直线与圆相交-直线与圆、圆与圆的位置关系知识点回顾进阶选择题自测题答案-陕西省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1. 解析：

圆方程为$$(x-3)^2 + (y+4)^2 = 4$$，圆心为$$(3, -4)$$，半径$$r=2$$。直线$$y = kx$$与圆相交，将直线代入圆的方程：

$$(x-3)^2 + (kx+4)^2 = 4$$

展开整理得：

$$(1+k^2)x^2 + (-6 + 8k)x + 21 = 0$$

设交点$$P(x_1, y_1)$$和$$Q(x_2, y_2)$$，则$$|OP| \cdot |OQ| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{(1+k^2)x_1^2} \cdot \sqrt{(1+k^2)x_2^2} = (1+k^2)|x_1x_2|$$

根据韦达定理，$$x_1x_2 = \frac{21}{1+k^2}$$，因此$$|OP| \cdot |OQ| = 21$$。

答案为：D.$$21$$

2. 解析：

椭圆$$C$$的左焦点$$F_1$$为$$(-1, 0)$$。直线$$l: y = x + m$$过$$F_1$$，代入得$$m = 1$$，直线方程为$$y = x + 1$$。

圆心到直线的距离$$d = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，圆半径$$R=2$$。

弦长$$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - \frac{1}{2}} = \sqrt{14}$$。

答案为：A.$$\sqrt{14}$$

3. 解析：

圆方程为$$(x-m)^2 + y^2 = 4$$，圆心$$(m, 0)$$，半径$$r=2$$。直线$$x - y - 2 = 0$$截圆得弦长为$$2\sqrt{2}$$。

圆心到直线距离$$d = \frac{|m - 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|m - 2|}{\sqrt{2}}$$。

弦长公式$$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2}$$，解得$$d = \sqrt{2}$$，即$$\frac{|m - 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$，故$$|m - 2| = 2$$，$$m = 0$$或$$4$$。

答案为：D.$$0$$或$$4$$

4. 解析：

直线$$x + 2y = m$$与圆$$x^2 + y^2 = 5$$相交，圆心到直线距离$$d = \frac{|0 + 0 - m|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{m}{\sqrt{5}}$$。

弦长$$AB = 2\sqrt{5 - d^2}$$。向量条件$$|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| > 2|\overrightarrow{AB}|$$，即$$|\overrightarrow{OP}| > 2|\overrightarrow{AB}|$$，其中$$P$$为$$AB$$中点。

计算得$$m \in (2\sqrt{5}, 5)$$。

答案为：B.$$(2\sqrt{5}, 5)$$

5. 解析：

抛物线$$C: y^2 = 2px$$，点$$M(x_0, 2\sqrt{2})$$在抛物线上，代入得$$8 = 2px_0$$，即$$x_0 = \frac{4}{p}$$。

焦点$$F(\frac{p}{2}, 0)$$，半径$$|MF| = \sqrt{\left(\frac{p}{2} - x_0\right)^2 + (2\sqrt{2})^2}$$。

圆与$$y$$轴交点为$$(0, y)$$，满足$$x_0^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = |MF|^2$$，解得弦长为$$2\sqrt{|MF|^2 - x_0^2} = 2\sqrt{5}$$。

代入解得$$p = 2$$。

答案为：A.$$2$$

6. 解析：

圆方程为$$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$$，化为标准形式$$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 4$$，圆心$$(3,1)$$，半径$$r=2$$。

直线$$x - y + a = 0$$到圆心距离$$d = \frac{|3 - 1 + a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + a|}{\sqrt{2}}$$。

圆上有两点到直线距离为$$1$$，需满足$$|d - r| < 1 < d + r$$，即$$|\frac{|2 + a|}{\sqrt{2}} - 2| < 1$$。

解得$$a \in (\sqrt{2} - 2, 3\sqrt{2} - 2) \cup (-3\sqrt{2} - 2, -\sqrt{2} - 2)$$。

答案为：D.$$(\sqrt{2} - 2, 3\sqrt{2} - 2) \cup (-3\sqrt{2} - 2, -\sqrt{2} - 2)$$

7. 解析：

圆心$$(1, -5)$$到直线$$x - 2y + 4 = 0$$的距离$$d = \frac{|1 - 2(-5) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$$。

圆半径$$r = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$。所求点为距离直线$$\sqrt{5}$$的点，满足$$|d - \sqrt{5}| < r$$，即$$2\sqrt{5} < 4\sqrt{5}$$，有$$4$$个点。

答案为：D.$$4$$

8. 解析：

圆方程为$$x^2 + y^2 + 6y - 16 = 0$$，化为标准形式$$x^2 + (y + 3)^2 = 25$$，圆心$$(0, -3)$$，半径$$5$$。

抛物线准线$$y = -\frac{p}{2}$$，与圆交于$$A, B$$，弦长$$AB = 8$$，则距离$$d = \sqrt{25 - 16} = 3$$。

故$$| -3 - (-\frac{p}{2}) | = 3$$，解得$$p = 0$$（舍）或$$p = 12$$，焦点为$$(0, 6)$$。

答案为：C.$$(0, 6)$$

9. 解析：

圆$$P: x^2 + (y-2)^2 = 4$$，圆心$$(0, 2)$$。抛物线$$S: y = \frac{x^2}{8}$$。

设直线$$l: y = kx + 2$$，与抛物线交于$$A, D$$，与圆交于$$B, C$$。四个交点顺序为$$A, B, C, D$$。

由等差数列条件，设$$AB = a - d$$，$$BC = a$$，$$CD = a + d$$，则$$AD = 3a$$。通过计算可得$$k = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$。

答案为：B.$$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + 2$$或$$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + 2$$

10. 解析：

圆$$C: (x-1)^2 + (y+2)^2 = 5$$，圆心$$(1, -2)$$。圆关于直线$$3x - ay - 11 = 0$$对称，故圆心在直线上：

$$3(1) - a(-2) - 11 = 0$$，解得$$a = 4$$。

中点坐标为$$(1, -1)$$，在圆内。所求弦长为$$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{5 - 1} = 4$$。

答案为：D.$$4$$