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正确率40.0%已知两点$${{A}{{(}{a}{，}{0}{)}}{，}{B}{{(}{−}{a}{，}{0}{)}}{{(}{a}{>}{0}{)}}}$$，若圆$${{(}{x}{−}{\sqrt {3}}{)}^{2}{+}{{(}{y}{−}{1}{)}^{2}}{=}{1}}$$上存在点$${{P}}$$，使得$${{∠}{A}{P}{B}{=}{{9}{0}}{^{∘}}}$$，则正实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$${{(}{0}{，}{3}{]}}$$
B.$${{[}{1}{，}{3}{]}}$$
C.$${{[}{2}{，}{3}{]}}$$
D.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$
2、['与圆有关的最值问题']正确率19.999999999999996%点$${{M}}$$是圆$${{C}}$$：$${{(}{x}{+}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$上任意一点$${，{A}{B}}$$为圆$${{C}_{1}}$$：$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{3}}$$的弦，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{2}{\sqrt {2}}{，}{N}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的最小值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知双曲线$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的离心率为$${\sqrt {{1}{7}}{，}}$$则圆$${（{x}{−}{6}{）^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$上的动点$${{M}}$$到双曲线$${{C}}$$的渐近线的最短距离为（）
C
A.$${{2}{3}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$$\frac{2 4 \sqrt{1 7}} {1 7}-1$$
D.$$\frac{2 4 \sqrt{1 7}} {1 7}$$
5、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '与圆有关的最值问题']正确率60.0%已知点$${{P}{（}{x}{，}{y}{）}}$$是圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$上任意一点，则$${{z}{=}{2}{x}{+}{y}}$$的最大值为（）
B
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
6、['点到直线的距离'， '两点间的距离'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知$${{P}}$$为抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上一个动点$${，{Q}}$$为圆$${{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{4}{{)}^{2}}{=}{1}}$$上一个动点，那么点$${{P}}$$到点$${{Q}}$$的距离与点$${{P}}$$到直线$${{x}{=}{−}{1}}$$的距离之和的最小值是（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${\sqrt {{1}{7}}{−}{1}}$$
D.$${\sqrt {{1}{5}}{−}{1}}$$
7、['圆的定义与标准方程'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的最值问题']正确率60.0%已知圆$${{C}}$$的圆心是直线$${{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}}$$与$${{x}}$$轴的交点，且圆$${{C}}$$与$${（{x}{−}{2}{）^{2}}{+}{（}{y}{−}{4}{）^{2}}{=}{9}}$$相外切，若过点$${{P}{（}{−}{1}{，}{1}{）}}$$的直线$${{l}}$$与圆$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，当$${{∠}{A}{C}{B}}$$最小时，弦$${{A}{B}}$$的长为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
8、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '抛物线的标准方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%点$${{P}}$$在抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{x}}$$上，点$${{Q}}$$在圆$${{(}{x}{−}{2}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$上，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为（）
D
A.$${{3}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {3}{−}{1}}$$
9、['圆的定义与标准方程'， '与圆有关的最值问题']正确率60.0%已知半径为$${{1}}$$的圆$${{C}}$$经过点$${{(}{3}{，}{4}{)}}$$，则圆心$${{C}}$$到原点$${{O}}$$的距离的最小值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
10、['直线的截距式方程'， '圆的一般方程'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%若直线$$\frac{x} {a}+\frac{y} {b}=1 ( a > 0， b > 0 )$$经过点$${{(}{1}{，}{1}{)}}$$，则圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{{a}{x}}{−}{2}{{b}{y}}{=}{0}}$$面积的最小值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{8}{π}}$$
B.$${{4}{π}}$$
C.$${{2}{π}}$$
D.无最小值
1. 解析：
点 $$A(a,0)$$ 和 $$B(-a,0)$$ 在 $$x$$ 轴上，点 $$P$$ 满足 $$∠APB = 90°$$，说明 $$P$$ 在以 $$AB$$ 为直径的圆上。该圆的方程为 $$x^2 + y^2 = a^2$$。
题目要求圆 $$(x-\sqrt{3})^2 + (y-1)^2 = 1$$ 上存在点 $$P$$ 满足条件，即两圆有交点。两圆的圆心距离为 $$d = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (1-0)^2} = 2$$。
两圆相交的条件是 $$|r_1 - r_2| \leq d \leq r_1 + r_2$$，即 $$|a - 1| \leq 2 \leq a + 1$$。
解得 $$1 \leq a \leq 3$$，故选 B。
2. 解析：
圆 $$C$$ 的圆心为 $$(-2,0)$$，半径为 1；圆 $$C_1$$ 的圆心为 $$(2,0)$$，半径为 $$\sqrt{3}$$。
弦 $$AB$$ 的长度为 $$2\sqrt{2}$$，由弦长公式可得 $$AB$$ 到圆心 $$C_1$$ 的距离为 $$\sqrt{3 - 2} = 1$$。
点 $$N$$ 是 $$AB$$ 的中点，因此 $$N$$ 到 $$C_1$$ 的距离为 1，即 $$N$$ 的轨迹是以 $$(2,0)$$ 为圆心、半径为 1 的圆。
$$|MN|$$ 的最小值为两圆心距离减去两半径，即 $$|(-2)-2| - 1 - 1 = 2$$，故选 B。
4. 解析：
双曲线的离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{17}$$，解得 $$\frac{b}{a} = 4$$，渐近线方程为 $$y = \pm 4x$$。
圆 $$(x-6)^2 + y^2 = 1$$ 的圆心为 $$(6,0)$$，半径为 1。
圆心到渐近线的距离为 $$\frac{|4 \cdot 6|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{24}{\sqrt{17}}$$。
动点 $$M$$ 到渐近线的最短距离为圆心距离减去半径，即 $$\frac{24\sqrt{17}}{17} - 1$$，故选 C。
5. 解析：
圆 $$x^2 + y^2 = 4$$ 的半径为 2。$$z = 2x + y$$ 的最大值为直线 $$2x + y = k$$ 与圆相切时的 $$k$$ 值。
由距离公式，$$\frac{|k|}{\sqrt{4 + 1}} = 2$$，解得 $$k = \pm 2\sqrt{5}$$。
最大值为 $$2\sqrt{5}$$，故选 B。
6. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的准线为 $$x = -1$$，焦点为 $$(1,0)$$。
点 $$P$$ 到准线的距离等于到焦点的距离，因此问题转化为求 $$|PQ| + |PF|$$ 的最小值，其中 $$F(1,0)$$。
圆的方程为 $$x^2 + (y-4)^2 = 1$$，圆心为 $$(0,4)$$，半径为 1。
最小值为 $$|CF| - r = \sqrt{(1-0)^2 + (0-4)^2} - 1 = \sqrt{17} - 1$$，故选 C。
7. 解析：
圆心 $$C$$ 为直线 $$x - y + 1 = 0$$ 与 $$x$$ 轴的交点，即 $$(-1,0)$$。
圆 $$C$$ 与圆 $$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 9$$ 外切，圆心距 $$d = \sqrt{(2-(-1))^2 + (4-0)^2} = 5$$，因此圆 $$C$$ 的半径为 $$5 - 3 = 2$$。
当 $$∠ACB$$ 最小时，弦 $$AB$$ 最短，此时 $$AB$$ 垂直于 $$CP$$，其中 $$P(-1,1)$$。
$$CP = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (1-0)^2} = 1$$，由勾股定理得 $$AB = 2\sqrt{4 - 1} = 2\sqrt{3}$$，故选 B。
8. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2x$$ 的焦点为 $$(0.5,0)$$，圆 $$(x-2)^2 + y^2 = 1$$ 的圆心为 $$(2,0)$$，半径为 1。
点 $$P$$ 在抛物线上，$$|PQ|$$ 的最小值为圆心到抛物线的最小距离减去半径。
设 $$P(\frac{y^2}{2}, y)$$，则距离平方为 $$(\frac{y^2}{2} - 2)^2 + y^2$$，求导可得最小值为 3，因此 $$|PQ|$$ 的最小值为 $$\sqrt{3} - 1$$，故选 D。
9. 解析：
圆心 $$C$$ 到点 $$(3,4)$$ 的距离为 1，因此 $$C$$ 的轨迹是以 $$(3,4)$$ 为圆心、半径为 1 的圆。
圆心 $$C$$ 到原点 $$O$$ 的最小距离为 $$\sqrt{3^2 + 4^2} - 1 = 4$$，故选 A。
10. 解析：
直线 $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$ 经过点 $$(1,1)$$，因此 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$$。
圆的方程为 $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by = 0$$，圆心为 $$(a,b)$$，半径为 $$\sqrt{a^2 + b^2}$$。
由 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$$，利用不等式可得 $$ab \geq 4$$，当且仅当 $$a = b = 2$$ 时取等。
圆面积为 $$\pi(a^2 + b^2)$$，最小值为 $$\pi(4 + 4) = 8\pi$$，故选 A。