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正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知平面向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$\boldsymbol{a}=( 1， \ \sqrt{3} )， \ | \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=4.$$则$${{|}{b}{|}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ 2 \sqrt{3}， ~ 6 ]$$
B.$$[ 2， ~ 2 \sqrt{3} ]$$
C.$$[ 2， ~ 6 ]$$
D.$$[ 1， ~ 2 \sqrt{3} ]$$
2、['命题及其关系'， '多面体'， '直线与平面垂直的判定定理'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积'， '与圆有关的轨迹问题']正确率0.0%svg异常
A.若$$D_{1} Q / \! /$$平面$${{A}_{1}{P}{D}}$$，则动点$${{Q}}$$的轨迹是一条线段
B.存在$${{Q}}$$点，使得$${{D}_{1}{Q}{⊥}}$$平面$${{A}_{1}{P}{D}}$$
C.当且仅当$${{Q}}$$点落在棱$${{C}{{C}_{1}}}$$上某点处时，三棱锥$$Q-A_{1} P D$$的体积最大
D.若$$D_{1} Q=\frac{\sqrt{6}} {2}$$，那么$${{Q}}$$点的轨迹长度为$$\frac{\sqrt{2}} {4} \pi$$
3、['多面体'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%在棱长为$${{2}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{N}}$$为$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，点$${{P}}$$在正方体各棱及表面上运动且满足$$A P \perp C N$$，则点$${{P}}$$轨迹所围成图形的面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
4、['圆与圆的位置关系及其判定'， '双曲线的定义及其标准方程'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%与圆$$x^{2}+y^{2}=1$$及圆$$x^{2}+y^{2}-8 x+7=0$$都外切的圆的圆心轨迹是$${{(}{)}}$$
A.椭圆
B.双曲线
C.双曲线的左支
D.双曲线的右支
正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，点$${{Q}}$$为圆$${{M}}$$：$$( x-1 )^{2}+( y-1 )^{2}=1$$上一动点，过圆$${{M}}$$外一点$${{P}}$$向圆$${{M}}$$引$${{−}}$$条切线，切点为$${{A}{，}}$$若$$| P A |=| P O |，$$则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为（）
C
A.$$\sqrt{2}-1$$
B.$$\sqrt{2}+1$$
C.$$\frac3 4 \sqrt2-1$$
D.$$\frac3 4 \sqrt2+1$$
6、['与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%动点$${{A}}$$在圆$$x^{2}+y^{2}=1$$上移动时，它与定点$$B ( 3， 0 )$$连线的中点的轨迹方程是（）
B
A.$$x^{2}+y^{2}+3 x+2=0$$
B.$$x^{2}+y^{2}-3 x+2=0$$
C.$$x^{2}+y^{2}+3 y+2=0$$
D.$$x^{2}+y^{2}-3 y+2=0$$
7、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，点$$A \， ( 0， 3 )$$，直线$$l : y=2 x-4$$，设圆$${{C}}$$的半径为$${{1}}$$，圆心在$${{l}}$$上，若圆$${{C}}$$上存在点$${{M}}$$，使$$+ M A |=2 \left| M O \right|，$$则圆心$${{C}}$$的横坐标的取值范围为（）
A
A.$$[ 0， \frac{1 2} {5} \rbrack$$
B.$$[ 0， 1 ]$$
C.$$[ 1， \frac{1 2} {5} ]$$
D.$$\left( 0， \frac{1 2} {5} \right)$$
8、['圆与圆的位置关系及其判定'， '双曲线的定义'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%一动圆与圆$$O : x^{2}+y^{2}=1$$外切，而与圆$$C : x^{2}+y^{2}-6 x+8=0$$内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）
A
A.双曲线的一支
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
9、['与圆有关的轨迹问题']正确率80.0%古希腊数学家阿波罗尼奧斯$${{(}}$$约公元前$${{2}{6}{2}{～}}$$公元前$${{1}{9}{0}}$$年$${{)}}$$的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数$$k ( k > 0$$且$${{k}{≠}{1}{)}}$$的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知$$O ( 0， 0 )$$，$$A ( 3， 0 )$$，动点$$P ( x， y )$$满足$${\frac{| P A |} {| P O |}}=2$$，则动点$${{P}}$$轨迹与圆$$( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$位置关系是$${{(}{)}}$$
C
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
10、['点到直线的距离'， '与圆有关的最值问题'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%已知$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{e}^{→}}$$是平面向量，$${{e}^{→}}$$是单位向量．若非零向量$${{a}^{→}}$$与$${{e}^{→}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$，向量$${{b}^{→}}$$满足$$\vec{b}^{2}-4 \vec{e} \cdot\vec{b}+3=0$$，则$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$的最小值是
C
A.$${{2}}$$
B.$$\sqrt3+1$$
C.$$\sqrt3-1$$
D.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
1. 已知向量 $$a = (1, \sqrt{3})$$，则 $$|a| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$$。设向量 $$b$$ 的模为 $$r$$，根据向量加法公式，$$|a + b| = 4$$ 可以表示为：
$$|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|\cos\theta = 4^2$$
代入已知值得：
$$4 + r^2 + 4r\cos\theta = 16$$
整理得：
$$r^2 + 4r\cos\theta = 12$$
由于 $$\cos\theta \in [-1, 1]$$，因此 $$r$$ 的取值范围为：
$$r^2 - 4r \leq 12 \leq r^2 + 4r$$
解得 $$r \in [2, 6]$$，故选 C。
2. 题目描述不完整，无法解析。
3. 在正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，设 $$A(0,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$N(2,1,2)$$。向量 $$CN = (0,-1,2)$$。设点 $$P(x,y,z)$$ 满足 $$AP \perp CN$$，即：
$$AP \cdot CN = x \cdot 0 + y \cdot (-1) + z \cdot 2 = -y + 2z = 0$$
即 $$y = 2z$$。由于 $$P$$ 在正方体表面运动，轨迹为平面 $$y = 2z$$ 与正方体表面的交线，围成的图形面积为 $$2\sqrt{5}$$，故选 A。
4. 圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 的圆心为 $$(0,0)$$，半径 $$r_1 = 1$$。圆 $$x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0$$ 可化为 $$(x-4)^2 + y^2 = 9$$，圆心为 $$(4,0)$$，半径 $$r_2 = 3$$。设动圆圆心为 $$(x,y)$$，半径为 $$r$$，由外切条件得：
$$\sqrt{x^2 + y^2} = r + 1$$
$$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = r + 3$$
消去 $$r$$ 得：
$$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} - \sqrt{x^2 + y^2} = 2$$
这是双曲线的右支，故选 D。
5. 圆 $$M$$ 的圆心为 $$(1,1)$$，半径 $$r = 1$$。设 $$P(x,y)$$，由切线性质 $$|PA| = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 - 1}$$。根据题意 $$|PA| = |PO|$$，即：
$$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 - 1} = \sqrt{x^2 + y^2}$$
平方化简得：
$$-2x - 2y + 1 = 0$$
即 $$x + y = \frac{1}{2}$$。$$|PQ|$$ 的最小值为点 $$(1,1)$$ 到直线 $$x + y = \frac{1}{2}$$ 的距离减去半径 $$1$$：
$$\frac{|1 + 1 - \frac{1}{2}|}{\sqrt{2}} - 1 = \frac{3}{2\sqrt{2}} - 1 = \frac{3\sqrt{2}}{4} - 1$$
故选 C。
6. 设动点 $$A$$ 为 $$(\cos\theta, \sin\theta)$$，定点 $$B(3,0)$$，中点 $$(x,y)$$ 满足：
$$x = \frac{\cos\theta + 3}{2}, \quad y = \frac{\sin\theta}{2}$$
消去 $$\theta$$ 得：
$$(2x - 3)^2 + (2y)^2 = 1$$
展开整理为 $$x^2 + y^2 - 3x + 2 = 0$$，故选 B。
7. 设圆心 $$C$$ 为 $$(a, 2a - 4)$$，圆 $$C$$ 上存在点 $$M$$ 满足 $$|MA| = 2|MO|$$。设 $$M(x,y)$$，则：
$$\sqrt{x^2 + (y-3)^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2}$$
平方化简得：
$$3x^2 + 3y^2 + 6y - 9 = 0$$
即 $$x^2 + y^2 + 2y = 3$$。圆 $$C$$ 与 $$M$$ 的轨迹有交点，圆心距离满足：
$$\sqrt{a^2 + (2a-4 +1)^2} \leq 1 + 2$$
解得 $$a \in [0, \frac{12}{5}]$$，故选 A。
8. 圆 $$O$$ 的圆心为 $$(0,0)$$，半径 $$r_1 = 1$$；圆 $$C$$ 的圆心为 $$(3,0)$$，半径 $$r_2 = 1$$。设动圆圆心为 $$(x,y)$$，半径为 $$r$$，由题意：
$$\sqrt{x^2 + y^2} = r + 1$$
$$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = r - 1$$
消去 $$r$$ 得：
$$\sqrt{x^2 + y^2} - \sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 2$$
这是双曲线的右支，故选 A。
9. 根据阿波罗尼斯圆定义，点 $$P$$ 满足 $$\frac{|PA|}{|PO|} = 2$$，即：
$$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2}$$
平方化简得：
$$3x^2 + 3y^2 + 6x - 9 = 0$$
即 $$(x+1)^2 + y^2 = 4$$。圆心为 $$(-1,0)$$，半径 $$R = 2$$。另一圆 $$(x-1)^2 + y^2 = 1$$ 的圆心为 $$(1,0)$$，半径 $$r = 1$$。两圆圆心距 $$d = 2$$，满足 $$d = R - r$$，故内切，选 D。
10. 设 $$e$$ 为单位向量，$$a$$ 与 $$e$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$，则 $$a \cdot e = |a|\cos\frac{\pi}{3} = \frac{|a|}{2}$$。对于 $$b$$，由 $$b^2 - 4e \cdot b + 3 = 0$$，设 $$b \cdot e = t$$，则：
$$|b|^2 - 4t + 3 = 0$$
$$|b|^2 = 4t - 3$$
$$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2a \cdot b$$
最小化 $$|a - b|$$ 时，$$a$$ 和 $$b$$ 共线且方向相同，此时 $$|a - b| = \sqrt{3} - 1$$，故选 C。