.jpg)
正确率19.999999999999996%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足：$$| \overrightarrow{a} |=2， \; \; < \overrightarrow{a}， \; \; \overrightarrow{b} >=6 0^{\circ}$$，且$$\overrightarrow{c}=-\frac{1} {2} \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} ( t \in R ) \; \;，$$则$$| \overrightarrow{c} |+| \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} |$$的最小值为（）
A
A.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{9 \sqrt{3}} {4}$$
2、['直线中的对称问题']正确率80.0%在空间直角坐标系中，点$$A ( 1， ~-2， ~ 3 )$$与点$$B (-1， ~-2， ~-3 )$$关于（）
B
A.$${{x}}$$轴对称
B.$${{y}}$$轴对称
C.$${{z}}$$轴对称
D.原点对称
3、['直线中的对称问题']正确率60.0%直线$$2 y-x+1=0$$关于直线$$y-x=0$$对称的直线方程是（）
A
A.$$y-2 x-1=0$$
B.$$y+2 x-1=0$$
C.$$y+2 x+1=0$$
D.$$2 y+x+1=0$$
4、['直线中的对称问题'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直']正确率60.0%点$$P ( 2， 5 )$$关于直线$$x+y=1$$的对称点的坐标是（）
B
A.$$(-5，-2 )$$
B.$$(-4，-1 )$$
C.$$(-6，-3 )$$
D.$$(-4，-2 )$$
5、['直线中的对称问题'， '圆的定义与标准方程'， '圆中的对称问题']正确率60.0%圆$$( x-1 )^{2}+( y+2 )^{2}=2$$关于直线$${{l}}$$：$$x+y-2=0$$对称的圆的方程为（）
A
A.$$( x-4 )^{2}+( y-1 )^{2}=2$$
B.$$( x+4 )^{2}+( y+1 )^{2}=2$$
C.$$( x-4 )^{2}+( y+1 )^{2}=2$$
D.$$( x+4 )^{2}+( y-1 )^{2}=2$$
6、['直线中的对称问题'， '直线和圆的数学文化问题']正确率40.0%唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为$$x^{2}+y^{2} \leqslant1，$$若将军从点$$A ( 2， 0 )$$处出发，河岸线所在直线方程为$$x+y=3，$$并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）
A
A.$$\sqrt{1 0}-1$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
7、['直线中的对称问题'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆相交'， '圆中的对称问题']正确率40.0%已知圆$${{C}}$$的圆心与点$$P (-2， 1 )$$关于直线$$y=x-1$$对称，直线$$3 x+4 y+1 6=0$$与圆$${{C}}$$相交于$${{A}}$$、$${{B}}$$两点，且$$| A B |=6$$，则圆$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$( x-2 )^{2}+( y+3 )^{2}=1 3$$
B.$$( x+2 )^{2}+( y-3 )^{2}=1 8$$
C.$$( x+2 )^{2}+( y-3 )^{2}=1 3$$
D.$$( x-2 )^{2}+( y+3 )^{2}=1 8$$
8、['直线中的对称问题']正确率80.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，点$$( 3， 1 )$$关于直线$$x-y+1=0$$的对称点为$${{(}{)}}$$
A.$$( 4， 0 )$$
B.$$( 0， 4 )$$
C.$$( 2，-1 )$$
D.$$(-1， 2 )$$
9、['双曲线的离心率'， '直线中的对称问题'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的一个焦点为$${{F}}$$.若$${{F}}$$关于双曲线$${{C}}$$的渐近线的对称点恰好在双曲线$${{C}}$$上，则双曲线$${{C}}$$的离心率为
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${\sqrt {7}}$$
10、['直线中的对称问题']正确率80.0%已知点$$P ( 1， 2 )$$与直线$${{l}}$$：$$x+y+1=0$$，则点$${{P}}$$关于直线$${{l}}$$的对称点坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$(-3，-1 )$$
B.$$( 2， 4 )$$
C.$$(-3，-2 )$$
D.$$(-5，-3 )$$
1. 已知向量$$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$满足：$$|\overrightarrow{a}|=2$$，$$\langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \rangle = 60^{\circ}$$，且$$\overrightarrow{c} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} (t \in R)$$，则$$|\overrightarrow{c}| + |\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|$$的最小值为（ ）。
设$$\overrightarrow{a} = (2, 0)$$，则$$\overrightarrow{b} = (|\overrightarrow{b}| \cos 60^{\circ}, |\overrightarrow{b}| \sin 60^{\circ}) = (\frac{1}{2} |\overrightarrow{b}|, \frac{\sqrt{3}}{2} |\overrightarrow{b}|)$$。令$$|\overrightarrow{b}| = 2$$简化计算，则$$\overrightarrow{b} = (1, \sqrt{3})$$。
$$\overrightarrow{c} = (-\frac{1}{2} \times 2 + t \times 1, 0 + t \times \sqrt{3}) = (-1 + t, \sqrt{3} t)$$。
$$\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = (-1 + t - 2, \sqrt{3} t - 0) = (t - 3, \sqrt{3} t)$$。
$$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{(t-1)^2 + 3t^2} = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$$。
$$|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}| = \sqrt{(t-3)^2 + 3t^2} = \sqrt{4t^2 - 6t + 9}$$。
令$$f(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1} + \sqrt{4t^2 - 6t + 9}$$。
求导或几何意义：点$$M(t)$$在直线$$y = \sqrt{3}x$$上，$$|\overrightarrow{c}|$$为M到点$$P(1, 0)$$距离，$$|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|$$为M到点$$Q(3, 0)$$距离。P、Q在x轴上，直线与x轴夹角60°。
作P关于直线的对称点P'，则最小值为P'到Q的距离。P(1,0)关于直线$$y = \sqrt{3}x$$对称点P'坐标为$$(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。
$$P'Q = \sqrt{(3 + \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{52}{4}} = \sqrt{13}$$。
故选A。
2. 在空间直角坐标系中，点$$A(1, -2, 3)$$与点$$B(-1, -2, -3)$$关于（ ）。
比较坐标：x坐标互为相反数，y坐标相同，z坐标互为相反数。符合关于y轴对称的定义。
故选B。
3. 直线$$2y - x + 1 = 0$$关于直线$$y - x = 0$$对称的直线方程是（ ）。
直线$$y - x = 0$$即$$y = x$$，关于它对称的直线，可将原直线方程中的x和y互换得到对称直线方程。
原方程：$$2y - x + 1 = 0$$。
互换x、y：$$2x - y + 1 = 0$$，即$$y - 2x - 1 = 0$$。
故选A。
4. 点$$P(2, 5)$$关于直线$$x + y = 1$$的对称点坐标是（ ）。
设对称点为$$P'(a, b)$$，则PP'中点$$(\frac{2+a}{2}, \frac{5+b}{2})$$在直线$$x+y=1$$上，且PP'与直线垂直（斜率为1，则PP'斜率为-1）。
中点代入：$$\frac{2+a}{2} + \frac{5+b}{2} = 1 \Rightarrow a + b + 7 = 2 \Rightarrow a + b = -5$$。
斜率关系：$$\frac{b-5}{a-2} = -1 \Rightarrow b - 5 = -a + 2 \Rightarrow a + b = 7$$？矛盾。
重新计算中点：$$\frac{2+a}{2} + \frac{5+b}{2} = 1 \Rightarrow \frac{a+b+7}{2} = 1 \Rightarrow a+b+7=2 \Rightarrow a+b=-5$$。
斜率：$$\frac{b-5}{a-2} = -1 \Rightarrow b-5 = -a+2 \Rightarrow a+b=7$$。
两式矛盾，说明计算错误。检查中点：直线为x+y=1，中点坐标和应为1：$$\frac{2+a}{2} + \frac{5+b}{2} = \frac{a+b+7}{2} = 1 \Rightarrow a+b+7=2 \Rightarrow a+b=-5$$。
垂直条件：直线斜率为-1，PP'斜率应为1（因为垂直斜率乘积为-1：(-1)*1=-1）。
所以$$\frac{b-5}{a-2} = 1 \Rightarrow b-5 = a-2 \Rightarrow a - b = -3$$。
解方程组：$$a+b=-5$$，$$a-b=-3$$，相加得2a=-8，a=-4，代入得b=-1。
对称点为$$(-4, -1)$$，选B。
5. 圆$$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 2$$关于直线$$l: x+y-2=0$$对称的圆的方程为（ ）。
圆心$$O(1, -2)$$，半径$$r = \sqrt{2}$$。求O关于直线$$x+y-2=0$$的对称点O'。
设O'(a,b)，则OO'中点$$(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+b}{2})$$在直线上，且OO'与直线垂直（直线斜率为-1，OO'斜率为1）。
中点代入：$$\frac{1+a}{2} + \frac{-2+b}{2} - 2 = 0 \Rightarrow \frac{a+b-1}{2} - 2 = 0 \Rightarrow a+b-1=4 \Rightarrow a+b=5$$。
斜率：$$\frac{b+2}{a-1} = 1 \Rightarrow b+2 = a-1 \Rightarrow a - b = 3$$。
解方程组：$$a+b=5$$，$$a-b=3$$，得a=4，b=1。对称圆心为(4,1)。
半径不变，圆方程为$$(x-4)^2 + (y-1)^2 = 2$$，选A。
6. 军营区域$$x^2+y^2 \leq 1$$，将军从点$$A(2,0)$$出发，河岸线$$x+y=3$$，求最短总路程。
先求A关于河岸线的对称点A'。设A'(a,b)，则AA'中点$$(\frac{2+a}{2}, \frac{0+b}{2})$$在直线上，且AA'与直线垂直（直线斜率为-1，AA'斜率为1）。
中点代入：$$\frac{2+a}{2} + \frac{b}{2} - 3 = 0 \Rightarrow a+b+2=6 \Rightarrow a+b=4$$。
斜率：$$\frac{b-0}{a-2} = 1 \Rightarrow b = a-2 \Rightarrow a - b = 2$$。
解方程组：$$a+b=4$$，$$a-b=2$$，得a=3，b=1。A'为(3,1)。
最短路径为A'到军营区域的最短距离。军营区域为单位圆盘，圆心O(0,0)，半径1。A'到O的距离为$$\sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$$。
A'到军营区域的最短距离为$$\sqrt{10} - 1$$（减去半径）。
故选A。
7. 圆C的圆心与点$$P(-2,1)$$关于直线$$y=x-1$$对称，直线$$3x+4y+16=0$$与圆C相交于A、B，且$$|AB|=6$$，求圆C方程。
先求圆心：P(-2,1)关于直线$$y=x-1$$的对称点。直线斜率为1，对称点连线斜率为-1。
设对称点C(a,b)，则PC中点$$(\frac{a-2}{2}, \frac{b+1}{2})$$在直线上，且PC斜率为-1。
中点代入：$$\frac{b+1}{2} = \frac{a-2}{2} - 1 \Rightarrow b+1 = a-2 - 2 \Rightarrow a - b = 5$$。
斜率：$$\frac{b-1}{a+2} = -1 \Rightarrow b-1 = -a-2 \Rightarrow a+b = -1$$。
解方程组：$$a-b=5$$，$$a+b=-1$$，得a=2，b=-3。圆心为(2,-3)。
直线到圆心距离：$$d = \frac{|3 \times 2 + 4 \times (-3) + 16|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|6-12+16|}{5} = \frac{10}{5} = 2$$。
弦长$$|AB|=6$$，半弦长为3，由勾股定理得半径$$r = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$$。
圆方程为$$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 13$$，选A。
8. 点$$(3,1)$$关于直线$$x-y+1=0$$的对称点为（ ）。
设对称点(a,b)，则中点$$(\frac{3+a}{2}, \frac{1+b}{2})$$在直线上，且连线斜率为-1（原直线斜率为1）。
中点代入：$$\frac{3+a}{2} - \frac{1+b}{2} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a-b+2}{2} + 1 = 0 \Rightarrow a-b+2 = -2 \Rightarrow a-b = -4$$。
斜率：$$\frac{b-1}{a-3} = -1 \Rightarrow b-1 = -a+3 \Rightarrow a+b = 4$$。
解方程组：$$a-b=-4$$，$$a+b=4$$，得a=0，b=4。对称点为(0,4)，选B。
9. 双曲线$$C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点F。若F关于渐近线的对称点恰在双曲线上，求离心率e。
设焦点F(c,0)，渐近线$$y = \frac{b}{a}x$$。求F关于渐近线的对称点P。
渐近线斜率$$k = \frac{b}{a}$$，则FP斜率$$k' = -\frac{a}{b}$$。FP方程：$$y = -\frac{a}{b}(x-c)$$。
联立渐近线求垂足H：$$\frac{b}{a}x = -\frac{a}{b}(x-c) \Rightarrow \frac{b}{a}x + \frac{a}{b}x = \frac{a}{b}c \Rightarrow (\frac{b}{a} + \frac{a}{b})x = \frac{a}{b}c \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}x = \frac{a}{b}c \Rightarrow \frac{c^2}{ab}x = \frac{a}{b}c \Rightarrow x = \frac{a^2}{c}$$。
代入渐近线得$$y = \frac{b}{a} \cdot \frac{a^2}{c} = \frac{ab}{c}$$。H为$$(\frac{a^2}{c}, \frac{ab}{c})$$。
P为F关于H的对称点：$$P = (2 \times \frac{a^2}{c} - c, 2 \times \frac{ab}{c} - 0) = (\frac{2a^2}{c} - c, \frac{2ab}{c})$$。
P在双曲线上：$$\frac{(\frac{2a^2}{c} - c)^2}{a^2} - \frac{(\frac{2ab}{c})^2}{b^2} = 1$$。
化简：$$\frac{(2a^2 - c^2)^2}{a^2 c^2} - \frac{4a^2}{c^2} = 1$$。
两边乘$$a^2 c^2$$：$$(2a^2 - c^2)^2 - 4a^4 = a^2 c^2$$。
展开：$$4a^4 - 4a^2 c^2 + c^4 - 4a^4 = a^2 c^2 \Rightarrow -4a^2 c^2 + c^4 = a^2 c^2 \Rightarrow c^4 = 5a^2 c^2$$。
除以$$a^2 c^2$$（c≠0）：$$\frac{c^2}{a^2} = 5 \Rightarrow e^2 = 5 \Rightarrow e = \sqrt{5}$$。
故选B。
10. 点$$P(1,2)$$关于直线$$l: x+y+1=0$$的对称点坐标为（ ）。
设对称点(a,b)，则中点$$(\frac{1+a}{2}, \frac{2+b}{2})$$在直线上，且连线斜率为1（原直线斜率为-1）。
中点代入：$$\frac{1+a}{2} + \frac{2+b}{2} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a+b+3}{2} + 1 = 0 \Rightarrow a+b+3 = -2 \Rightarrow a+b = -5$$。
斜率：$$\frac{b-2}{a-1} = 1 \Rightarrow b-2 = a-1 \Rightarrow a - b = -1$$。
解方程组：$$a+b=-5$$，$$a-b=-1$$，得a=-3，b=-2。对称点为(-3,-2)，选C。