$ 在

条件表示直线 $$l$$ 是圆的对称轴，即直线过圆心 $$(2,1)$$。

代入：$$a^2\times 2+b^2\times 1-1=0$$ ⇒ $$2a^2+b^2=1$$。

点 $$(a,b)$$ 满足 $$2a^2+b^2=1$$，即 $$\frac{a^2}{1/2}+\frac{b^2}{1}=1$$，椭圆，离心率 $$e=\sqrt{1-\frac{1/2}{1}}=\sqrt{1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$。

答案：C. 一个离心率为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 的椭圆上

4. 曲线 $$x^2+y^2+4x-4y=0$$ 关于

配方：$$(x+2)^2+(y-2)^2=8$$，圆心 $$(-2,2)$$，半径 $$2\sqrt{2}$$。

对称性：圆关于过圆心的直线对称。选项：

A. 直线 $$x=4$$（不经过圆心）

B. 直线 $$x+y=0$$：代入圆心 $$-2+2=0$$，过圆心，对称轴之一。

C. 直线 $$x-y=0$$：代入 $$-2-2=-4\neq 0$$，不过圆心。

D. 点 $$(-4,4)$$ 不是直线。

答案：B. 直线 $$x+y=0$$ 对称

5. 直线 $$y=kx$$ 与圆 $$(x-2)^2+y^2=1$$ 的两个交点关于直线 $$2x+y+b=0$$ 对称

两交点关于直线对称，说明该直线是弦的垂直平分线，且过圆心 $$(2,0)$$。

所以圆心 $$(2,0)$$ 在直线 $$2x+y+b=0$$ 上：$$2\times 2+0+b=0$$ ⇒ $$4+b=0$$ ⇒ $$b=-4$$。

又直线 $$y=kx$$ 与对称轴垂直：对称轴斜率 $$-2$$，则 $$y=kx$$ 斜率 $$k=1/2$$（因为垂直时 $$k\times (-2)=-1$$ ⇒ $$k=1/2$$）。

答案：A. $$k=\frac{1}{2}, b=-4$$

6. 圆 $$C_1:(x-2)^2+(y-3)^2=1$$，圆 $$C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=4$$，$$M,N$$ 分别是圆 $$C_1,C_2$$ 上的动点，$$P$$ 为 $$y$$ 轴上的动点，则 $$|PM|+|PN|$$ 的最小值

作 $$C_1$$ 关于 $$y$$ 轴的对称点 $$C_1'=(-2,3)$$，则 $$|PM|+|PN|\ge |C_1'N| - r_1$$（因为 $$PM=PM'$$ 当 $$M'$$ 是 $$M$$ 对称点）。

实际上：$$|PM|+|PN|=|PM|+|PN|\ge |C_1'N|-1$$（因为 $$N$$ 在圆 $$C_2$$ 上，$$M'$$ 在圆 $$C_1'$$ 上，最小 $$|C_1'N|$$ 是圆心距减半径）。

更精确：固定 $$N$$ 时，$$PM$$ 最小为 $$|PC_1|-1$$，但 $$P$$ 也在变。正确方法：$$|PM|+|PN|\ge |C_1'N| -1$$，其中 $$M'$$ 是 $$M$$ 关于 $$y$$ 轴的对称点，$$C_1'=(-2,3)$$，圆 $$C_1'$$ 半径 1，圆 $$C_2$$ 半径 2。

所以 $$\min(|PM|+|PN|) = \min_{P\in y\text{轴}} (|PC_1|+|PC_2|) -1-2$$？不对，因为 $$M,N$$ 可任意选。

正确：$$|PM|+|PN|\ge |C_1'C_2|-r_1-r_2$$，其中 $$C_1'=(-2,3)$$，$$C_2=(3,4)$$，距离 $$\sqrt{(5)^2+(1)^2}=\sqrt{26}$$，半径和 $$1+2=3$$，所以最小 $$\sqrt{26}-3$$。

答案：A. $$\sqrt{26}-3$$

7. 圆 $$x^2+y^2+2x+4y-3=0$$ 上到直线 $$x+y+1=0$$ 的距离是 $$\sqrt{2}$$ 的点共有几个

配方：$$(x+1)^2+(y+2)^2=8$$，圆心 $$(-1,-2)$$，半径 $$2\sqrt{2}$$。

圆心到直线距离：$$\frac{|-1-2+1|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$。

距离为 $$\sqrt{2}$$ 的直线与圆相交情况：半径 $$2\sqrt{2}$$，圆心到直线距离 $$\sqrt{2}$$，则圆上点到直线距离取值范围 $$[2\sqrt{2}-\sqrt{2}, 2\sqrt{2}+\sqrt{2}]=[\sqrt{2}, 3\sqrt{2}]$$。

所以距离 $$\sqrt{2}$$ 正好是最小值，只有离直线最远的点？不对，距离为 $$\sqrt{2}$$ 的点是平行于给定直线且距离为 $$\sqrt{2}$$ 的两条直线与圆的交点。

圆心到直线距离 $$d=\sqrt{2}$$，半径 $$R=2\sqrt{2}$$，则圆与距离为 $$\sqrt{2}$$ 的平行线相交：两条平行线距离圆心分别为 $$0$$ 和 $$2\sqrt{2}$$？

设直线 $$x+y+1=0$$，平移得到 $$x+y+c=0$$，距离 $$\frac{|c-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$ ⇒ $$|c-1|=2$$ ⇒ $$c=3$$ 或 $$c=-1$$。

当 $$c=-1$$ 即原直线，与圆相交：圆心到直线距离 $$\sqrt{2}$$，弦长 $$2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{8-2}=2\sqrt{6}$$，有 2 个交点。

当 $$c=3$$，直线 $$x+y+3=0$$，圆心到直线距离 $$\frac{|-1-2+3|}{\sqrt{2}}=0$$，直线过圆心，与圆有 2 个交点。

但题目问“到直线 $$x+y+1=0$$ 的距离是 $$\sqrt{2}$$”，即圆上点到该直线距离为 $$\sqrt{2}$$，这样的点即圆与直线 $$x+y+3=0$$ 的交点（因为距离原直线 $$\sqrt{2}$$ 的直线有两条，但一条是原直线本身，距离 0，另一条是 $$x+y+3=0$$，距离 $$\sqrt{2}$$）。

圆与 $$x+y+3=0$$ 相交：圆心在直线上，所以 2 个交点。

答案：B. $$2$$

9. 圆 $$(x-1)^2+y^2=2$$ 关于直线 $$2x-y+3=0$$ 对称的圆的方程

圆心 $$(1,0)$$，半径 $$r=\sqrt{2}$$。

求圆心关于直线的对称点：直线斜率 2，过点？设对称点 $$(h,k)$$，中点 $$((1+h)/2, (0+k)/2)$$ 在直线上：$$2\times\frac{1+h}{2}-\frac{k}{2}+3=0$$ ⇒ $$1+h-k/2+3=0$$ ⇒ $$h-k/2=-4$$。

且连线垂直于直线：$$\frac{k-0}{h-1}\times 2=-1$$ ⇒ $$\frac{2k}{h-1}=-1$$ ⇒ $$2k=-(h-1)$$ ⇒ $$h=1-2k$$。

代入：$$1-2k-k/2=-4$$ ⇒ $$1-\frac{5k}{2}=-4$$ ⇒ $$-\frac{5k}{2}=-5$$ ⇒ $$k=2$$，$$h=1-4=-3$$。

对称圆心 $$(-3,2)$$，半径不变 $$\sqrt{2}$$，方程 $$(x+3)^2+(y-2)^2=2$$。

答案：C. $$(x+3)^2+(y-2)^2=2$$

10. 点 $$M,N$$ 在圆 $$x^2+y^2+kx-2y=0$$ 上，且关于直线 $$y=kx+1$$ 对称，则 $$k=$$

圆方程：$$x^2+kx+y^2-2y=0$$，配方：$$(x+k/2)^2+(y-1)^2=\frac{k^2}{4}+1$$。

圆心 $$(-k/2,1)$$，半径 $$R=\sqrt{k^2/4+1}$$。

点 $$M,N$$ 在圆上且关于直线对称，说明直线是弦 $$MN$$ 的垂直平分线，过圆心。

所以圆心在直线 $$y=kx+1$$ 上：$$1=k\times(-k/2)+1$$ ⇒ $$1=-k^2/2+1$$ ⇒ $$k^2/2=0$$ ⇒ $$k=0$$。

答案：A. $$0$$