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正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 2 \mathrm{c o s} \alpha， \ 2 \mathrm{s i n} \alpha)， \ b=( 3 \mathrm{c o s} \beta， \ 3 \mathrm{s i n} \beta)，$$若$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$$\mathbf{1 2 0}^{\circ}，$$则直线$$6 x \mathrm{c o s} \alpha-6 y \mathrm{s i n} \alpha+1=0$$与圆$$( x-\mathrm{c o s} \beta)^{2}+( y+\mathrm{s i n} \beta)^{2}=1$$的位置关系是（）
A
A.相交且不过圆心
B.相交且过圆心
C.相切
D.相离
2、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为$${{1}{0}{{k}{m}}}$$的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西$$1 0 a \mathrm{k m} ( a > 0 )$$处，港口位于小岛中心正北$${{2}{0}{{k}{m}}}$$处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left( \frac{2 \sqrt{3}} {3}， ~+\infty\right)$$
B.$$( 1， ~+\infty)$$
C.$$\left( \frac{4 \sqrt{3}} {3}， ~+\infty\right)$$
D.$$( 2， ~+\infty)$$
3、['直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率80.0%已知圆$${{C}}$$：$$x^{2}+y^{2}+2 a y=0 ( a > 0 )$$截直线$$\sqrt{3} x-y=0$$所得的弦长为$${{2}{\sqrt {3}}}$$，则圆$${{C}}$$与圆$${{C}^{′}}$$：$$( x-1 )^{2}+( y+1 )^{2}=1$$的位置关系是$${{(}{)}}$$
C
A.相离
B.外切
C.相交
D.内切
4、['直线参数方程的几何意义及应用'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知圆$${{C}}$$：$$x^{2}+y^{2}-4 x-6 y-1 2=0$$，直线$${{l}}$$：$$3 x-2 y-6=0$$，直线$${{l}}$$与圆$${{C}}$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，设$$P ( 2， 0 )$$，则$$| P A | \cdot| P B |=$$
D
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{1}{6}}$$
5、['直线与圆的位置关系及其判定'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%圆$$x^{2} \!+\! y^{2} \!+\! 4 x \!-\! 2 y \!-\! 1 \!=\! 0$$上存在两点关于直线$$\operatorname{a x-2 b y}+2=0 ( a > 0， b > 0 )$$对称，则$$\frac{1} {a}+\frac{4} {b}$$的最小值为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{8}}$$
6、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%圆$$x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+4=0$$上的点到直线$$x-y=2$$的距离最大值是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$$1+\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{1}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
7、['点到直线的距离'， '直线的斜截式方程'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']正确率40.0%直线$${{l}}$$过点$$( 0， 2 )$$且圆$$x^{2}+y^{2}-2 x=0$$相切，则直线的$${{l}}$$的方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$$3 x+4 y-8=0$$
B.$$3 x+4 y+2=0$$
C.$$3 x+4 y-8=0$$或$${{x}{=}{0}}$$
D.$$3 x+4 y+2=0$$或$${{x}{=}{0}}$$
8、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%圆$$x^{2}+y^{2}+2 x-2 y-2=0$$上到直线$$l \colon~ x+y+\sqrt{2}=0$$的距离为$${{1}}$$的点共有（）
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
9、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率80.0%直线$$x-y+2=0$$与圆$$( x+1 )^{2}+y^{2}=2$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，则$$| A B |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
10、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率80.0%由直线$$y=x+2$$上的点向圆$$( x-4 )^{2}+( y+2 )^{2}=1$$引切线，则切线长的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {{3}{0}}}$$
B.$${\sqrt {{3}{1}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {{3}{3}}}$$
1. 首先计算向量 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 的点积：
$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 \cos \alpha \cdot 3 \cos \beta + 2 \sin \alpha \cdot 3 \sin \beta = 6 \cos(\alpha - \beta)$$
根据向量夹角公式：
$$\cos 120^\circ = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}|} = \frac{6 \cos(\alpha - \beta)}{2 \times 3} = \cos(\alpha - \beta)$$
所以 $$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{1}{2}$$。
接下来计算圆心 $$(\cos \beta, -\sin \beta)$$ 到直线 $$6x \cos \alpha - 6y \sin \alpha + 1 = 0$$ 的距离：
$$d = \frac{|6 \cos \alpha \cos \beta + 6 \sin \alpha \sin \beta + 1|}{6} = \frac{|6 \cos(\alpha - \beta) + 1|}{6} = \frac{|6 \times (-\frac{1}{2}) + 1|}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} < 1$$
因为距离小于圆的半径，且圆心不在直线上，所以选 A。
2. 建立坐标系，设小岛中心为原点，轮船位于 $$(-10a, 0)$$，港口位于 $$(0, 20)$$。轮船直线返港的斜率为 $$k = \frac{20}{10a} = \frac{2}{a}$$，直线方程为 $$y = \frac{2}{a}(x + 10a)$$。
要求直线与圆 $$x^2 + y^2 = 100$$ 无交点，即距离大于半径：
$$\frac{|\frac{2}{a} \cdot 0 - 0 + 20|}{\sqrt{(\frac{2}{a})^2 + 1}} > 10$$
化简得 $$\frac{20}{\sqrt{\frac{4}{a^2} + 1}} > 10$$，即 $$\sqrt{\frac{4}{a^2} + 1} < 2$$，解得 $$a > \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。选 A。
3. 圆 $$C$$ 的方程为 $$x^2 + (y + a)^2 = a^2$$，圆心 $$(0, -a)$$，半径 $$a$$。直线 $$\sqrt{3}x - y = 0$$ 截圆的弦长为 $$2\sqrt{3}$$，根据弦长公式：
$$2\sqrt{a^2 - d^2} = 2\sqrt{3}$$，其中 $$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot 0 - (-a)|}{2} = \frac{a}{2}$$。
代入解得 $$a = 2$$。圆 $$C'$$ 的圆心 $$(1, -1)$$，半径 $$1$$。两圆圆心距离为 $$\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$，半径和为 $$3$$，差为 $$1$$，满足 $$1 < \sqrt{2} < 3$$，所以两圆相交。选 C。
4. 圆 $$C$$ 的方程为 $$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$$，圆心 $$(2, 3)$$，半径 $$5$$。点 $$P(2, 0)$$ 在圆内。直线 $$l$$ 与圆交于 $$A$$、$$B$$ 两点，根据幂定理：
$$|PA| \cdot |PB| = |PT|^2$$，其中 $$PT$$ 是切线长。计算 $$PT$$：
$$PT = \sqrt{PC^2 - r^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 3)^2 - 25} = \sqrt{9 - 25}$$ 发现错误，应直接使用点 $$P$$ 到直线 $$l$$ 的距离 $$d = \frac{|3 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 6|}{5} = 0$$，说明 $$P$$ 在直线 $$l$$ 上，此时 $$|PA| \cdot |PB| = 0$$ 不符合选项。重新计算：
利用参数法，直线 $$l$$ 的参数方程为 $$x = 2 + t \cos \theta$$，$$y = 0 + t \sin \theta$$，代入圆方程解得 $$t$$ 的乘积为 $$-12$$，所以 $$|PA| \cdot |PB| = 12$$。选 B。
5. 圆 $$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 1 = 0$$ 的圆心为 $$(-2, 1)$$。直线 $$ax - 2by + 2 = 0$$ 必须过圆心，即 $$-2a - 2b + 2 = 0$$，化简得 $$a + b = 1$$。
求 $$\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$$ 的最小值，利用柯西不等式：
$$\left(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}\right)(a + b) \geq (1 + 2)^2 = 9$$，所以最小值为 $$9$$。选 B。
6. 圆 $$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$$ 的圆心为 $$(2, 1)$$，半径 $$1$$。圆心到直线 $$x - y = 2$$ 的距离为 $$d = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$。
圆上点到直线的最大距离为 $$d + r = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$。选 C。
7. 圆 $$x^2 + y^2 - 2x = 0$$ 的圆心为 $$(1, 0)$$，半径 $$1$$。设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx + 2$$。根据切线条件：
$$\frac{|k \cdot 1 - 0 + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$$，解得 $$k = -\frac{3}{4}$$。另外，直线 $$x = 0$$ 也满足切线条件。所以方程为 $$3x + 4y - 8 = 0$$ 或 $$x = 0$$。选 C。
8. 圆 $$x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0$$ 的圆心为 $$(-1, 1)$$，半径 $$2$$。圆心到直线 $$x + y + \sqrt{2} = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|-1 + 1 + \sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = 1$$。
因为 $$d + 1 = 2 = r$$，所以圆上有 $$3$$ 个点到直线的距离为 $$1$$。选 C。
9. 圆 $$(x + 1)^2 + y^2 = 2$$ 的圆心为 $$(-1, 0)$$，半径 $$\sqrt{2}$$。圆心到直线 $$x - y + 2 = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|-1 - 0 + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$。
弦长 $$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2 - \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$$。选 D。
10. 切线长的最小值为 $$\sqrt{d^2 - r^2}$$，其中 $$d$$ 是直线 $$y = x + 2$$ 上点到圆心 $$(4, -2)$$ 的最小距离。圆心到直线的距离为 $$d = \frac{|4 - (-2) + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$$。
切线长为 $$\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 1} = \sqrt{32 - 1} = \sqrt{31}$$。选 B。