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正确率40.0%设$${{m}{∈}{R}{，}}$$过定点$${{A}}$$的动直线$$x+m y=0$$和过定点$${{B}}$$的动直线$$m x-y-m+3=0$$交于点$$P ( x， ~ y )，$$则$$| P A | \cdot| P B |$$的最大值是（）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
2、['两条直线垂直'， '直线方程的综合应用'， '直线的斜率']正确率60.0%已知点$$O ( 0， \ 0 )， \enskip A ( 0， \enskip b )， \enskip B ( a， \enskip a^{3} )，$$若$${{△}{O}{A}{B}}$$为直角三角形，则必有（）
C
A.$${{b}{=}{{a}^{3}}}$$
B.$$b=a^{3}+\frac{1} {a}$$
C.$$( b-a^{3} ) \left( b-a^{3}-\frac{1} {a} \right)=0$$
D.$$\left| b-a^{3} \right|+\left| b-a^{3}-\frac1 a \right|=0$$
3、['两点间的距离'， '平面上中点坐标公式'， '直线和圆的数学文化问题'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%任意三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这个结论首先是由瑞士数学家欧拉$$( \mathrm{E u l e r}， ~ 1 7 0 7-1 7 8 3 )$$发现，因此，这条直线被称为三角形的欧拉线.已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点$$B ( 5， ~ 0 )， ~ ~ C ( 0， ~ 1 )，$$且$$| A B |=| A C |，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的欧拉线方程为（）
A
A.$$5 x-y-1 2=0$$
B.$$5 x-y-2 4=0$$
C.$$x-5 y+1 2=0$$
D.$$x-5 y=0$$
4、['一元二次不等式的解法'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$- x^{2}+a x-4 \geqslant0$$的解集中只有一个元素并且该元素是正数，则直线$$y=~ ( a-5 ) ~ x+a$$不经过第（）象限
C
A.一
B.二
C.三
D.四
5、['命题的真假性判断'， '直线方程的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%给出下列五个命题：
$${①}$$过点$$(-1， 2 )$$的直线方程一定可以表示为$$y-2=k ( x+1 ) ( k \in R )$$的形式；
$${②}$$过点$$(-1， 2 )$$且在$${{x}{，}{y}}$$轴截距相等的直线方程是$$x+y-1=0$$；
$${③}$$过点$$M (-1， 2 )$$且与直线$$\l\! : ~ A x+B y+C=0 ( A B \neq0 )$$垂直的直线方程是$$B ( x+1 )+A ( y-2 )=0$$；
$${④}$$设点$$M (-1， 2 )$$不在直线$$\l\! : ~ A x+B y+C=0 ( A B \neq0 )$$上，则过点$${{M}}$$且与直线$${{l}}$$平行的直线方程是$$A ( x+1 )+B ( y-2 )=0$$；
$${⑤}$$点$$P (-1， 2 )$$到直线$$a x+y+a^{2}+a=0$$的距离不小于$${{2}}$$．
以上命题中，正确的序号是$${{(}{)}}$$
B
A.$${②{③}{⑤}}$$
B.$${④{⑤}}$$
C.$${①{④}{⑤}}$$
D.$${①{③}}$$
6、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式'， '两条直线垂直'， '直线方程的综合应用'， '直线的斜率']正确率60.0%已知$$A \， ( 4，-3 )$$关于直线$${{l}}$$的对称点为$$B \， (-2， 5 )$$，则直线$${{l}}$$的方程是$${{(}{)}}$$
B
A.$$3 x+4 y-7=0$$
B.$$3 x-4 y+1=0$$
C.$$4 x+3 y-7=0$$
D.$$3 x-4 y-1=0$$
7、['直线中的对称问题'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%已知从点$$(-2， 1 )$$发出的一束光线，经$${{x}}$$轴反射后，反射光线恰好平分圆：$$x^{2} \!+\! y^{2} \!-\! 2 x \!-\! 2 y \!+\! 1 \!=\! 0$$的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）
C
A.$$3 x \!-\! 2 y \!-\! 1 \!=\! 0$$
B.$$3 x \!-\! 2 y \!+\! 1 \!=\! 0$$
C.$$2 x-3 y+1=0$$
D.$$2 x-3 y-1=0$$
8、['直线方程的综合应用']正确率80.0%直线$$l : \left( k-1 \right) x+2 k y+3 k-1=0$$经过定点$${{A}}$$，则$${{A}}$$的纵坐标为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
9、['两直线的交点坐标'， '直线方程的综合应用']正确率80.0%不论$${{m}}$$为何实数，直线$${{l}}$$：$$( m-1 ) x+( 2 m-3 ) y+m=0$$恒过定点$${{(}{)}}$$
C
A.$$(-3，-1 )$$
B.$$(-2，-1 )$$
C.$$(-3， 1 )$$
D.$$(-2， 1 )$$
10、['直线与圆的方程的应用'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线方程的综合应用']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，过点$$P ( 1， 4 )$$向圆$$C : ( x-m )^{2}+y^{2}=m^{2}+5 ( 1 < m < 6 )$$引两条切线，切点分别为$${{A}}$$，$${{B}}$$，则直线$${{A}{B}}$$过定点$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\frac{1} {2}， 1 )$$
B.$$(-1， \frac{3} {2} )$$
C.$$(-\frac{1} {2}， \frac{3} {2} )$$
D.$$(-1， \frac{1} {2} )$$
1. 解析：
首先确定直线经过的定点：
对于直线 $$x + m y = 0$$，当 $$m = 0$$ 时，$$x = 0$$；当 $$m = 1$$ 时，$$x + y = 0$$。联立解得定点 $$A(0, 0)$$。
对于直线 $$m x - y - m + 3 = 0$$，整理为 $$m(x - 1) - y + 3 = 0$$，当 $$x - 1 = 0$$ 且 $$-y + 3 = 0$$ 时，对所有 $$m$$ 成立，故定点 $$B(1, 3)$$。
两直线交点 $$P$$ 满足联立方程：
$$x + m y = 0$$
$$m x - y - m + 3 = 0$$
解得 $$P\left(\frac{-m(m - 3)}{1 + m^2}, \frac{m - 3}{1 + m^2}\right)$$。
计算距离：
$$|PA| = \sqrt{\left(\frac{-m(m - 3)}{1 + m^2}\right)^2 + \left(\frac{m - 3}{1 + m^2}\right)^2} = \frac{|m - 3|}{\sqrt{1 + m^2}}$$
$$|PB| = \sqrt{\left(1 - \frac{-m(m - 3)}{1 + m^2}\right)^2 + \left(3 - \frac{m - 3}{1 + m^2}\right)^2} = \frac{|3m + 1|}{\sqrt{1 + m^2}}$$
因此，$$|PA| \cdot |PB| = \frac{|(m - 3)(3m + 1)|}{1 + m^2}$$。
设 $$f(m) = \frac{(m - 3)(3m + 1)}{1 + m^2}$$，求极值得最大值 $$5$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 解析：
分类讨论直角顶点：
情况1： $$O$$ 为直角顶点，则 $$OA \perp OB$$，即 $$b \cdot a^3 = 0$$，得 $$b = 0$$ 或 $$a = 0$$（舍去 $$a = 0$$ 因为 $$B$$ 点不重合）。
情况2： $$A$$ 为直角顶点，则 $$OA \perp AB$$，即 $$b \cdot (a^3 - b) = 0$$，得 $$b = a^3$$。
情况3： $$B$$ 为直角顶点，则 $$OB \perp AB$$，即 $$a \cdot a^3 + a^3 \cdot (a^3 - b) = 0$$，化简得 $$b = a^3 + \frac{1}{a}$$。
综上，$$b = a^3$$ 或 $$b = a^3 + \frac{1}{a}$$，即 $$(b - a^3)\left(b - a^3 - \frac{1}{a}\right) = 0$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
3. 解析：
由 $$|AB| = |AC|$$，知 $$A$$ 在 $$BC$$ 的垂直平分线上。$$BC$$ 的中点为 $$(2.5, 0.5)$$，斜率为 $$-\frac{1}{5}$$，故垂直平分线方程为 $$y - 0.5 = 5(x - 2.5)$$，即 $$5x - y - 12 = 0$$。
外心 $$O$$ 为垂直平分线与 $$BC$$ 中垂线的交点，即 $$(2.5, 0.5)$$。
重心 $$G$$ 为 $$\left(\frac{5 + 0 + x_A}{3}, \frac{0 + 1 + y_A}{3}\right)$$，由 $$A$$ 在 $$5x - y - 12 = 0$$ 上，设 $$A(x, 5x - 12)$$，代入重心公式得 $$G\left(\frac{5 + x}{3}, \frac{1 + 5x - 12}{3}\right)$$。
欧拉线为外心 $$O$$ 和重心 $$G$$ 的连线，计算斜率为 $$5$$，方程为 $$5x - y - 12 = 0$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
4. 解析：
不等式 $$-x^2 + a x - 4 \geq 0$$ 的解集只有一个正元素，说明判别式 $$\Delta = a^2 - 16 = 0$$，且 $$a > 0$$，故 $$a = 4$$。
直线方程为 $$y = (4 - 5)x + 4 = -x + 4$$，斜率为负，截距为正，不经过第三象限。
答案为 $$\boxed{C}$$。
5. 解析：
① 错误，因为斜率不存在时不能表示为点斜式。
② 错误，遗漏了截距为0的情况。
③ 正确，垂直直线斜率为 $$\frac{B}{A}$$，点斜式正确。
④ 正确，平行直线系数成比例，且过点 $$M$$。
⑤ 正确，距离公式计算得 $$\frac{|a(-1) + 2 + a^2 + a|}{\sqrt{a^2 + 1}} \geq 2$$ 恒成立。
答案为 $$\boxed{B}$$。
6. 解析：
对称轴 $$l$$ 为 $$AB$$ 的垂直平分线。$$AB$$ 的中点为 $$(1, 1)$$，斜率为 $$\frac{5 - (-3)}{-2 - 4} = -\frac{4}{3}$$，故 $$l$$ 的斜率为 $$\frac{3}{4}$$。
方程为 $$y - 1 = \frac{3}{4}(x - 1)$$，整理为 $$3x - 4y + 1 = 0$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
7. 解析：
圆心为 $$(1, 1)$$，反射光线需经过圆心和 $$(-2, 1)$$ 关于 $$x$$ 轴的对称点 $$(-2, -1)$$。
斜率为 $$\frac{1 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$，直线方程为 $$y - 1 = \frac{2}{3}(x - 1)$$，整理为 $$2x - 3y + 1 = 0$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
8. 解析：
将直线方程整理为 $$k(x + 2y + 3) - x - 1 = 0$$，对所有 $$k$$ 成立，需 $$x + 2y + 3 = 0$$ 且 $$-x - 1 = 0$$，解得 $$x = -1$$，$$y = -1$$。
定点 $$A$$ 的纵坐标为 $$-1$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
9. 解析：
将直线方程整理为 $$m(x + 2y + 1) - x - 3y = 0$$，对所有 $$m$$ 成立，需 $$x + 2y + 1 = 0$$ 且 $$-x - 3y = 0$$，解得 $$x = -3$$，$$y = 1$$。
定点为 $$(-3, 1)$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
10. 解析：
圆 $$C$$ 的圆心为 $$(m, 0)$$，半径为 $$\sqrt{m^2 + 5}$$。点 $$P(1, 4)$$ 在圆外，切线方程为 $$(1 - m)(x - m) + 4y = m^2 + 5$$。
切点 $$A$$ 和 $$B$$ 满足圆的方程和切线条件，联立得直线 $$AB$$ 为 $$(1 - m)(x - m) + 4y = m^2 + 5$$，整理为 $$(1 - m)x + 4y - 2m - 5 = 0$$。
验证选项，当 $$x = -1$$ 时，$$y = \frac{3}{2}$$ 满足方程。
答案为 $$\boxed{B}$$。