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正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}}$$是单位圆$${{O}}$$上的两点$${（{O}}$$为圆心$$) \;， \; \angle A O B=1 2 0^{\circ}$$，点$${{C}}$$是线段$${{A}{B}}$$上不与$${{A}{、}{B}}$$重合的动点．$${{M}{N}}$$是圆$${{O}}$$的一条直径，则$$\overrightarrow{C M} \cdot\overrightarrow{C N}$$的取值范围是（）
A
A.$$[-\frac{3} {4}， \ 0 )$$
B.$$[-1， \ 1 )$$
C.$$[-\frac{1} {2}， ~ 1 )$$
D.$$[-1， \ 0 )$$
2、['直线和圆与其他知识的综合应用'， '利用基本不等式求最值'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%若圆$$x^{2}+y^{2}+2 x-6 y+1=0$$关于直线$$a x-b y+3=0 ( a > 0， \; b > 0 )$$对称，则$$\frac1 a+\frac3 b$$的最小值是（）
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\frac{2 0} {3}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{1 6} {3}$$
3、['点到直线的距离'， '直线和圆与其他知识的综合应用']正确率60.0%已知直线$${{y}{=}{a}{x}}$$与圆$$C \colon\ ( \ x-a )^{\ 2}+\ ( \ y-1 )^{\ 2}=a^{2}-1$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\angle A C B=6 0^{\circ}，$$则圆的面积为（）
A
A.$${{6}{π}}$$
B.$${{3}{6}{π}}$$
C.$${{7}{π}}$$
D.$${{4}{9}{π}}$$
4、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的右顶点为$${{M}}$$，左焦点为$${{F}}$$，动点$${{P}}$$满足$$| P F |=\sqrt{2} P M$$，点$${{P}}$$的轨迹与$${{x}}$$轴交于$${{A}{，}{C}}$$，与$${{y}}$$轴交于$${{B}{，}{D}}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的面积为
A
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
正确率60.0%svg异常
A
A.$${{6}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.无法确定
6、['两点间的斜率公式'， '点到直线的距离'， '直线的点斜式方程'， '直线和圆与其他知识的综合应用']正确率40.0%已知点$$A ~ ( ~-5， ~ 0 ) ~， ~ B ~ ( ~-1， ~-3 )$$，若圆$$C_{\colon} ~ x^{2}+y^{2}=r^{2} ~ ( \boldsymbol{r} > 0 )$$上恰有两点$${{M}{，}{N}}$$，使得$${{△}{M}{A}{B}}$$和$${{△}{N}{A}{B}}$$的面积均为$${{5}}$$，则$${{r}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 1， \ \sqrt{5} )$$
B.$$( 1， ~ 5 )$$
C.
D.$$( 2， ~ \sqrt{5} )$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线和圆与其他知识的综合应用']正确率40.0%svg异常
B
A.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
8、['直线和圆与其他知识的综合应用']正确率40.0%已知$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {x-2 0 1 8} \\ \end{matrix} ) ~ ~ ( \begin{matrix} {x+2 0 1 9} \\ \end{matrix} )$$的图象与$${{x}}$$轴$${、{y}}$$轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（）
A
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
B.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
C.$$( 0 \cdot~ \sqrt{\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}} )$$
D.$$( 0 \cdot~ \sqrt{\frac{2 0 1 9} {2 0 1 8}} )$$
9、['直线和圆与其他知识的综合应用'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%若圆$$( x-a )^{2}+( y-a )^{2}=4$$上总存在两点到原点的距离为$${{1}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是
C
A.$$(-\frac{\sqrt{2}} {2}， 0 ) \bigcup( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
B.$$(-2 \sqrt{2}，-\sqrt{2} ) \bigcup( \sqrt{2}， 2 \sqrt{2} )$$
C.$$(-\frac{3 \sqrt{2}} {2}，-\frac{\sqrt{2}} {2} ) \bigcup( \frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{3 \sqrt{2}} {2} )$$
D.$$(-\infty，-\frac{3 \sqrt{2}} {2} ) \cup( \sqrt{2}，+\infty)$$
10、['双曲线的离心率'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左右焦点为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ O$$为它的中心，$${{P}}$$为双曲线右支上的一点，$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆圆心为$${{I}}$$，且圆$${{I}}$$与$${{x}}$$轴由相切于点$${{A}}$$，过$${{F}_{2}}$$作直线$${{P}{I}}$$的垂线，垂足为$${{B}}$$，若双曲线的离心率为$${{e}}$$，则（）
A
A.$$| O B |=| O A |$$
B.$$| O B |=e | O A |$$
C.$$| O A |=e | O B |$$
D.$${{|}{O}{B}{|}}$$与$${{|}{O}{A}{|}}$$关系不确定
1. 解析：
设单位圆 $$O$$ 的圆心在坐标原点，点 $$A$$ 在 $$(1, 0)$$，则点 $$B$$ 的坐标为 $$(\cos 120^\circ, \sin 120^\circ) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。参数化线段 $$AB$$ 上的点 $$C$$ 为 $$C = (1 - t)A + tB$$，其中 $$t \in (0, 1)$$，即 $$C = \left(1 - \frac{3t}{2}, \frac{\sqrt{3}t}{2}\right)$$。
设直径 $$MN$$ 的方向为 $$\theta$$，则 $$M = (\cos \theta, \sin \theta)$$，$$N = (-\cos \theta, -\sin \theta)$$。计算点积：
$$\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{CN} = \left(\cos \theta - 1 + \frac{3t}{2}\right)\left(-\cos \theta - 1 + \frac{3t}{2}\right) + \left(\sin \theta - \frac{\sqrt{3}t}{2}\right)\left(-\sin \theta - \frac{\sqrt{3}t}{2}\right)$$
化简后得到：
$$\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{CN} = -3t^2 + 3t - 1$$
当 $$t \in (0, 1)$$ 时，$$-3t^2 + 3t - 1 \in \left[-\frac{3}{4}, 0\right)$$，故选 A。
2. 解析：
圆的方程为 $$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 9$$，圆心为 $$(-1, 3)$$。对称条件要求直线 $$ax - by + 3 = 0$$ 过圆心，代入得 $$-a - 3b + 3 = 0$$，即 $$a + 3b = 3$$。
利用不等式求最小值：
$$\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = \left(\frac{1}{a} + \frac{3}{b}\right)\left(\frac{a + 3b}{3}\right) = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{3b}{a} + \frac{3a}{b} + 9\right) \geq \frac{1}{3}(10 + 6) = \frac{16}{3}$$
当且仅当 $$\frac{3b}{a} = \frac{3a}{b}$$ 即 $$a = b = \frac{3}{4}$$ 时取等，故选 D。
3. 解析：
圆 $$C$$ 的圆心为 $$(a, 1)$$，半径为 $$\sqrt{a^2 - 1}$$。直线 $$y = ax$$ 与圆相交，设弦长为 $$L$$，由几何关系：
$$\cos 60^\circ = \frac{L^2}{4(a^2 - 1)} \Rightarrow L^2 = 2(a^2 - 1)$$
利用弦长公式：
$$L = 2\sqrt{a^2 - 1 - \frac{(a^2 - 1)^2}{1 + a^2}}$$
解得 $$a^2 = 7$$，故圆的面积为 $$\pi (a^2 - 1) = 6\pi$$，选 A。
4. 解析：
双曲线 $$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$$ 的右顶点 $$M(1, 0)$$，左焦点 $$F(-2, 0)$$。设 $$P(x, y)$$，由条件 $$|PF| = \sqrt{2} |PM|$$ 得：
$$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{2} \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$$
平方化简得 $$(x-4)^2 + y^2 = 12$$，即 $$P$$ 的轨迹为圆。与坐标轴的交点为 $$A(4 - 2\sqrt{3}, 0)$$，$$C(4 + 2\sqrt{3}, 0)$$，$$B(0, 2\sqrt{3})$$，$$D(0, -2\sqrt{3})$$。
四边形 $$ABCD$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = 12$$，选 A。
5. 解析：
题目描述不完整，无法确定答案。
6. 解析：
点 $$A(-5, 0)$$，$$B(-1, -3)$$，直线 $$AB$$ 的方程为 $$3x - 4y + 15 = 0$$。设点 $$M(x, y)$$ 在圆 $$x^2 + y^2 = r^2$$ 上，满足 $$\frac{1}{2} \times AB \times d = 5$$，其中 $$d$$ 为 $$M$$ 到 $$AB$$ 的距离。
计算 $$AB = 5$$，故 $$d = 2$$。圆上点到直线的距离为 $$2$$ 的条件为：
$$\frac{|3x - 4y + 15|}{5} = 2 \Rightarrow 3x - 4y + 15 = \pm 10$$
两条平行直线与圆 $$x^2 + y^2 = r^2$$ 相交的条件为圆心到直线的距离小于半径：
$$\frac{|15|}{5} = 3 < r$$ 且 $$\frac{|5|}{5} = 1 < r$$
同时，圆与每条直线有两个交点，故 $$r \in (1, 5)$$，选 B。
7. 解析：
题目描述不完整，无法确定答案。
8. 解析：
函数 $$f(x) = (x-2018)(x+2019)$$ 与坐标轴的交点为 $$(2018, 0)$$，$$(-2019, 0)$$，$$(0, -2018 \times 2019)$$。设圆的方程为 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$，代入三点坐标解得 $$D = 1$$，$$F = 0$$，$$E = 2018 - 2019 = -1$$。
圆的方程为 $$x^2 + y^2 + x - y = 0$$，与 $$y$$ 轴的另一个交点为 $$(0, 1)$$，选 A。
9. 解析：
圆 $$(x-a)^2 + (y-a)^2 = 4$$ 的圆心为 $$(a, a)$$，半径为 $$2$$。条件要求存在两点到原点 $$O$$ 的距离为 $$1$$，即圆与圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 相交。
两圆相交的条件为 $$|2 - 1| < \sqrt{2a^2} < 2 + 1$$，即 $$1 < \sqrt{2}|a| < 3$$，解得 $$a \in \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$$，选 C。
10. 解析：
设双曲线的右顶点为 $$(a, 0)$$，右焦点为 $$(c, 0)$$。内切圆 $$I$$ 与 $$x$$ 轴切于点 $$A$$，由几何性质知 $$A$$ 为切点，且 $$A$$ 是 $$PF_1$$ 与 $$PF_2$$ 的角平分线交点，故 $$|OA| = a$$。
过 $$F_2$$ 作 $$PI$$ 的垂线，由双曲线性质及离心率定义可知 $$|OB| = e|OA|$$，选 B。